Cantor

titus · 14-03-2011 19:40:49

Bonsoir,

Je voulais connaître la cardinalité de [1,2[ et je la trouve inférieure à la cardinalité de l'ensemble des parties de N .
Est-ce conforme avec Cantor ?
Titus

yoshi · 14-03-2011 20:24:00

Bonsoir,

Avant que quelqu'un puisse te répondre (pas moi, hélas), il faudrait peut-être préciser à quel ensemble appartient [1,2[.
Ce n'est pas à N, sinon, tu ne poserais pas la question...

@+

titus · 14-03-2011 20:44:30

Bonsoir,

Je pensais à l'ensemble des nombres de l'intervalle [1,2[
rationnels et irrationnels
Titus

titus · 14-03-2011 21:42:19

Bonsoir,

J'écris un nombre de l'intervalle, je le découpe en suite croissante d'entiers que je fais correspondre à un sous ensemble de N, 2 nombres différents correspondent à 2 sous ensemble de N différents .
Exemples
1.265479521....... 1 2 6 54 79 521......... E1={1,2,6,54,79,521.......}
1.333400579....... 1 3 33 400 579.......... E2={1,3,33,400,579.........}
1,834 1 8 34 E3={1,8,34}
Si le nombre de zéros consécutifs est fini, les rattacher au nombre précédent, exemple
1.0004824........ 1000 4824................ E4={1000,4824.......}
On peut constater que tous les sous ensembles de N n'apparaissent pas, seuls apparaissent les sous ensembles commençant par 1, 10, 100, 1000 ......etc....
@+

Fred · 14-03-2011 21:45:12

Bonjour,

La cardinalité de [1,2[ est identique à la cardinalité de l'ensemble des nombres réels, et elle est égale à celle de l'ensemble des parties de N.

Fred.

PS : Ce n'est pas contradictoire avec ton message précédent. Tu as construit une injection de [1,2] dans P(N).
Tu peux aussi construire une injection de P(N) dans [1,2[ en associant à toute partie A de N
le réel [tex]1,a_1a_2\dots[/tex] avec [tex]a_i=1[/tex] si i est dans A, [tex]a_i=0[/tex] sinon.
Tu conclus ensuite en utilisant le théorème de Cantor-Bernstein

titus · 14-03-2011 22:52:29

Bonsoir,
Oui, c'est bien ce que dit Cantor, et pourtant j'en trouve beaucoup moins, j'en ai pas perdu en route, je compte même les décimaux .
Les décimaux correspondent aux sous ensembles finis de N .
Tous les réels peuvent être écrit par ce procédé, il y a unicité d'écriture .
Cantor ne peut pas se tromper, moi, c'est possible donc si vous voyez une erreur .
Je peux encore le faire baisser, exemple
1.234567891011121314..... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ..... E1={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15...}
E2={1,23,45,67,89,101,112,131,415.........}
E3={1.234,567,8910,11121,31415.......
E4={1,2345,6789,10111,21314,151617......}

à un nombre de l'intervalle [1,2[ correspond un unique sous ensemble de N
Une infinité de sous ensembles de N redonne le même nombre de l'intervalle, sauf pour les décimaux où un nombre fini de sous ensembles de N redonne le même nombre de l'intervalle

Donc pas de bijection

titus

Dernière modification par titus (14-03-2011 23:18:39)

Fred · 15-03-2011 10:28:51

Bonjour,

On est d'accord, ce que tu as construit n'est pas une bijection.
Mais cela ne prouve pas qu'il n'existe pas de bijection.

Fred.

titus · 15-03-2011 14:59:56

Bonjour,

Pour qu'il y ait bijection, il faudrait que 2 sous ensembles différents de N correspondent à 2 nombres différents de l'intervalle [1,2[
Exemple
x=1.875627........ 1 8 75 627...... E1={1,8,75,627.....}
Tous les sous ensembles E qui par concaténation redonnent x sont infinis
Le nombre d'éléments de E est infini, il suffit que les éléments (entiers) soient en ordre croissant, la taille des entiers n'importe pas donc E2={18,75627.......} redonne x, le nombre de combinaisons est infini .
On peut prendre l'intervalle [1,10[ mettre la virgule après le premier chiffre, on a alors la totalité des décimaux,
rationnels (nombre de décimales infini) et irrationnels, à chaque nombre de cet intervalle correspond un unique sous ensemble de N par construction, si je prends un nombre positif de R au hasard et si je place la virgule après le premier chiffre (différent de zéro) alors ce nombre est dans l'intervalle [1,10[

Donc pour faire une bijection, faut-il tenir compte de la place de la virgule, un irrationnel et ce même irrationnel multiplié ou divisé par une puissance de 10 seraient 2 nombres à discerner ? Car sinon je manque de nombres dans R .

Sinon à chaque nombre de l'intervalle [1,10[ (nombre de décimales infini) on peut associer une infinité de sous ensemble de N, de même on peut trouver une infinité de sous ensemble de N qui par concaténation redonne un unique nombre dans l'intervalle [1,10[

La constante de Champernowne
c=0.12345678910111213141516............pour lui associer un sous ensemble, on découpe ce nombre en suite croissante d'entiers consécutifs, pour lui associer une infinité de sous ensembles, on découpe ce nombre en suite croissante d'entiers sans tenir compte de l'écart . On déplace la virgule après le 1, pour que ce nombre soit dans l'intervalle .
Donc pas de bijection possible, à chaque élément (nombre de décimales infini) de l'intervalle [1,10[ correspond une infinité de sous ensemble de N, la cardinalité de l'ensemble des parties de N est connue, le cardinal de R serait inférieur .
Un sous ensemble de N correspond au moins à un nombre de l'intervalle [1,10[
Le décimal 1,4 correspond à 2 sous ensembles de N, E1={1,4} et E2={14}
Pour les nombres (nombre de décimales infini) rationnels ou irrationnels le nombre de sous ensemble de N correspondant est infini . Pour créer une bijection, impossible .

titus

Dernière modification par titus (15-03-2011 20:12:07)

titus · 15-03-2011 20:05:12

Il faut imaginer les 2 ensembles P(N) et R
Chaque élément de R (sauf les décimaux) est relié à une infinité d'éléments de P(N)
Chaque élément de P(N) est relié à un élément de R
Donc question, comment card(R) peut-il être supérieur à card de P(N)
Faire une inclusion de A dans B, les 2 ensembles sont différents, ensemble des réels et ensemble des parties de N .

titus

Fred · 15-03-2011 21:36:13

Bonjour Titus,

As-tu bien lu mon message n°7?
Pour éviter que cette discussion ne tourne au dialogue de sourd, je préfère la fermer.

Fred.

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