Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bissaki

Membre

Inscription : 17-10-2006

Messages : 1

[Résolu] Nature, Somme et Développement de séries :

C’est vraiment urgent, alors merci bien de m’aider :

1/ Déterminer la nature de la série numérique suivante :
∑(n≥1) 1/n (1- racine de (1-1/n))

Le (1-1/n) est sous le signe de la racine. C’est une série à termes positifs, et on demande si elle est convergente ou divergente. Alors quelle critère utilisé (Riemann, d’Alembert, la comparaison, autres ... ?) et comment ?

2/ Déterminer la somme de la série suivante :
∑(n≥1) (n² - 1) xⁿ

Le x est à la puissance n. Ici je n’ai pas une idée claire sur comment on peut le faire !

3/ Donnez le développement en séries de Taylor des fonctions suivantes :
Sin(puissance 3) (x)
(1 – x²) (le tout sous le signe de la racine) , sachant que la valeur absolue de x est ≤ 1

Ici vraiment aucune idée !!

john

Invité

Re : [Résolu] Nature, Somme et Développement de séries :

Pour 1) montrer par développement limité, que chaque terme est majoré par (1/2)[1/n^2].
A+

john

Invité

Re : [Résolu] Nature, Somme et Développement de séries :

Pour 2) : méthode bidouille...
(n^2 - 1).x^n = (n+1).(n-1).x^n =
[(n-1).x^(n+1)]' = [(n+2).x^(n+1) - 3.x^(n+1)]'=
[x^(n+2)]'' - 3.[x^(n+1)]'
On somme à partir de n = 1
On dérive 2 fois la 1ère somme et 1 fois la 2ème etc.
Rép. x(x^2 - 3x)/(x-1)^3
A+

john

Invité

Re : [Résolu] Nature, Somme et Développement de séries :

Pour 3) méthode bestiale...
[sin(x)]^3
élever au cube le développement de sin(x)
V(1-x^2)
Développer V(1+x)
Changer x en -x => V(1-x)
Faire le produit V(1+x).V(1-x)
OU
Développer V(1+x) changer x en -x^2
Bon courage
Bye