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Daudetarago

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puissances d'une matrice à coefficients dans Z/pZ et à déterminant nul

Bonjour à toutes et à tous
(m) est une matrice carrée r×r à coefficients dans Z/pZ (p premier) et telle que det(m)=0
Existe-t-il un moyen autre qu'informatique pour trouver les plus petits exposants non nuls et différents tels que
[tex] (m)^{k_1}=(m)^{k_2} [/tex].
Par avance merci

Daudetarago

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Re : puissances d'une matrice à coefficients dans Z/pZ et à déterminant nul

Par exemple dans [tex] \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/tex] pour les matrices (m) 2×2 on trouve
pour les 33 matrices à déterminant égal à zéro

- 1 matrice telle que [tex] (m)^1 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} [/tex]
- 8 matrices telles que [tex] (m)^2 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} [/tex]
- 12 matrices telles que [tex] (m)^2 =(m)^1  [/tex]    [tex] k_1=1, k_2=2 [/tex]
- 12 matrices telles que [tex] (m)^3  =(m)^1[/tex]    [tex] k_1=1, k_2=3 [/tex]

Daudetarago

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Re : puissances d'une matrice à coefficients dans Z/pZ et à déterminant nul

Bonsoir à toutes et à tous
Autrement
Peut-on à volonté créer une matrice carrée r×r à déterminant égal à zéro et à coefficients dans Z/pZ
telle que l'une de ses puissances d'exposant [tex] k_2 [/tex] soit égale à une autre de ses puissances d'exposant
[tex] k_1[/tex] tel que [tex]0<k_1<k_2 [/tex]
Merci
Cordialement
Ddtrg

Daudetarago

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Re : puissances d'une matrice à coefficients dans Z/pZ et à déterminant nul

Bonjour à toutes et à tous
Le problème est (s'il n'y a pas d'erreurs) résolu pour les matrices carrées 2×2 dans [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] (p premier)
car on montre que si le déterminant de la matrice [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}[/tex] est égal à 0 on a:
[tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^k=(a+d)^{k-1}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}[/tex] 

Dans [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex]  on a  [tex]0\le(a+d)\le(p-1)[/tex] et on considère ici les entiers [tex] k\ge 2[/tex]
Si (a+d)=0 avec  [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\neq \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}[/tex] on a  [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^2= \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}[/tex]
la matrice  [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}[/tex] est nilpotente d'indice 2
Si [tex](a+d)\neq0[/tex] il existe un plus petit exposant q entier naturel non nul tel que [tex](a+d)^q=1[/tex]
q étant un diviseur de p-1
on a alors [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{q+1}=(a+d)^q\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}[/tex]
donc (voir SVP le début des posts) dans le cas (a+d) non nul [tex] k_2=q[/tex] tel que [tex](a+d)^q=1[/tex] et [tex]k_1=1[/tex]
exemple dans  [tex]\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}[/tex] avec  [tex]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2\\4&8\end{bmatrix}[/tex]      a+d=9       [tex]9^3=1[/tex]          q=3
[tex]\begin{bmatrix}1&2\\4&8\end{bmatrix}^3=\begin{bmatrix}1&2\\4&8\end{bmatrix}[/tex]
Merci pour la vérification et pour la résolution pour les matrices r×r (r>2)
Bonne semaine
Ddtrg

Daudetarago

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Re : puissances d'une matrice à coefficients dans Z/pZ et à déterminant nul

Bonsoir
Nouvelle présentation du problème:
---> Est-ce possible de  trouver une matrice (m) carrée r×r à coefficients dans Z/pZ et à déterminant nul telle que l'ensemble de ses puissances soit
[tex] U_{(m)}=\{(m),(m)^2,(m)^3,(m)^4,(m)^5,.....,(m)^{k_2-1}\}[/tex]  avec  [tex] (m)^{k_2}=(m)^{k_1}[/tex] et [tex] 3\le k_1< k_2[/tex] et bien sûr tous les éléments de  [tex] U_{(m)}[/tex] doivent être différents
Merci
Ddtrg

Daudetarago

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Re : puissances d'une matrice à coefficients dans Z/pZ et à déterminant nul

Bonjour à toutes et à tous

Pour rendre rigolo le problème (désolé on m'a extrait du forum cryptographie)
La vérification des résultats est en cours

Dans l'anneau commutatif [tex] \mathbb{Z}/26\mathbb{Z}[/tex] 0,2,4,6,8,10,12,13,14,16,18,20,22,24 n'ont pas d'inverse
on cherche l'image de rang k du vecteur [tex]\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}}[/tex] à coordonnées dans  [tex] \mathbb{Z}/26\mathbb{Z}[/tex] en multipliant dans [tex] \mathbb{Z}/26\mathbb{Z}[/tex] la puissance d'exposant k de la  matrice
(m)= [tex]\begin{pmatrix}25&4&0&0\\0&14&13&0\\0&0&12&13\\17&0&0&25\end{pmatrix}}[/tex] par le vecteur  [tex]\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}}[/tex]
La matrice (m) n'est pas inversible car son déterminant modulo 26 qui est égal à 12 n'a pas d'inverse dans [tex] \mathbb{Z}/26\mathbb{Z}[/tex]
On montre que [tex](m)^{28}=(m)^2[/tex] mais on n'est pas ici dans Z/pZ avec p premier comme dans le début de ce post
Les cycles de vecteurs tous différents seront composés au plus de 28-2=26 vecteurs et les autres cycles auront un nombre de vecteurs qui sera un diviseur de 26
par exemple le vecteur PUMA = [tex]\begin{pmatrix}16\\21\\13\\1\end{pmatrix}}[/tex] (on prend A=1, B=2 .., Y=25, Z=0) se trouve dans un cycle à 2 vecteurs PUMA et PUMK
PUMA a un antécédent direct hors cycle qui est PHMK et PUMK un antécédent direct hors cycle qui est PHMA
PHMK a deux antécédents directs  PHZK et PUZK qui eux n'ont pas d'antécédents
PHMA a deux antécédents directs  PHZA et PUZA qui eux n'ont pas d'antécédents
Les codes sont disposés dans une espèce de "molécule" de codes