Forum de mathématiques - Bibm@th.net

freddy

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La partie de billes

Pace e salute !

5 amis disputent une partie endiablée de billes.

A un moment donné, on a les informations suivantes :

Jeannot et Claude ont ensemble 26 billes ;

Nicolas et Paul ont ensemble 31 billes ;

Nicolas et Claude ont ensemble 17 billes ;

Pierre et Jeannot ont ensemble 23 billes ;

Pierre et Paul ont ensemble 13 billes.

Pouvez vous dire combien de billes ont ensemble Claude, Pierre, Jeannot, Nicolas et Paul ?

Trickoo

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Re : La partie de billes

bon-jour
soit j,c,n,p et pi le nombre de bille respectivement de nos jours.On a:
j+c=26             
n+p=31
n+c=17
pi+j=23
pi+p=13

si on trouve les solutions à ce système on aura l'ensemble des billes(par la somme:j+c+n+p+pi).la matrice associée a ce système aun déterminant nul;le système n'admet pas de solution.par conséquent on ne peut donc pas avoir l'ensemble des billes

yoshi

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Re : La partie de billes

Bon-jour,

Trickoo, bienvenue sur Bibm@th...
(j+c)+(n+p)+(n+c)+(pi+j)+(pi+p)=2(c+j+n+p+pi)=26+31+17+23+13 = 110

Donc c+j+n+p+pi=55

@+

totomm

Invité

Re : La partie de billes

Bonjour,

Amusant et système soluble mais Pierre a -2 billes !!
j=25
c=1
p=15
pi=-2
n=16, total=55

jpp

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Re : La partie de billes

salut
            chaque joueur etant compté 2 fois dans la comptabilité des billes , il suffit de faire la demi somme

                      n= 110/2 = 55

Dillon

Invité

Re : La partie de billes

Bonjour,

Tout à fait d'accord avec totomm : la solution pi=-2 n'est pas admissible. Chacun sait que pi=3,1415926...

freddy

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Re : La partie de billes

Re,

une petite question : pourriez vous me dire combien de billes a chaque joueur ?

Dillon

Invité

Re : La partie de billes

Re,

totomm l'a indiqué. Et comme, contrairement à ce que dit Trickoo, le déterminant n'est pas nul, cette solution est unique.

J'ai découvert bibmath.net il y a quelques jours et je sens que je vais revenir. Merci à ceux qui l'animent

jpp

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Re : La partie de billes

Re

              je trouve aussi  qu'il y a un endetté qui doit , un moment donné rendre  2 billes  à un copain

                IL y a donc 57 BILLES  dans la partie. puisqu'il ne possède aucune bille

Dernière modification par jpp (04-02-2011 16:41:13)

freddy

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Re : La partie de billes

Re,

si un joueur a un nombre négatif de billes, pensez vous que le pb admette un solution ?

jpp

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Re : La partie de billes

re.

               mathématiquement  il y a 5 valeurs dont la somme est 55  .  MAIS physiquement  PI est redevable
                Le systeme 5 équations avec 5 inconnues conduit à 5 valeurs dont une est négative. IL y a bien
                virtuellement 55 billes. Mais il y a quand meme 57 billes dans la partie. PI peut emprunter 2 billes
                et dès qu'il sort du rouge il les rend.

freddy

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Re : La partie de billes

Salut,

en fait, le problème n'admet pas de solution dans N ... même s'il est mathématiquement soluble dans Z !

En effet, on voit que jeannot devrait avoir 25 billes, Nicolas 14 et Claude 3.

Or Claude +Jeannot= 26 selon l'énoncé et on trouve qu'ils en ont 25+3 = 28, une impossiblité !

Dernière modification par freddy (04-02-2011 18:07:28)

Dillon

Invité

Re : La partie de billes

Bonjour

-> jpp

Tout dépend de à qui Pierre emprunte ses billes.
Si c'est à quelqu'un de l'intérieur du groupe, il n'y a bien que 55 billes dans la partie.
Supposons qu'il les emprunte à Jeannot, qui compte pour 25 dans le total.
Si on a compté -2 pour Pierre qui en a matériellement 0, c'est que Jeannot n'en avait matériellement que 23. L'énoncé ne serait pas cohérent s'il retranchait les dettes d'un côté sans ajouter les prêts de l'autre.

Dillon

Invité

Re : La partie de billes

Bonjour,
-> freddy

"En effet, on voit que jeannot devrait avoir 25 billes, Nicolas 14 et Claude 3."
Euh.. Comment  vois-tu ça ?
Car même dans Z, ton incohérence reste. Or le système admet bien une solution dans Z

freddy

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Re : La partie de billes

Salut,

c'est ce que je dis : il n'y a pas de solution et on montre pourquoi.

Analyse le sujet, et tu devrais arriver à la même solution que moi par élimination successive.

Je te donne une piste : démarre par Jeannot ("lapin" :-)), puis fais des soustractions et additions successives pour arriver à 2*jeannot (lapine ;-))), et tu verras ce que tu dois ...

Dernière modification par freddy (05-02-2011 09:48:21)

Dillon

Invité

Re : La partie de billes

Bonsoir

Pas d'accord, freddy. Je te remercie pour la piste :-)  mais j'avais résolu moi aussi le système (merci Excel) et trouvé la même solution que totomm (évidemment...).
Une suite d'additions et de soustractions qui conduit à une contradiction dans N conduirait aussi à une contradiction dans Z.
Or le système admet une solution dans Z.
Si tu te contentes d'une simple suite d'additions et de soustractions sans faire intervenir explicitement d'une manière ou d'une autre le fait que tu te restreins à N, tu ne peux pas arriver à la contradiction 26=28

C'est pourquoi je me permets de renouveler ma demande : comment trouves-tu 14 billes pour Nicolas et 3 pour Claude ? Quelle est cette suite d'additions et de soustractions ?

Bonne nuit

jeannot23

Invité

Re : La partie de billes

salut,

Je regarde en passant et je lis que freddy a toujours la meme plaisanterie stupide. Peut-être vous avez pas bien digéré, mais c'est méchant
Dillon est bien drole avec pi=3,1415... et pas -2, ça au moins c'est intelligent !! Salut

freddy

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Re : La partie de billes

Salut,

avec des notations intuitives, on a :

J+C=26   
-(N+C=17)
=> J-N=9
+(N+PL=31)
=> J+PL = 40
-(PR+PL=13)
=> J-PR=27
+(PL + J=23)
=> 2J=50 => J = 25

Donc PL = 15 puisque J+PL = 40 Or PL + J=23 qui est différent de 40 !

Donc impossible.

totomm

Invité

Re : La partie de billes

Bonjour,
Il doit y avoir erreur entre PL et PR sur la dernière ligne...
ne cherchez plus la résolution du système linéaire EST EXACTE avec Pierre = -2

Trickoo

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Re : La partie de billes

Bon-jour

Merci yoshi,j'adore bibm...

En utilisant un peu la logique on tomberait sur une absurdité.En effet on peut avoir l'ensemble des billes en jeu.mais pour

les billes de chaque joueurs,qui correspondent aux solutions de l'équation,on tombe sur une valeur (pi=-2) inacceptable

car nour travaillons aves les entiers naturels.D'après la logique on ne peu donc conclure les résultats cherchés.Le pb

serait posé autrement (ou les solutions seraient dans Z par exemple) et on accepterait les résultats et ses

interprétations (à savoir  pi a emprunté des billes;des billes perdues; ....

freddy

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Re : La partie de billes

Salut,

avec des notations intuitives, on a :

J+C=26   
-(N+C=17)
=> J-N=9
+(N+PL=31)
=> J+PL = 40
-(PR+PL=13)
=> J-PR=27
+(PR + J=23)
=> 2J=50 => J = 25

=> C=1 => N=16 => PL = 15 => PR = - 2 ce qui est logiquement impossible dans le cadre d'une partie de bille où chacun ne peut en avoir qu'un nombre positif ou nul.

A propos du joueur Jeannot, il ne fait en aucune façon référence à notre ami Jean de la Creuse, qui pense être le seul au monde à s'appeler Jeannot. Faut penser à grandir, mon gars, il y a environ 65 Millions de Français à ce jour et par le théorème des tiroirs et des chaussettes, il y a fort à parier que tu n'es pas le seul jeannot de la planète.

Bonjour chez toi l'ami et pense à soigner ta paranoïa.

Et hop, un petit taï sabaki et le tour est joué ! :-)))

Dillon

Invité

Re : La partie de billes

L'astuce du problème initial reposait sur le fait que les données permettent d'avoir facilement le total sans chercher le détail de ce que chacun a. Les équations font intervenir les joueurs en les prenant 2 pas 2 en chaîne, ce qui conduit (après avoir remis les joueurs dans le bon ordre) à un système dont le déterminant est de la forme :
[tex]\left(\begin{array}{cccccc}1&1&0&..&0&0\\0&1&1&..&0&0\\0&0&1&..&0&0\\..&..&..&..&..&..\\0&0&0&..&1&1\\1&0&0&..&0&1\\\end{array}\right)[/tex]
Cette matrice a un déterminant nul si elle est de dimension paire, et non nul si la dimension est impaire. (Là, j'espère que je ne me suis pas planté !)
Avec 5 joueurs, n'importe quel total pour chaque paire de joueurs conduit à une solution unique (quitte à avoir des joueurs endettés et des billes en copropriété !)
Avec un nombre pair de joueurs, 2 cas sont possibles : ou bien les données son incohérentes(0 solution), ou bien il y a une infinité de solutions. L'énigme initiale ne prend tout son sens que dans ce dernier cas, à mon point de vue, car le total est toujours calculable, mais oblige à recourir à l'astuce, le calcul pour chaque joueur étant impossible.
par exemple si on avait posé, pour 4 joueurs
A+B=8
B+C=13
C+D=10
D+A=5
on vérifie facilement qu'il y a plusieurs solutions, par exemple  (3,5,8,2) et (2,6,7,3), mais que la somme est bien constante.
À 4 avec les équations dans l'ordre c'est facile mais en proposant 6, voire 8 joueurs mélangés dans tous les sens pour brouiller les pistes....

freddy

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Re : La partie de billes

Salut,

c'est assez bien vu.