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CIRDECO

Invité

projection

Bonjour,
Je sais que si je calcule le produit scalaire de deux vecteurs dans un plan, je peux projeter orthogonalement l'un des vecteurs sur l'autre pour calculer le produit scalaire : exemple : si EFGH est un carré alors vect(EF) . vect(HF)
= vect(EF) . vect(EF) = EF^2 puisque vect(EF) est le projeté orthogonal de vect(HF) sur la droite (EF).
Supposons maintenant que nous ayons 4 points distincts et non coplanaires de l'espace A, B, C et D.
Puis-je encore utiliser cette technique ? A savoir, si C' et D' sont les projetés orthogonaux de C et D sur (AB) est-ce qu'on a encore : vect(AB) . vect(CD) = vect(AB) . vect(C'D')    ???
Merci beaucoup,
Cordialement,
Cédric

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 405

Re : projection

Bonjour,

Je réponds oui et non.
Non, parce je ne "sens" pas ce que tu proposes (voir ci-dessous),
Oui,  parce que :
1. 3 points sont toujours dans un même plan,
2. soit O un point quelconque de l'espace. Je place deux points E et F tels que
   [tex]\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AB}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{CD}[/tex]
3. Il est alors "évident" que  [tex]\overrightarrow{OE}.\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}[/tex] et tu peux appliquer ton procédé dans le plan dans le plan (OEF), le résultat sera différent de celui que tu as proposé.

Mais on peut tout aussi bien placer le point O tel que O = A, par exemple, et placer E tel que [tex]\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CD}[/tex] et alors : [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}[/tex]...

Mais je peux me tromper : j'ai du mal à "voir" exactement la représentation dans l'espace....
Un avis supplémentaire serait le bienvenu.

@+