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Cirdeco

Invité

[Résolu] équivalence

Bonjour,
L'équivalence suivante est-elle vraie :
deux vecteurs sont colinéaires <=> leurs coordonnées sont proportionnelles
La question que je me pose c'est dans le cas où un vecteur est nul : est-ce que le tableau constitué des coordonnées des 2 vecteurs est bien un tableau de proportionnalité s'il y a une ligne qui ne comporte que des 0.
Merci beaucoup.
Cédric

yoshi

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Re : [Résolu] équivalence

Re,

La réponse est oui.
Et le vecteur nul  joue pour les vecteurs le même rôle que le 0 dans la multiplication.
Oui, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur : [tex]\vec 0 = 0 \times \vec v[/tex].
Et alors ? Que peux-tu en tirer ?

@+

freddy

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Re : [Résolu] équivalence

salut,

dans la définition de la colinéarité, on prend bien la précaution de dire "vecteurs non nul".

Je pense que ça répond à ta question.

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] équivalence

Re,

Niet, freddy...
                         

A priori, c'était tellement évident !
Puis j'ai eu comme un doute, me suis ravisé et enfin j'ai vérifié à la source...

@+

Cirdeco

Invité

Re : [Résolu] équivalence

Bonjour,
du coup, si j'ai bien compris, le vecteur de coordonnées (0,0,0) et celui de coordonnées (1,1,1) sont bien colinéaires mais la question qui se pose alors, c'est de savoir si le tableau :
0  0  0
1  1  1 est ou non un tableau de proportionnalité.
Pour cela, il faudrait que je puisse disposer d'une définition aussi irréfutable sur la proportionnalité que celle de yoshi sur la colinéarité.
D'après moi et ce qu'on m'a appris, un tableau de 2 lignes est un tableau de proportionnalité si l'on peut passer d'une ligne à une autre en multipliant par un réel NON NUL. L'exemple que j'ai donné ne serait donc pas un tableau de proportionnalité.
J'attends votre avis avec impatience.
merci beaucoup,
Cédric

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] équivalence

Ave,

Je me demande bien le pourquoi de tes soucis métaphysiques ? Peux-tu nous éclairer ?
Attention quand même, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur non nul, mais la réciproque n'est pas vraie.

Personnellement, je n'ai jamais donné cette définition en 6e/5e avec la mention "non nul" :
Définition : un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque tous les nombres d'une ligne s'obtiennent en multipliant tous ceux de l'autre ligne par un même nombre.
Mais il est vrai qu'en 6e/5e on n'a pas besoin de préciser non nul ou pas, avec comme exception les fractions égales à des fractions non nulles.

Et pourtant :
Dans un tableau de proportionnalité (en lignes), tous les nombres d'une ligne, se déduisent des nombres correspondant de l'autre ligne en les multipliant (ou les divisant) par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Ce qui pose effectivement un problème dans un sens avec la division...

Prendre un coefficient de proportionnalité égal à 0 est quand même une drôle d'idée...
Je dirais donc qu'il y a proportionnalité dans un sens et pas d'autre, quant au tableau dit de proportionnalité, ce n'est guère qu'un moyen pratique de calculer toutes les valeurs d'une grandeur à partir des valeurs connues d'une autre grandeur...
Ma foi, c'est quand même un cas limite de tableau de proportionnalité puisque ne fonctionnant que dans un sens...
Les fonctions linéaires sont des traductions de situations de proportionnalité ; f(x)=ax avec a dans |R est une fonction linéaire, sa représentation graphique passe par l'origine des coordonnées.
donc f(x)=0.x en est bien une... Sauf que c'est encore un cas particulier et que c'est une fonction constante...

@+

freddy

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Re : [Résolu] équivalence

Salut cirdeco,

yoshi a raison, jai dit une bêtise. Par contre, je ne comprends pas bien non plus ta question.

Bb

Fred

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Re : [Résolu] équivalence

Salut,

  Je ne comprends pas bien la question de Cédric non plus, mais je peux donner un petit éclairage de mathématiques du supérieur. Après le bac, on ne parle plus de vecteurs colinéaires, mais de vecteurs liés.
On dit que deux vecteurs [tex]\vec u[/tex] et [tex]\vec v[/tex] sont liés s'il existe deux réels
a et b, qui ne sont pas tous les deux nuls, tels que [tex]a\vec u+b\vec v=\vec 0[/tex].

Ceci permet d'écrire avec une seule équation que deux vecteurs sont colinéaires, quand dans la source que te donne Yoshi on en a besoin de deux (blabla ou blabla).

Fred.

CIRDECO

Invité

Re : [Résolu] équivalence

Pour finir,
est-ce que vous écririez plutôt deux vecteurs sont colinéaires <=> leurs coordonnées sont proportionnelles
ou alors                    deux vecteurs non nuls sont colinéaires <=> leurs coordonnées sont proportionnelles

dans tous les cas, merci beaucoup !
Cédric

Fred

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Re : [Résolu] équivalence

Ah, je vois mieux ou tu veux en venir....

Il me semble que j'écrirai sans problèmes la première.
Le vecteur nul est proportionnel à tous les autres vecteurs....

Fred.