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Daudetarago

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matrices carrées à coefficients dans (Z/(p1×p2)Z)

Bonjour à toutes et à tous
On désigne par [tex]\left|GLr(\mathbb{Z}/(p_1p_2)\mathbb{Z})\right|[/tex] le nombre des matrices carrées r×r inversibles à coefficients dans  [tex]\mathbb{Z}/(p_1p_2)\mathbb{Z}[/tex] avec [tex]p_1[/tex] et [tex]p_2[/tex] premiers
On obtient par programmation les résultats suivants
[tex]\left|GL2(\mathbb{Z}/(2\times 3)\mathbb{Z})\right|[/tex]= 288
[tex]\left|GL2(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\right|[/tex]= 6
[tex]\left|GL2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\right|[/tex]= 48
on remarque que 6×48=288
Est-ce que la relation
[tex]\left|GLr(\mathbb{Z}/(p_1p_2)\mathbb{Z}\right|=\left|GLr(\mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z})\right|\times\left|GLr(\mathbb{Z}/p_2\mathbb{Z})\right|[/tex] est toujours vérifiée ?
et merci de bien vouloir me donner une piste pour la démonstration
Bonne journée
Ddtrg

chabine

Invité

Re : matrices carrées à coefficients dans (Z/(p1×p2)Z)

bonjour!
si je trompe pas c'est possible seulement si (P1,P2)=1  pour la démonstration trouve une isomorphisme entre les deux... et tu conclue par l’égalité de de cardinal.

thadrien

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Re : matrices carrées à coefficients dans (Z/(p1×p2)Z)

Salut,

Plus précisément, c'est l'isomorphisme des restes chinois qu'il faut utiliser.

Daudetarago

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Re : matrices carrées à coefficients dans (Z/(p1×p2)Z)

Bonjour
Merci pour l'aide
[tex]p_1[/tex] et [tex]p_2[/tex]  sont des nombres premiers d'après l'énoncé
Si la notation (P1,P2)=1 de Chabine veut dire [tex]p_1,p_2[/tex] premiers entre eux c'est bon
et d'après thadrien toujours fidèle au poste et aussi Chabine
[tex]GLr(\mathbb{Z}/p_1p_2\mathbb{Z})[/tex] est isomorphe à [tex]GLr(\mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z})\times GLr(\mathbb{Z}/p_2\mathbb{Z})[/tex] et c'est vrai que dans ce cas  [tex]\left|GLr(\mathbb{Z}/(p_1p_2)\mathbb{Z}\right|[/tex]=[tex]\left|GLr(\mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z}\right|\left|GLr(\mathbb{Z}/p_2\mathbb{Z}\right|[/tex]
Est-ce que cela voudrait dire que toute matrice de [tex]GLr(\mathbb{Z}/p_1p_2\mathbb{Z})[/tex] se décompose de façon unique en un produit d'une matrice de [tex]GLr(\mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z})[/tex] par une matrice de [tex]GLr(\mathbb{Z}/p_2\mathbb{Z})[/tex] ?
Merci
Bonne fin de journée
Ddtrg

thadrien

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Re : matrices carrées à coefficients dans (Z/(p1×p2)Z)

Est-ce que cela voudrait dire que toute matrice de [tex]GLr(\mathbb{Z}/p_1p_2\mathbb{Z})[/tex] se décompose de façon unique en un produit d'une matrice de [tex]GLr(\mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z})[/tex] par une matrice de [tex]GLr(\mathbb{Z}/p_2\mathbb{Z})[/tex] ?

Non. Tu es tombé en plein dans l'erreur classique !

D'ailleurs, le produit dont tu parles n'a pas vraiment de sens. (Du moins, formulé tel quel.)

Le produit cartésien de deux ensembles A et B n'est ABSOLUMENT pas l'ensemble des produits ! C'est simplement l'ensemble des couples d'éléments (a,b) avec a dans A et b dans B. On l'appelle produit non pas parce que ses éléments sont des produits mais car [tex]card(A \times B) = card(A) \times card(B)[/tex].

Je t'invite à relire les définitions d'un produit cartésien d'ensemble et l'isomorphisme chinois.

Daudetarago

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Re : matrices carrées à coefficients dans (Z/(p1×p2)Z)

Salut Thadrien et toutes et tous les autres
Franchement même en connaissant parfaitement la signification du produit cartésien A×B je me suis laissé avoir comme un bleu.
On avait l'impression que tous les produits, pas cartésiens, ab d'un élément par exemple de GL2(Z/3Z) par, par exemple, un élément de GL2(Z/2Z) étaient tous différents en considérant que a et b appartenaient maintenant à GL2(Z/6Z). mais c'était multiplier un torchon par une serviette.
Bébête je n'arrive pas à adapter le théorème des restes chinois   Z/(p1p2)Z-->Z/p1Z×Z/p2Z (isomorphisme d'ensembles)
à GLr(Z/(p1p2)Z)-->GLr(Z/p1Z)×GLr(Z/p2Z) (isomorphisme d'ensembles)
Merci pour l'aide
Bonne journée
aueaao

Daudetarago

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Re : matrices carrées à coefficients dans (Z/(p1×p2)Z)

Bonjour à toutes et à tous
Pourquoi
[tex] |GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)|= |GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)| \cdot |GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|[/tex]

Réponse
Il y a [tex]|GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)|=N_2[/tex] matrices carrées [tex] r \times r [/tex] inversibles à coefficients dans
[tex] \mathbb Z /2 \mathbb Z [/tex]

Il y a [tex]|GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|= N_{13} [/tex] matrices carrées [tex] r \times r [/tex] inversibles à coefficients dans [tex] \mathbb Z /13 \mathbb Z [/tex]

Il y a [tex] N_2 \cdot N_{13} [/tex] couples de matrices dans
[tex] GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

par exemple [tex] ( \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} , \begin {pmatrix} 3 & 7 \\ {12} & {15} \end {pmatrix} ) ∈  GL_2 (\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GL_2(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

A UN COUPLE de matrices on fait correspondre UNE SEULE matrice de couples de [tex] \mathbb Z/ 2 \mathbb Z  \mathbf {\times} \mathbb Z /13\mathbb Z [/tex]

exemple [tex] ( \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} , \begin {pmatrix} 3 & 7 \\ {12} & {15} \end {pmatrix} ) \longmapsto  \begin {pmatrix} {(1,3)} & {(1,7)} \\ {(0,12)} & {(1,5)} \end {pmatrix}  [/tex]

et à UNE matrice comportant des couples [tex] (x,y) \in  \mathbb Z/ 2 \mathbb Z  \mathbf {\times} \mathbb Z /13\mathbb Z [/tex]

on fait correspondre UNE SEULE matrice de  [tex]GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)[/tex] par  [tex] f((x,y))= (13x+2y) mod 26 [/tex]

par exemple [tex] \begin {pmatrix} {(1,3)} & {(1,7)} \\ {(0,12)} & {(1,5)} \end {pmatrix}  \longmapsto   \begin {pmatrix} {19} & 1 \\ {24} & {23}  \end {pmatrix} [/tex]
Cette matrice à coefficients dans [tex] \mathbb Z / 26\mathbb Z [/tex] est inversible car le déterminant de la matrice de [tex] GLr(\mathbb Z / 2 \mathbb Z) [/tex] est [tex] d_2=1 [/tex] celui de la matrice de [tex] GLr(\mathbb Z /13 \mathbb Z) [/tex] est [tex] d_{13} \in \{1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25 \} [/tex]
et alors [tex] d_{26}= f(d_2,d_{13})=13+2d_{13} [/tex] est impair différent de 13

Inversement à UNE matrice de [tex] GLr(\mathbb Z / 26 \mathbb Z) [/tex] on fait correspondre un couple et un seul de matrices de [tex] GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

On en conclut que
[tex] |GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)|= |GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)| \cdot |GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|[/tex]

Bonne journée
Ddtrg

Daudetarago

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Re : matrices carrées à coefficients dans (Z/(p1×p2)Z)

Bonjour à toutes et à tous
CORRECTION DU PRÉCÉDENT POST
Pourquoi
[tex] |GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)|= |GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)| \cdot |GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|[/tex]

Réponse
Il y a [tex]|GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)|=N_2[/tex] matrices carrées [tex] r \times r [/tex] inversibles à coefficients dans
[tex] \mathbb Z /2 \mathbb Z [/tex]

Il y a [tex]|GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|= N_{13} [/tex] matrices carrées [tex] r \times r [/tex] inversibles à coefficients dans [tex] \mathbb Z /13 \mathbb Z [/tex]

Il y a [tex] N_2 \cdot N_{13} [/tex] couples de matrices dans
[tex] GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

par exemple [tex] ( \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} , \begin {pmatrix} 4 & 8 \\ 5 & 9 \end {pmatrix} ) ∈  GL_2 (\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GL_2(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

A UN COUPLE de matrices on fait correspondre UNE SEULE matrice de couples de [tex] \mathbb Z/ 2 \mathbb Z  \mathbf {\times} \mathbb Z /13\mathbb Z [/tex]

exemple [tex] ( \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} , \begin {pmatrix} 4 & 8 \\ 5 & 9 \end {pmatrix} ) \longmapsto  \begin {pmatrix} {(1,4)} & {(1,8)} \\ {(0,5)} & {(1,9)} \end {pmatrix}  [/tex]

et à UNE matrice comportant des couples [tex] (x,y) \in  \mathbb Z/ 2 \mathbb Z  \mathbf {\times} \mathbb Z /13\mathbb Z [/tex]

on fait correspondre UNE SEULE matrice de  [tex]GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)[/tex] par  [tex] a=f((x,y))= (13x+14y) mod 26 [/tex]

avec [tex] a\equiv x(mod2) [/tex] et [tex] a\equiv y(mod13) [/tex]

par exemple [tex] \begin {pmatrix} {(1,4)} & {(1,8)} \\ {(0,5)} & {(1,9)} \end {pmatrix}  \longmapsto   \begin {pmatrix} {17} & {21} \\ {18} & 9  \end {pmatrix} [/tex]

Cette matrice à coefficients dans [tex] \mathbb Z / 26\mathbb Z [/tex] est inversible car le déterminant de la matrice de [tex] GLr(\mathbb Z / 2 \mathbb Z) [/tex] est [tex] d_2=1 [/tex] celui de la matrice de [tex] GLr(\mathbb Z /13 \mathbb Z) [/tex] est [tex] d_{13} \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \} [/tex]
et alors [tex] d_{26}= f(d_2,d_{13})=13d_2+14d_{13} [/tex] qui est impair différent de 13 et donc inversible dans [tex] \mathbb Z/26\mathbb Z [/tex]

Par exemple  [tex] d_2=det \begin {pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end {pmatrix} = 1 [/tex]

    [tex]d_{13}=det \begin {pmatrix} 4 & 8\\ 5 & 9 \end {pmatrix} = 9 [/tex] et [tex] f(1,9)=13\times1+14\times9=9 [/tex]

[tex]d_{26}=det \begin {pmatrix} {17} & {21}\\ {18} & 9 \end {pmatrix} = 9 [/tex]

Inversement à UNE matrice de [tex] GLr(\mathbb Z / 26 \mathbb Z) [/tex] on fait correspondre un couple et un seul de matrices de [tex] GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z) \mathbf { \times } GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z) [/tex]

On en conclut que
[tex] |GLr(\mathbb Z/26\mathbb Z)|= |GLr(\mathbb Z/2\mathbb Z)| \cdot |GLr(\mathbb Z/13\mathbb Z)|[/tex]