Developpement limité et formules de taylor.

peuks · 03-03-2011 18:04:16

Bonsoir tout le monde .

comme premier post sur le forum je vous expose deux de mes problèmes .

Le premier exercice que j'ai consiste a justifier l'existence et calculer la dérivée à l'ordre n des fonctions.

J'ai par exemple x²e^-x

Que dois je faire ?

Pour commencer je pense qu'il faut déjà commencer par dériver plusieurs fois . puis utiliser la récurrence . Et ensuite ? c'est finit non ?

Pour mon deuxième exercice il s'agit de démonter que la fonction g(x) est de classe C^1
g(x)=x^2 sin (1 over x) pour x different de 0
0 pour x=0

Si j'ai bien compris le deuxième exercice, je commence par faire la limite à droite et à gauche de la fonction g(x) et je trouve que le cas de x different de 0 -1 et 1 car sin a comme bornes -1 et 1 ?

Par conséquent -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 et donc -x² ≤ g(x) ≤ x²
Et ensuite je sèche la suite ...

La prochaine fois je vais essayer d'utiliser l'option insérer une équation . Pour le moment je ne sais pas pourquoi firefox ne reconnait pas java qui est pourtant installé ( jai openoffice sur ubuntu )

Merci d'avance :)

freddy · 03-03-2011 18:18:48

Salut,

1 - pour commencer, il faut d'abord que tu dises pourquoi la fonction [tex]x^2 e^{-x}[/tex] est n fois dérivable sur son domaine de définition. Utilises les théorèmes classiques de somme et produit de fonctions dérivables.
C'est seulement ensuite que tu calcules la dérivée, puis la dérivée de la dérivée, puis ...

Normalement, tu devrais voir une récurrence apparaître et donc généraliser.

2 - Pour cet exo, que veut dire fonction de classe [tex]C^1(R)[/tex] ? Dérivable et de dérivée est continue sur R.

Si oui, démontre le !

Rappel : tu as pour x non nul [tex]x^2 \sin\left(\frac1x \right)[/tex] et 0 pour x = 0. Manifestement, cette fonction a été prolongée par continuité en 0, non ?

peuks · 03-03-2011 18:39:09

1

Je pensais que pour dire qu'elle est ne fois dérivables il fallait utiliser justement la récurrence ?
J'ai biens deux formules dans mon cours qui pourrons surement me servir . A t'écouter je dirai que comme présenti c'est leibniz que je dois utiliser.
Quoi que non d'après la définition si fg est est n fois dériable (fg)^n=Somme de p = 0 jusqu'a n de f ^p * g^n-p.
Du coup je démontre ma récurrence que x²e^-x est dériable puis j'utilise La formule de leibniz en disant que x²e^-x est composé en deux fonctions tel que f(x)=x² et g(x)=e^-x

2 pour cet exo g est définit sur R et par classe C^1 je veux dire dérivable une fois ( je pense la définition est juste ? Si une fonction dérivable n fois alors elle est de classe C^n )

Dernière modification par peuks (03-03-2011 18:41:28)

freddy · 03-03-2011 18:41:57

Re,

non, classe C1 veut dire dérivable une fois et dérivée continue sur son domaine de défintion.

Va voir là : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … efonc.html

Dans ton cas, j'ai un petit doute : g est bien dérivable, mais sa dérivée n'est pas continue en 0 me semble t-il.

peuks · 03-03-2011 18:59:47

Dans l'exercice corrige ( avec une faute de ma part je pense ) j'ai bien que la dérivée n'est pas continue sue R* et comme dérivée j'ai 2xsin-cos 1/x
je pense que la deuxième partie de ma dérivée est car normalement c'est u'v -uv' et donc ça donne 2xsin1/x -x²cos1/x

freddy · 04-03-2011 14:31:09

Salut,

la dérivée de g est égale à [tex]2x \sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)[/tex] pour x non nul.

Elle n'existe pas en 0, donc cette fonction g est de classe C1 sur R*, mais pas sur R.

yoshi · 04-03-2011 15:45:52

Bpnjour,

Message différé pour cause de panne du site.

Re,

Bienvenue sur BibM@th...
Justement, Insérer une équation ne fonctionne qu'avec Java installé...

Mais tu n'en as pas besoin, tu peux écrire du LaTeX à la main, va voir Code LateX
L'éditeur d'équation d'OpenOffice utilise du LateX sans les \ alors qu'ils sont nécessaires sur le forum...
Ta ligne :
g(x)=x^2 sin (1 over x) pour x different de 0
peut s'écrire ainsi en LateX

[tex]g(x)=x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right)\;\;\forall x \neq  0[/tex]

Et si j'enlève les balises code et /code qui n'accepte que du texte, pas de formule, avec une police à espacement fixe, voilà ta formule affichée :
[tex]g(x)=x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right)\;\;\forall x \neq 0[/tex]
Voici le code OpenOffice peu différent comme tu le vois :
g(x)=x^2 sin left({1 over x}right) forall x neq 0
frac{num}{dén} ne marche pas avec OOo
{num \over dén} fonctionne avec Latex, mais \frac permet de s'y retrouver plus facilement

\left( et \right) c'est pour faire plus joli : ça agrandit les parenthèses qui couvrent alors toute la fraction.

@+

freddy · 04-03-2011 16:33:36

freddy a écrit :

Salut,
la dérivée de g est égale à [tex]2x \sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)[/tex] pour x non nul.
Elle n'existe pas en 0, donc cette fonction g est de classe C1 sur R*, mais pas sur R.

Re,
j'ai dit une bêtise.

La dérivée de la fonction g en 0 est égale à : [tex]g'(0) = \lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac1x \right) = 0[/tex]

donc la fonction est bien dérivable sur R. Mais continue uniquement sur R*.

peuks · 04-03-2011 17:43:59

Dans le corrigé j'ai bien se que tu m'as donné avant ta correction ( sans trop savoir pourquoi car normalement l'a dérivée de uv c'est u'v+uv'). En tout cas si je retombe sur cet exercice je saurai le refaire je pense .
Merci beaucoup freddy

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Developpement limité et formules de taylor.

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