Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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Re : Une autre histoire de fil

re 

        plus tu descends le long d'une spirale conique , plus la pente est douce puisque ton périmètre

         augmente tour après tour , mais le dénivelé est le meme à chaque tour , c'est pour ça que

        la moyenne entre les deux diamètres risque d'etre erronée.

         mais les helices portées par un cone ça doit etre comme les spirales sur un plan ; il doit y en avoir

    pas mal de types différents  .  ça doit etre comme les coniques  . il n'y a qu'un cercle (d'excentricité nulle)

                une parabole  ( excentricité 1)  mais une infinité d'ellipses et d'hyperboles , toute echelle

               confondue

Dernière modification par jpp (08-03-2011 18:18:38)

yoshi

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Re : Une autre histoire de fil

RE,

mais les helices portées par un cone ça doit etre comme les spirales sur un plan ; il doit y en avoir

    pas mal de types différents

Suis donc les deux liens donnés dans mon post précédent...

@+

jpp

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Re : Une autre histoire de fil

re

     autant pour moi , c'est bien l'hélice de Pappus que j'ai calculée avec pour projection sur xOy la spirale

     d'archimède  car l'hélice conique a pour projection la spirale logarithmique . Mais cette dernière ne peut

      pas etre utilisée dans notre cas  parce qu'on s'est imposé trop de contraintes au départ.

        -- B  à  mi-chemin entre le sommet et la base  et  360° imposé. donc le pas est constant.

           comprends-tu. ?

yoshi

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Re : Une autre histoire de fil

Re,

Oh, mais ça ne me pose pas de problèmes métaphysiques, ni existentiels...
Tu as simplement dit qu'il devait y avoir différences sortes d'hélices, j'ai simplement abondé dans ton sens en te disant  de suivre les deux liens.

Pour trancher définitivement (puisque j'ai déjà pris une option à 90%) entre les deux, Pappus et l'autre, je verrai demain : pour ce soir, je me refuse à réfléchir davantage : trop d'activité cérébrale le soir, nuit à mon sommeil de retraité.
J'avais constaté ça avec les BD de Jean-Pierre Petit... Les connais-tu ?

@+

jpp

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Re : Une autre histoire de fil

bonjour.

           Yochi , au post #19  pour le parcours que tu veux imposer à l'araignée pour aller de C( 5 , 0 )

            à H ( 2.5 , 0 )  sur le cercle de base en suivant un tunnel (spirale logarithmique) , j'ai la longueur

            que tu cherche et la méthode .    Si j'ai bien compris au post #19 pour l'idée dingue.

yoshi

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Re : Une autre histoire de fil

Re,

Bon, j'ai repris...
Jusqu'à ton intégration, j'ai bien tout refait. Je suis d'accord : j'avais trouvé encore un site bien plus net pour les équations paramétriques.
Par contre, ta primitive me laisse perplexe.
Je referai les calculs demain...
J'ai plutôt écrit :
[tex]\int_{2\pi}^{4\pi}\sqrt{a^2\times(1+t^2) + b^2}  dt= \int_{2\pi}^{4\pi}\sqrt{a^2\left(t^2+1+\frac{b^2}{a^2}\right)}\; dt=a\int_{2\pi}^{4\pi}\sqrt{t^2+1+\frac{b^2}{a^2}}\;dt[/tex]
Et je vais poser [tex]c =1+\frac{b^2}{a^2}[/tex]
Ce qui m'amènera à [tex]L=a \int_{2\pi}^{4\pi}\sqrt{t^2+c}\;\; dt[/tex]
que je ne sais plus calculer en claquant des doigts, d'où la réflexion que je veux mener demain.
Le résultat, je l'ai de toutes façons ici :
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? … ndom=false

@+
[EDIT]
Je vois ton post, je fais donc un ajout...
Le deuxième lien de la page précédente me donne la formule, si je ne me trompe pas :
je voulais "juste la longueur" du projeté orthogonal de la spirale conique sur le disque de base.
Au feeling, je dirais comme ça, que la seule différence entre les équations paramétriques de ma spirale projetée et celle de l'hélice conique, sera l'absence de la cote z...
C'est encore un truc pour moi à vérifier demain.
Là, on est vraiment dans une partie des maths absolument fascinante mais qu'on ne voit pas en Term S : peut-être Maths Sup ou Spé et encore pas sûr : c'est du haut niveau très spécifique..
Dire qu'on est parti d'un problème "anodin", va falloir que je me calme un peu... ;-)

yoshi

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Re : Une autre histoire de fil

Bonjour,

La nuit portant conseil, j'ai essayé de penser par moi et je reprends donc tout...
Je prends comme plan (xOy), le plan parallèle au disque de base et passant par S : S = O et je trace mon hélice conique régulière passant par S, A et C.
L'axe [Oz) est porté par la hauteur [SH] du cône...
la cote z varie de 5 m par tour, soit 5 m pour 2pi, donc pour un angle de rotation [tex]\theta[/tex], la cote d'un pont M quelconque de l'hélice est donc :
[tex]z= \frac{5\theta}{2\pi}[/tex]
Reprenons ce point M : à tout instant, il appartient à un cercle centré sur [SH] et de rayon R.
Pour un angle de rotation [tex]\theta[/tex], j'ai donc :
[tex]\begin{cases}x&=R\cos \theta\\y &=R\sin \theta\end{cases}[/tex]
Mais la valeur de ce rayon dépend de la cote du point M.
[tex]\alpha[/tex] étant le demi-angle au sommet du cône, j'ai :
[tex]R=z_M \tan \alpha=\frac{5\theta}{2\pi}tan\alpha[/tex].

Ce qui me donne finalement :
[tex]\begin{cases}x&=\frac{5\tan \alpha}{2\pi} \theta\cos \theta\\y &=\frac{5\tan \alpha}{2\pi} \theta\sin \theta\\z&=\frac{5\tan\alpha}{2\pi}\theta\end{cases}[/tex]

Je vais appeler k ma constante :
[tex]k=\frac{5\tan \alpha}{2\pi}=\frac{5\times 0.5}{2\pi}=\frac{5}{4\pi}[/tex]
Mes équations paramétriques s'écrivent donc :
[tex]\begin{cases}x&=k. \theta.\cos \theta\\y &=k. \theta.\sin \theta\\z&=k.\theta\end{cases}[/tex]
Est-ce que tu es d'accord avec ça ?

@+

jpp

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Re : Une autre histoire de fil

Bonjour.

             donc notre spirale logarithmique au sol doit passer par les points A (2.5 , y ) & B (5, 2y)

             son équation générale  est [tex]r(t) = a\times{b^t}  =  a\times{e^{\ln{b}\times{t}}}[/tex]

             avec  [tex]\ln{b} = k[/tex].  De plus la spirale doit faire exactement un tour soit [tex]2\pi[/tex]

             pour aller de A à B.  On peut donc écrire:

            [tex]a.e^{k\times{(t + 2\pi)}} - a.e^{k.t} = 5 - 2.5 = 2.5[/tex]

            On en déduit  [tex]e^{(k.2\pi)} = 2  \;  soit \;    k = \frac{\ln{2}}{2.\pi}[/tex]

             Maintenant si on place A de telle sorte que [tex]a\times{e^{(k.2\pi)}}  =  2.5[/tex]

              alors  [tex]a = 1.25[/tex] d'ou l'équation  [tex]r(t) = 1.25\times{e^{\frac{\ln{2}}{2.\pi}.t}}[/tex]
               La longueur de l'arc de courbe s'écrit [tex]L = \int_{2.\pi}^{4.\pi} \sqrt{r(t)^2 + r^{'}(t)^2}.dt  \approx   22.79928[/tex]

             car l'intégrale est la suivante:

[tex]\int_{2.\pi}^{4.\pi}{a\times\sqrt{e^{2.k.t}  +  k^2\times{e^{2.k.t}}} . dt}[/tex]

    et  [tex]L  =  \left[ a\times\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\times{e^{k.t}} \right]_{2.\pi}^{4.\pi}   \approx22.799[/tex]

        après avoir pris les valeurs des 2 constantes  [tex]a   \,et\;   k[/tex]

Dernière modification par jpp (11-11-2011 10:24:47)

jpp

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Re : Une autre histoire de fil

bonjour Yoshi.

      pour te répondre  .   je reviens sur ta spirale de pappus .

        k  n'est pas le paramètre de z(t)  parce que le demi angle au sommet ne fait pas 45°

yoshi

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Re : Une autre histoire de fil

Re,

Je ne crois pas avoir pris une telle hélice.
Je n'ai pas pris un demi-angle au sommet de 45°
J'ai pris [tex]\tan \alpha = \frac{rayon de base}{hauteur}=\frac{5}{10}=0.5[/tex]
J'ai bien développé ma pensée point par point afin qu'un intervenant (toi ou un autre, pas d'exclusive) puisse me dire très précisément si mon cheminement est faux et à partir d'où...

Tu es au boulot, tu as trop peu de temps pour expliciter ta pensée, et tu réponds à l'emporte-pièce... ;-)
Laisse tomber, reviens-y quand tu auras le temps, et c'est là que tu vas t'apercevoir que savoir pour soi et savoir pour les autres sont deux concepts séparés par un gouffre.

J'ai la journée pour méditer
Allez bon boulot,

@+

jpp

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Re : Une autre histoire de fil

RE

     L'équation  de (H)   c'est [tex]X(t) = \frac{2.5}{2.\pi}\times{t}\times{\cos{t}}[/tex]

                                         [tex]Y(t) = \frac{2.5}{2.\pi}\times{t}\times{\sin{t}}[/tex]

                                         [tex]Z(t) = \frac{5}{2.\pi}\times{t}[/tex]

             puisque   [tex]\tan{\alpha} = 0.5[/tex] L'évolution des 2 composantes horizontales est de

              2.5m  / tour  et l'évolution de  Z(t)  est de 5 m / tour.

jpp

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Re : Une autre histoire de fil

Bonjour 

              en repartant du post #33 ou je calculais la longueur de la spirale logarithmique qui est la projection

              de la spirale conique qui a pour équation cartésienne

    [tex]X(t)  =  a\times{e^{k.t}}\times\cos{t}[/tex]

[tex]   Y(t)   =  a\times{e^{k.t}}\times\sin{t}[/tex]

[tex]   Z(t)   =  a\times{e^{k.t}}\times{\cot{\alpha}}[/tex] 
avec [tex]\alpha  =[/tex]     demi angle au sommet du cone  avec [tex]\cot{\alpha} = 2[/tex]  pour notre cone

ce qui donne

           [tex]dL  =  \sqrt{{X'(t)}^2  + {Y'(t)}^2  +  {Z'(t)}^2} . dt[/tex]

       ce qui donne [tex]dL  =  a\times\sqrt{1+5.k^2}\times{e^{k.t}}[/tex]

        donc   [tex]L  =  a\times\sqrt{1+5.k^2}\times\int_{2.\pi}^{4.\pi}e^{k.t}.dt[/tex]

   
           et  [tex]L  =    \left[\frac{a\times\sqrt{1+5.k^2}}{k}\times{e^{k.t}}\right]  _{2.\pi}^{4.\pi}  \approx  23.3411[/tex]

               et sa longueur est une progression géomètrique de raison 2  à chaque tour

             c'est à dire qu'entre  [tex]4\pi[/tex]   et  [tex]6\pi     L  = 46.6822[/tex]

                                  entre  [tex]6\pi[/tex]  et   [tex]8\pi    L  \approx  93.364 .....[/tex]

Dernière modification par jpp (11-11-2011 10:53:19)

yoshi

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Re : Une autre histoire de fil

Salut,

Non, je n'ai rien oublié.. et surtout pas ce fil de discussion.
J'ai donc cherché à savoir si mes calculs du post #32 étaient corrects ou non.
Maintenant j'ai cette réponse oui et non :

k  n'est pas le paramètre de z(t)

Diagnostic exact, mais :

parce que le demi angle au sommet ne fait pas 45°

qui est exact aussi est hors-sujet.
J'ai "simplement" commis une étourderie dans mon résumé : [tex]\tan \alpha[/tex] ne doit pas figurer dans la formule de [tex]z(\theta)[/tex], puisque j'avais bien commencé par mon post par :
[tex]z=\frac{5\theta}{2\pi}[/tex]

J'ai d'autre part acquis la quasi-certitude que mes formules corrigées sont justes.

Donc si je veux rester dans ma normalisation et rester cohérent,  je dois écrire ce qui qui suit.
(je ne te ferais l'injure d'écrire ce qui va suivre pour toi, mais pour les lecteurs)
Sachant que [tex]\tan \alpha= \frac 1 2[/tex], je note [tex]k = \frac{5}{2\pi}\times \frac 1 2= \frac{5}{4\pi}[/tex].
Jusque là, rien de changé, mais : [tex]z(\theta)=2k\theta[/tex]  et  non [tex]k\theta[/tex].
Donc :
[tex]\begin{cases}x(\theta)&=k\theta\cos \theta\\y(\theta)&=k\theta\sin \theta\\z(\theta)&=2k\theta\end{cases}[/tex]

Et maintenant, j'ai donc :
[tex]\frac{dL}{d\theta}=\sqrt{k^2(\cos\theta-\theta\sin\theta)^2+k^2(sin\theta+\theta\cos\theta)^2+4k^2}[/tex]
Soit
[tex]\frac{dL}{d\theta}=k\sqrt{(\cos\theta-\theta\sin\theta)^2+(sin\theta+\theta\cos\theta)^2+4}[/tex]
Et encore
[tex]\frac{dL}{d\theta}=k\sqrt{\cos^2\theta+\theta^2\sin^\theta-2\theta\sin\theta\cos\theta+sin^2\theta+\theta^2\cos^2\theta+2\theta\sin\theta\cos\theta+4}[/tex]

Je réduis:
Avec  [tex]\sin^2\theta+\cos^2\theta=1[/tex]  il vient  [tex]\theta^2\cos^2\theta+\theta^2\sin^2\theta=\theta^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\theta^2[/tex]
Et les doubles produits s'éliminent.
On a donc finalement :
[tex]\frac{dL}{d\theta}=k\sqrt{\theta^2+5}[/tex]
Alors :
[tex]L=k\int_{2\pi}^{4\pi}\sqrt{\theta^2+5}\;\;d\theta[/tex]

[tex]\frac{5}{4\pi}\times\left[\frac{\theta\sqrt{\theta^2+5}}{2}+\frac{5\sinh^{-1}\left(\frac{\theta}{\sqrt 5}\right)}{2}\right]_{2\pi}^{4\pi}\approx 24,240\;m [/tex] à 1 mm près.
(au passage, il faut toujours que je réfléchisse au comment de l'intégration de la racine)

Conclusion nous n'avons pas les mêmes résultats à 40 cm près...

@+

jpp

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Re : Une autre histoire de fil

Bonjour Yochi

                    dans mon calcul de l'intégrale à la machine j'avais oublié les valeurs absolues dans le

                    logarithme  . j'ai rectifié  .

                     l'intégrale [tex] \int_{2.\pi}^{4.\pi}\sqrt{a^2\times{(1+t^2)} + b^2}\,\,.dt[/tex]

                   est la meme car il suffit de remplacer  b par 2a

                    après  on obtient un radical de la forme [tex]  \sqrt{u^2 + 1}[/tex]

                     on effectue un changement de variable   [tex]  u = \sinh{x}[/tex]

                    et le tour est joué.

Dernière modification par jpp (11-11-2011 11:03:31)

jpp

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Re : Une autre histoire de fil

re

    histoire de m'entrainer au latex

         je pose [tex] b = 2a [/tex]  alors [tex]  L  =\int_{2.\pi}^{4.\pi} a\times{\sqrt{t^2+5}}\,\,.dt[/tex]

           
         [tex]   L   =  \int_{2.\pi}^{4.\pi} a.\sqrt{5}\times\sqrt{\frac{t^2}{5}+1}  .dt[/tex]

        je pose  [tex]  \frac{t}{\sqrt{5}}  =  \sinh{x} [/tex]    et  [tex]t  = \sqrt{5}\times{\sinh{x}}    --->    dt  = \sqrt{5}\cosh{x}\,\,dx[/tex]

          [tex]   L   =  a.\sqrt{5} . \int{\sqrt{\cosh^2{x}}\times\sqrt{5}\times\cosh{x}}.dx   = 5a . \int{(\cosh{x})^2}.dx  =  5a.\int\frac{1+\cosh{2x}}{2}.dx[/tex]

   [tex]  L  =  5a\times\left[\frac{x}{2}  + \frac{\sinh{2x}}{4}\right]   [/tex]  puis en reportant la valeur de

           [tex]  X  =  arg\sinh{\frac{t}{\sqrt{5}}}[/tex]

[tex]  L  =  \frac{25}{4.\pi}\times\left[\frac{arg\sinh{\frac{t}{\sqrt{5}}}}{2}+\frac{\sinh\{2arg\sinh{\frac{t}{\sqrt{5}}\}}}{4}\right]_{2.\pi}^{4.\pi}  [/tex]

   [tex]   L  =  \frac{25}{8.\pi}\times\left[arg\sinh\left[\frac{t}{\sqrt{5}}\right]+\sqrt{\frac{t^2}{5}+1}\times\frac{t}{\sqrt{5}}\right]_{2.\pi}^{4.\pi}    \approx  24.240[/tex]

Dernière modification par jpp (10-11-2011 13:15:14)

yoshi

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Re : Une autre histoire de fil

Re,

... ce soir le latex j'en ai jusque là...

:-))
Je veux bien te croire : au bout d'un certain temps, c'est soûlant...
Une erreur est si vite arrivée, un doigt qui se place sur la mauvaise touche et paf, message d'erreur à la prévisualisation...
Et après la galère, pour trouver où ça merde... Je connais ça ! J'ai déjà beaucoup, beaucoup donné !

Un détail de forme : le calcul de la valeur d'une primitive entre deux bornes s'affiche entre crochets et pas accolades (j'ai rectifié).
Et lorsque qu'on a une fraction entre crochets ou entre parenthèses, il est plus esthétique d'utiliser des grands crochets ou des grandes parenthèses soit :
\left[ et right]  au lieu de [ et ],  \left( et right)  au lieu de ( et  )
  Exemple
[tex]\left[x^2\left(\frac{x+3}{x+2}\right)\right]_0^2[/tex]  au lieu  de [tex][x^2(\frac{x+3}{x+2})]_0^2[/tex]

Autre chose qui ne figure pas dans mon topo, je crois, les grandes accolades pour les systèmes :
\begin{cases}x&=2\\y+3&=1\\x+y+z&=5\end{cases}
le & permet d'aligner verticalement les =, et \\ pour aller à la ligne.
Soit avec les balises :
[tex]\begin{cases}x&=2\\y+3&=1\\x+y+z&=5\end{cases}[/tex]

Bon repos des doigts...

@+

jpp

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Re : Une autre histoire de fil

re

        merci pour les crochets  c'est vrai qu'au bout d'un moment quand tu as un paquet parentheses d'ouvertes

         on ne sait plus trop ou on en est...justement je vais terminer mon topo en utilisant les grands crochets

         tu as du deviner ma pensée parce que je t'aurais demandé de toute façon.

yoshi

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Re : Une autre histoire de fil

Re,

Ok ! ;-)
J'ai récemment changé de technique : j'ouvre et ferme des crochets ou des parenthèses ou des accolades dans la foulée et au coup par coup : je trouve que j'ai un peu moins tendance à en oublier...

Mais le pire c'est [{( dans la même formule : là c'est facile d'avoir un doigt qui fourche...
Heureusement qu'il y a la prévisualisation : ça m'a déjà permis de repérer pas mal de gaffes.
Encore aujourd'hui !!! :-(

@+

jpp

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Re : Une autre histoire de fil

re

        moi ou je me plante souvent c'est qu'après avoir prévisualisé et vu le message error

         je crois retrouver mon texte mais je me trouve à corriger la ligne au dessus qui elle , était bonne

           alors j'te raconte pas comment ça me fout en rogne.

yoshi

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Re : Une autre histoire de fil

Re,

mais je me trouve à corriger la ligne au dessus qui elle , était bonne

Ça c'est moins grave : clic droit de la souris dans le texte et clic sur Annuler, autant de fois que nécessaire...

alors j'te raconte pas comment ça me fout en rogne.

J'vois ça d'ici... :-)

Bah, tu apprendras à t'y faire... parce qu'à peu près inévitable : emporté par son élan !

@+