Une autre histoire de fil

jpp · 01-03-2011 20:24:41

bonsoir.

Ce n'ai pas un problème de Sam Loyd.

Voilà ; dans une grande salle de forme conique --- cone droit --- dont le diamètre de base

D = 10 mètres et la hauteur H = 10 mètres ( altitude du sommet ) , je désire installer un

système d'éclairage . Je décide de placer l'ampoule sous la voute au point A situé à exactement

5 mètres de haut. et l'interrupteur au point B qui sera le plus éloigné de l'ampoule à l'intérieur de

cette enceinte . ---- Je ne serai sans doute pas au norme ---

Question: quelle est la longueur minimum de la gaine joignant A & B

dont j'aurai besoin ? cette gaine sera collée sur la paroi. et on négligera

le diamètre de cette gaine .

Et A et B sont situés sur la paroi conique.

bon courage.

Dernière modification par jpp (02-03-2011 06:56:23)

freddy · 02-03-2011 08:55:27

Salut,

comme dans le pb de yoshi, je ne sais pourquoi je pense tout de suite à de la Wifi => plus de câble ! ... ;-)

yoshi · 02-03-2011 12:23:24

Salut

Je décide de placer l'ampoule sous la voute au point A situé à exactement
5 mètres de haut. et l'interrupteur au point B qui sera le plus éloigné de l'ampoule à l'intérieur de
cette enceinte

Ton fil descend-t-il du sommet (comme sur mon dessin, en bleu), y a-t-il un bras fixé à la paroi, ou une applique fixée à la paroi de façon à ce que lampe soit à 5 m du sol ?
L'interrupteur placé le plus loin de l'ampoule sera donc placé sur le sol en périphérie (mon point noir) ?
Pourquoi ne serait-ce pas << aux normes >> ? Yaka prendre un interrupteur à pied...

@+

nerosson · 02-03-2011 15:33:50

Salut à tous,

Yoshi, il me semble que le problème ne se pose pas comme tu l'as dessiné, puisue JPP dit que A et B sont situés sur la paroi du cône.

A moins que je n'aie rien compris (une éventualité qui ne doit jamais être écartée : je me demande toujours ce que je fous sur ce forum !) A se situe au milieu d'une des génératrices du cône et B à la base de la génératrice "diamétralement" opposée (je ne suis pas sûr que ceci soit correctement exposé, mais j'espère être compris).

CONJECTURE :

il me semble que pour trouver la tracé de mon fil, je couperais le cône par un plan passant par A et B et donnant une ellipse dont A et B seraient les deux extrêmes.

La longueur du fil serait donc la moitié de cette ellipse, mais je ne sais pas (ou plus) la calculer.

yoshi · 02-03-2011 16:21:31

Re,

Tu as peut-être raison dans ton interprétation basée sur la position de la gaine.
Moi, je suis limité à l'interprétation de :

Je décide de placer l'ampoule sous la voute au point A situé à exactement 5 mètres de haut.

1. C'est un cône. C'est quoi la voûte d'un cône ? Moi pas connaître. La voûte d'un dôme en forme de calotte sphérique, si, je connais, tout comme la voûte de la nef d'une église...
2. J'en ai inféré que peut-être il s'agissait du sommet du cône...
3. Moi, pour faire ch... le monde :-) j'aurais placé ma lampe effectivement sur une génératrice du cône.
Si c'est le cas je sais comment faire les calculs et c'est à la fois plus simple et plus compliqué (sauf erreur comme dirait ce bon freddy, et sauf si tu révises un moment la trigo tu n'auras pas la réponse) que ce que tu proposes.
4. Mais je ne veux pas me creuser les méninges inutilement, d'où ma demande de précision.
Moi aussi je place ma gaine sur la paroi jusqu'au sommet et du sommet descend le fil gainé moulé (gaine différente d'une gaine électrique) avec la lampe...
Ton interprétation est probablement la bonne, c'est ce que j'avais cru comprendre dès la première lecture, mais en 2e lecture, je n'ai pas vu écrit expressément que tes points A et B sont sur la paroi.
5. Je dirais même que si l'interrupteur doit être placé la plus loin de la lampe, je le mettrais au centre du cercle de base : ainsi il faut 5 m de plus pour aller jusqu'à la paroi.
Wait and see...

@+

PS
Je suis étonné : je pensais que tu allais te lancer dans le dessin toi aussi : le mien a été fait avec la barre d'outils de dessin d'OpenOffice plus une image d'ampoule récupérée sur le net, que j'ai retouchée...
Quand est-ce que tu lances ? Faut bien commencer un jour...

jpp · 02-03-2011 18:09:18

Bonsoir .

Yoshi , merci pour le petit dessin par contre , à la dernière ligne , il est précisé que A & B sont

sur le cone . donc tu descends ou plutot tu gardes la meme altitude -- 5 m --- là ou Nerosson

a dit : au milieu de la génératrice diamètralement opposée à l'interrupteur.

donc tu poses ton point au milieu de l'hypothénus du triangle que tu fais pivoter de 90° dans le

sens direct.

jpp · 02-03-2011 18:16:04

re

j'ai imposé d'abord la position de l'ampoule et ensuite j'ai ajouté pour B , le point le plus éloigné.

Donc maintenant les choses sont claires.

nerosson · 02-03-2011 18:30:47

Re,

JPP, tes précisions ne me paraissent pas contradictoires avec ce que je conjecturais.

Je voudrais bien savoir si mon truc tient la route.

jpp · 02-03-2011 18:43:59

bonsoir Nerosson .

Le chemin n'est pas celui que tu proposes. L'éllipse est bien la conique qui passe par A & B

et qui a pour grand axe AB . mais ce n'est pas le plus court chemin.

yoshi · 02-03-2011 20:48:35

Salut,

Donc oui, j'avais trouvé que si la lampe est sur la paroi à 5 m de hauteur sur une génératrice d'après me théorème de Thales ou le "théorème de la droite des milieux" le point A est au milieu d'une génératrice.
Si S est le sommet du Cône, appelle C le point où la génératrice [SA) rencontre le cercle de base de centre O.
Maintenant, on va se comprendre, parce que, désolé, je n'ai toujours pas compris où tu places ton interrupteur B

J'ai placé mon interrupteur B le plus loin possible de la lampe, c'est à dire, pour moi, diamétralement opposé à C sur le cercle de base, et dans ce cas précis, j'ai trouvé la longueur mini de la gaine : je dois dire que c'était un peu plus "coton" que le calcul de Sam Lloyd.
Encore pire (pour le fun) a été le calcul de la distance parcourue par une araignée C montant régulièrement en spirale sur la paroi du cône jusqu'à la mouche A (ce calcul tente quelqu'un ? que je compare)...
Mon développé du cône sans le disque de base :

Donc :
Tu as imposé la position de l'ampoule. ok, c'est clair, c'était ma première idée avant de me raviser à tort.
Après tu fixes le point B (sachant que "A est au milieu de la génératrice diamétralement opposée à l'interrupteur"). ok.
Il est donc (l'interrupteur) sur le segment [SB] qui est la génératrice diamétralement opposée à la génératrice [SC)
Il n'est probablement pas à là où je l'ai mis (sur le sol) alors du diable si j'ai compris où, peut être sur [SB] à 2,5 m du sol après tout ce qui expliquerait le "pas aux normes"...
Non, ça ne tient pas debout : même pour les besoins de la cause, tu ne serais pas allé placer un interrupteur à 2,5 m de haut... :-)
Mais ça n'a pas d'importance, j'aurais peut-être l'esprit plus clair une autre fois, un bon bouquin m'attend.

@+

jpp · 02-03-2011 22:26:58

re

c'est ca. evidemment que le chemin le plus court de A à B reste la droite. parce que là on impose pas

un type de parcours tel le colimaçon . d'ailleurs ne connaissant pas ce problème de l'araignée , j'étais

tenté par un problème genre descente du kilimandjaro via un sentier à pente constante ...

Pour en revenir à notre problème de lumière , c'est bien la longueur de ce segment , mais pour

le calculer il faut couper le cone suivant une autre génératrice que celle passant par l'ampoule

et en tournant le développé de manière à ce que SC soit vertical sur le dessin ...

Donc on peut trouver l'expression de L . Et ce n'est pas un casse tete.
A plus

yoshi · 05-03-2011 10:06:59

Salut jpp,

J'ai retrouvé un peu de temps...
Tu as écrit :

Pour en revenir à notre problème de lumière , c'est bien la longueur de ce segment , mais pour
le calculer il faut couper le cone suivant une autre génératrice que celle passant par l'ampoule
et en tournant le développé de manière à ce que SC soit vertical sur le dessin ...

Quelle que soit la manière dont tu réalises le développé d'un cône (hors placement du disque de base), tu obtiendras toujours le même secteur circulaire avec le même angle au centre.
Tu veux que ma génératrice [SC] soit "verticale" sur le dessin, alors elle est placée comme une "médiane" de mon secteur circulaire.
En conséquence le point C est placé au milieu de mon arc de cercle sur le développé, soit diamétralement opposé au point d'entame de coupe sur le cercle de base du cône.
Donc je développe mon cône en coupant le long de la génératrice [SB] "diamétralement opposée" à la génératrice [SA] sur le cône, d'où le schéma n° 2 :

Si je compare les triangles SAB de mon premier dessin avec le triangle SA1B1 de mon 2e dessin, je cvonclus que ces 2 triangles sont "égaux" : 2 côtés "égaux" + un angle égal...
Et donc A1B1=AB.
Donc, ça ne change rien.
La génératrice [SC] mesure : [tex]\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt 5[/tex]
Calcul de l'angle [tex]\widehat{BSA}[/tex]
La longueur de l'arc de cercle du développé est celle du cercle de base du cône soit [tex]10\pi[/tex]
D'où (angle en radians) [tex]\widehat{BSA}=\widehat{BSC}=\frac 1 2 \times \frac{10\pi}{5\sqrt 5}=\frac{\pi\sqrt 5}{5}[/tex]
Avec le théorème d'Al Kashi je vais calculer AB² dans le triangle quelconque SAB

[tex]AB^2=\left( \frac{5\sqrt 5}{2}\right)^2+(5\sqrt 5)^2-2\times \frac{5\sqrt 5}{2}\times 5\sqrt 5 \times \cos\left(\frac{\pi\sqrt 5}{5}\right)\;et\;AB\approx 11,645\; m[/tex] à 1 mm près.

Quant au problème de l'araignée (1er dessin) qui part de C pour aller à A en montant et en faisant le tour du cône pour attraper la mouche en A, il faut partir (1er dessin) de C' et tracer le segment C'A : il y a peu plus de calculs..
Et je trouve une longueur minimum d'un peu plus de 16 m...

@+

jpp · 05-03-2011 10:47:07

bonjour.

En nommant [tex]\widehat\alpha~[/tex] le demi angle au sommet du cone.

[tex]\widehat\beta~[/tex] l'angle [tex]\widehat{C'SA}[/tex] l'angle de développé
du cone.

A , la longueur d'une génératrice . H , la hauteur du cône et R , son rayon de base.

Alors [tex]A = \frac{R}{\sin{(\alpha)}}\approx 11.18034m[/tex]

[tex]\widehat{\alpha} = \arctan{\left(\frac{R}{H}\right)}[/tex]

[tex]\widehat{\beta} = 2\times\pi\times\sin{\widehat\alpha}\approx 2.809926 rad[/tex]

[tex]\frac{\widehat\beta}{2} \approx 1.40496 rad[/tex]

Sur le dessin de Yoshi , je projette A en H sur le segment SB.

Ainsi [tex](AB) = \sqrt{(AH)^2+(BH)^2}[/tex]

[tex]et AB = A\times\sqrt{\left(1-\frac{1}{2}.\cos\frac{\beta}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}.\sin\frac{\beta}{2}\right)^2} \approx 11.645 m[/tex].

n.b. nous étions probablement entrain de l'écrire ensemble.

yoshi · 05-03-2011 11:01:07

Re,

Ah bin on est d'accord, c'est magnifique...
Et pour le parcours de l'araignée ?

@+

jpp · 05-03-2011 11:17:32

re.

j'ai vu le problème de la mouche à l'extérieur d'un cylindre et de la goutte de mièle à l'intérieur de

ce cylindre. Là ca me rappelle l'histoire du plus court chemin pour aller da A à B en allant chercher

de l'eau à la rivière .

Mais je vais reprendre mon problème en plaçant mon interrupteur à l'extérieur à 1.5 m de haut et en

utilisant le parcours de l'araignée à l'exterieur puis à l'intérieur du cone

jpp · 05-03-2011 16:26:49

re.

En appliquant la formule d'Al Kashi on obtenait de meme avec le triangle BSA

[tex]L = A\times\sqrt{\frac{1}{4}+1-\cos{\frac{\beta}{2}}} \approx 11.645m[/tex]

yoshi · 08-03-2011 11:31:25

Re,

Clap ! clap ! clap ! (applaudissements)

Et mon araignée partant du point C du cercle du cercle de base et tournant autour du cône pour rejoindre la mouche en A et avec un trajet minimum ?
Parce que je n'ai pas l'impression qu'on parle du même trajet, là.

@+

jpp · 08-03-2011 13:57:46

bonjour yoshi.

je ne connais pas ce problème mais si tu veux etre plus précis .

C est un point quelconque sur un cercle de base. l'araignée est en C ... et la mouche est en A

Mais ou est le point A ?

yoshi · 08-03-2011 14:15:01

Re,

Bin, cher ami, si tu relisais ton propre post de départ ?
C'est juste une variation dessus : cf mon post #10 :

yoshi a écrit :

Encore pire (pour le fun) a été le calcul de la distance parcourue par une araignée C montant régulièrement en spirale sur la paroi du cône jusqu'à la mouche A (ce calcul tente quelqu'un ? que je compare)...

A, ma mouche est à la place de ta lampe.
C, mon araignée est à l'intersection du cercle de base et de la génératrice [SA), donc diamétralement opposé à ton interrupteur.
Seulement, au lieu de faire monter mon araignée tout droit le long de la génératrice (ce qui n'aurait aucun intérêt, j'ai imaginé de l'obliger à faire le tour du cône en une hélice dont le "diamètre" diminue tout au long de la montée : elle va faire le tour du cône, tout en montant.
Trajet C'A de mon dessin n° 1, puisque si je fends le long de [SC] et si je reconstitue le cône, C' vient en C...

Jamais, je ne posterais une énigme incomplète...
D'ailleurs vu ta puissance de calcul, je ne doute pas que tu arrives au bout "les doigts dans le nez" :-), alors je reposterai bientôt un problème de Sam Lloyd où je me suis empêtré dans les calculs (et thadrien aussi) et pourtant la résolution algébrique (pas moyen d'y couper) parait "simple" quand on la lit...

@+

[EDIT]
Une idée encore plus dingue m'est venue.
Imaginons, en effet, le point H, projeté orthogonal du point A sur le disque de base.
Considérons la projection orthogonale qui à tout point M du trajet de l'araignée, associe N projeté orthogonal de M sur le disque de base.
La figure obtenue est une portion de spirale logarithmique, non ?
Et bien imaginons que cette spirale est un tunnel qui permet à l'araignée C de rejoindre la mouche tombée en H (la foule en chœur : méiléfou !!!).
Quelle sera la longueur du couloir ?
Ça sent le calcul intégral à plein nez...
J'y réfléchis, j'avance (très) doucement, mais chuis pas sûr du tout d'arriver au bout !
Bien fait pour moi !...

Y a des amateurs (c'est là qu'il nous faudrait Barbichu...) ?

Dernière modification par yoshi (08-03-2011 15:34:11)

jpp · 08-03-2011 16:37:04

re.

tu sais , yoshi , je suis comme tous le monde j'ai quitté l'école il y a 38 ans et j'en avais 20 alors..

tu sais , après.... moi c'est la musique , la peche et la mathématique entre autres...

Pour revenir à notre cone si j'ai bien compris , l'araignée part du sol , fait un tour et se retrouve à

5m du sol là ou se trouve la mouche sur le cercle de rayon 2.5m

c'est l'équation d'une hélice conique . je ne garantis rien

son équation en paramètrique
[tex]X(t) = a.t\times\cos{t} Y(t) = a.t\times\sin{t} Z(t) = b.t avec a = \frac{2.5}{2.\pi} et b = \frac{5}{2.\pi}[/tex]

[tex]dL = \sqrt{dX^2 + dY^2 + dZ^2}[/tex]

[tex]dL = \sqrt{a^2\times(1+t^2) + b^2} .dt[/tex]

Je crois que la longueur qui nous intéresse se situe sur le second tour en partant du sommet

en integrant [tex]\int_{2\pi}^{4\pi}\sqrt{a^2\times(1+t^2) + b^2}. dt[/tex]

alors [tex]L = \left[\frac{(a^2+b^2)\times\ln{|\sqrt{a^2.t^2 + a^2 + b^2} + a.t |}}{2.a} + \frac{t\times\sqrt{a^2.t^2 + a^2 + b^2}}{2} \right]_{2.\pi}^{4.\pi}[/tex]

[tex]L \approx 24.2400634 m[/tex] sauf erreur et l'erreur est humaine

Dernière modification par jpp (12-03-2011 15:18:50)

yoshi · 08-03-2011 17:28:12

Re,

Bon je n'ai pas trouvé ça parce que j'ai calculé la longueur du segment C'A sur mon dessin n° 1....
Je suis encore parti du principe que sur le développé du cône le plus court chemin entre C' et A est C'A et j'ai donc calculé cette longueur.

Attends... tu calcules quelle longueur là ?
Celle de mon idée plus que dingue du labyrinthe en spirale sur le sol, projeté de l'hélice décrite par l'araignée sur le cône ? ou la longueur de cette hélice ?
Si c'est la longueur de cette hélice, je trouve que c'est bien trop :
l'araignée a tourné de 360°, elle est partie d'un cercle de rayon 5 m pour arriver à un cercle de rayon 2,5 m.
La diminution du rayon est progressive et régulière, si je fais un petit calcul pifométrique de moyenne géométrique entre les 2 périmètres de départ et d'arrivée, je trouve 22 m...
Or, je suis sûr que le périmètre diminue plus vite que ça...

Dans les 2 cas, là, je n'ai pas les connaissances, même ex prof de Maths de Collège (ma Terminale date de 45/46 ans), pour te suivre. Je vais être obligé d'aller les pêcher sur Internet...
Mais par contre, je peux fabriquer un cône quelconque, le développer, tracer mon segment et voir en reformant ce cône, si mon hypothèse du segment [C'A] est cohérente :
* je veux que l'araignée tourne de 360° autour du cône,
* qu'elle monte de façon régulière et le plus vite possible.
Je trouve 16,566 m à 1 mm près...

Oups...
Je viens de faire l'essai avec mon cône : ça ne mentalement un cône dont l'angle du développé serait 180° : j'obtenais alors 3/4 diamètre...
Ce qui m'a poussé à l'essai papier et à la conclusion que j'avais raconté n'importe quoi !
Alors je vais tracer au pif sur le cône, déplier et voir la gueule que ça présente sur le développé...
Une sinusoîde amortie peut-être ?...
Voyons ça...

@+

jpp · 08-03-2011 17:30:03

re

avec une hélice logarithmique ca doit etre plus court encore.

yoshi · 08-03-2011 17:42:09

Re,

Probablement pas pas une sinusoïde amortie
Non, ça ressemble à un arc de spirale, ça me paraît plus logique...

Qu'est-ce qui doit être plus court encore ? le trajet de l'araignée ? si oui, c'est bien ce que je cherche... le trajet le plus court en tournant autour du cône !

Tes formules représentent l'équation de la courbe sur le développé, alors, puisque pour l'équation de l'hélice dans l'espace, il faudrait faire intervenir la cote z...

Mais là, je suis largué...

Cette hélice "qui rétrécit" pourrait être une cochléoïde "qui rétrécit" : vais tâcher de phosphorer à partir de là :
http://www.chronomath.com/anx/cochleoide.html

@+

jpp · 08-03-2011 17:50:19

re

de toute façon avec la spirale logarithmique on ne peut pas poser les hypothéses suivantes c.a.d.

fixer A au pied et B à mi chemin sur la génératrice parce que son pas varie à chaque tour

tandis que la spirale conique , elle , comme la notre a un pas de 5m / tour.

yoshi · 08-03-2011 17:58:55

Re,

Ok !
Bon j'ai trouvé mon "hélice qui rétrécit" sur un cône :
http://www.mathcurve.com/courbes3d/spir … ppus.shtml

Ah, bin non, c'est plutôt ça :
http://www.mathcurve.com/courbes3d/heli … onic.shtml
Si je continue ça ce soir, je suis bon pour la migraine...

@+

Dernière modification par yoshi (08-03-2011 18:02:18)

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#1 01-03-2011 20:24:41

Une autre histoire de fil

#2 02-03-2011 08:55:27

Re : Une autre histoire de fil

#3 02-03-2011 12:23:24

Re : Une autre histoire de fil

#4 02-03-2011 15:33:50

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#5 02-03-2011 16:21:31

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#6 02-03-2011 18:09:18

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#7 02-03-2011 18:16:04

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#8 02-03-2011 18:30:47

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#9 02-03-2011 18:43:59

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#11 02-03-2011 22:26:58

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#12 05-03-2011 10:06:59

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