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anna

Invité

tétraède : droite d'intersection et parallélisme

Bonjour,

voilà mon exercice :

ABCD est un tétraère. H est un point de la droite (BD) distinct de B et de D et K est un point de la droite (CD) distinc de C et de D tels que la droite (HK) est parallèle à la droite (BC)
g est un point de l'arrête (AD) distinc de A et de D
On note E le point d'intersection des droites ( HG) et (AB) et F le point d'intersection des droites (KG) et (AC)

a) montrer que l'intersection des plans (GHK) et (ABC) est la droite EF

Voilà ce que j'ai fait :
par construction les plans (GHK) et (ABC) ne sont pas sécants , ni confondus puisque :
H distinct de B et D
K distinct de C et D
G distinc de A et D
donc le point d'intersection des plans (GHK) et (ABC) est donc une droite

E est le point d'intersection des droites (HG) et (AB) donc
E appartient au plan ( HGK) et E appartient au plan (ABC)

F est le point d'intersection des droites (KG) et Ac) donc
F appartient au plan ( HGK) et F appartient au plan (ABC)

l'intersection des plans (HGK) et (ABC) est donc la droite (EF)

b) déduisez de ce qui précède que la droite (EF) est parallèle à la droite (BC)
j'utilise le théorème du toit

si 2 plans sécants contiennent des droites parallèles alors leur intersection est un droite parallèle à ces droites

les plans (HGK) et(ABC) sont sécants et contiennent des droites parallèles
en effet par construction on sait que (HK) est parallèle à (BC)
la droite d'intersection (EF) est donc parallèle à ces droites
donc (EF) // (HK) // (BC)

merci de me dire si mes réponses sont correctes, je doute un peu de la démonstration du petit a

bonne soirée
Anna

Anna

Invité

Re : tétraède : droite d'intersection et parallélisme

Bonsoir

une petite erreur s'est glissée dan mon message précédents

Voilà ce que j'ai fait :
par construction les plans (GHK) et (ABC) ne sont pas sécants , ni confondus

ce n'est pas sécants que je voulais mettre mais parallèles car ils sont bien évidemment sécants

désolée

Anna

yoshi

Modo Ferox

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Re : tétraède : droite d'intersection et parallélisme

Bonjour,

C'est de la démonstration du 2. que tu devais douter.
Jamais entendu parler d'un théorème du toit (ce doit être une appellation non contrôlée) :

si 2 plans sécants contiennent des droites parallèles alors leur intersection est un droite parallèle à ces droites

Ça, c'est clairement faux, voilà un contre exemple :
                                     
Réfléchis de nouveau et reviens : je regarde la suite (je vais faire un dessin "propre").

Sinon Q1
Il y a un peu de manque d'ordre, mais c'est juste.
Par construction, E appartient à (GH) et F appartient à (GK) donc la droite (EF) appartient au plan (GHK) (1)
Par construction, E appartient à (AB) et F appartient à (AC) donc la droite (EF) appartient au plan (ABC) (2)
D'après (1) et (2), on voit que la droite (EF) appartient aux plans (GHK) et (ABC), donc elle est l'intersection de ces 2 plans

@+

[EDIT]
Après recherche, si, on trouve un "théorème du toit" (que je connais, mais sans le nom), mais il dit ça :

Si une droite d est parallèle à deux plans sécants P1 et P2 , alors elle est parallèle à leur droite d'intersection d'

yoshi

Modo Ferox

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Re : tétraède : droite d'intersection et parallélisme

Re,

Voilà un dessin :
                                 

@+

nerosson

Membre actif

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Messages : 1 658

Re : tétraède : droite d'intersection et parallélisme

Salut à tous,

Je suis béat d'admiration devant les dessins de Yoshi.

Quand il mourra (le plus tard possible !), il pourra dire comme Néron : "Qualis artifex pereo !"

Pardon pour cette intervention hors de propos !

Anna

Invité

Re : tétraède : droite d'intersection et parallélisme

Bonjour,

merci pour ce début de réponse :

je dois déduire de la question a)
or je sais que la droite (EF) est l'intersection des plans (GHK) et (ABC)

c'est donc bien parce qu'elle est droite d'intersection qu'elle est aussi // à (BC)

mais je ne vois pas comment le démontrer

merci d'une petite aide
Anna