Section d'un cylindre par un plan non parallèle au disque de base

yoshi · 24-04-2010 12:34:30

Bonjour à tous,

Suite aux interrogations de benj59, je me suis intéressé à ce sujet que je n'avais qu'effleurer jusque là.
Je savais qu'une telle section plane était une ellipse, mais je ne 'étais jamais posé la question du développé dudit cylindre tronqué.

Et ô surprise, ça n'a pas été aussi évident que ça : ce sont les sites internet que j'ai cités dans la discussion de benj59 qui m'ont mis sur la voie, du moins je l'espère...

Via mon logiciel grapheur (heureusement non gaffeur ;-) ), j'ai d'abord tracé sin x, découpé, plié et collé et j'ai contemplé mon cylindre : la "tronche" de la section correspondait à mes attentes et j'ai subodoré que cela correspondait à un angle de coupe de 45°.

J'ai donc entrepris de tracer y = 2sin x et formé le cylindre : l'angle de coupe était bien plus élevé et donc aussi la distance verticale entre le point le plus haut A et le point le plus bas B.
J'en ai donc inféré que la sinusoïde avait pour équation générale y = k.sin x.
Et j'ai voulu en savoir plus sur k...

Je me suis donc placé dans le plan parallèle au disque de base passant par le milieu M de [AB]
J'ai tracé la génératrice issue de A et le rayon du cercle de centre M et aboutissant au point H d'intersection de ma génératrice avec le plan précédent.
J'ai donc un triangle AHM rectangle en H :
- k = AM
- AH varie en fonction de l'angle [tex]\alpha=\widehat{HAM}[/tex] de coupe
- AH varie en fonction du rayon MH souhaité du cylindre

Maintenant, si j'ai un rectangle de Longueur L destinée à devenir une génératrice du cyindre non-tronqué et de largeur l, destinée à devenir la longueur du cercle délimitant le disque de base, si je coupe mon cylindre par un plan d'angle [tex]\alpha[/tex] avec la verticale, ma sinusoïde aura-t-elle pour équation générale :
[tex]y =\frac{l}{2\pi}.\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right).\sin x,\; x\in [0\;;\;2\pi][/tex] ?

Otez-moi d'un doute s'il vous plaît ?

@+

arthur.gauss · 25-04-2010 19:38:10

Bonjour à tous,

Cher Yoshi,

Je me suis moi aussi interessé, il y a quelques mois, à l'équation de cette courbe.
Je n'ai plus mon travail sur la question mais,

J'ai conservé le résultat que j'ai retrouvé dans un ouvrage de mathématique (" Vers l'infini, pas à pas, approche heuristique, de l'analyse", p196-197 chez de Boeck Wesmael) (que tu trouveras en bibliotheque universitaire (il est à Nancy1 sciences par exemple ) )

et effectivement ta forme est la bonne :
Je n'ai pas le facteur normatif de devant, et j'ai :

y = tan (µ) (1-cos (x))
(avec µ l'angle sur l'horizontal)

Aprés peut etre que ces raffinements (facteur normatif, et probleme de translation (ie sin ->cos) ) peuvent etre
importants pour un probleme concret!
Tiens moi au courant !

A bientot

yoshi · 25-04-2010 20:31:57

Salut à toi arthur.gauss,

Merci de t'intéresser à mon sujet.
A l'heure actuelle, après un certain nombre de tentatives concrètes, je n'avais plus guère de doute.
Je n'ai pas pu prendre l'axe par rapport à l'horizontale, car notre ami benj59, lui sera intéressé par son angle de coupe par rapport à l'axe du cylindre supposé, pour une question de simplicité, vertical.
D'autre part k.sin x c'est bien, mais dans un cas concret comme celui-ci où on va devoir adapter la sinusoïde à une tôle de zinc, on se retrouve à devoir :
- Répartir l'intervalle [0 ; 2pi] sur toute la largeur de la tôle, sinon à l'enroulement, gare !
- Adapter l'amplitude [-k ; +k] verticale de la sinusoïde encore à la largeur de la tôle.
Cette valeur de k ne peut évidemment être la même que le rayon final soit 5 cm ou 10 cm par exemple.

En fait, il y a quand même quelque chose qui me perturbe dans ta formule : le 1 - cos x...
Je comprends bien le pourquoi de 1 -... c'est pour varier de 0 à 2 au lieu de -1 à +1.
N'empêche que 1 -cos x ne se superpose pas par translation verticale à sin x...

Quoique, après tout, ce problème de déphasage (comme on dit en électricité) dépend du point de l'ellipse où on fait débuter le tracé : si je replie ces tracés sur eux mêmes en joignant 0 et 2pi, que je découpe une bande -1 à +1 et pour l'autre de 0 à 2 et que je les compare, il n'y aura plus de différence, non ?
Je crois que je vais tenter la manipe pour lever 2% de doutes...

Au fait, j'avais lu en diagonale et m'étais arrêté au mot sinusoïde dans le lien ci-dessous qui renvoie au bouquin que tu cites :
http://books.google.fr/books?id=dwyd-3I … le&f=false

A méditer quand même, parce que ça me dérange un peu. Raison de plus pour qu'un crack se penche là-dessus et donne son avis sur les deux formules : n'est-ce pas Fred, freddy, Thadrien, JJ, Roro... liste non exhaustive.

Je sais que ma formule marche (enfin, semble selon toute vraisemblance marcher) puisque j'ai fait plusieurs essais avec du papier. Toi, cher arthur, peux-tu préciser ta pensée ?

@+

thadrien · 26-04-2010 07:17:06

Salut,

J'ai fait ça un peu vite sur un morceau de brouillon (en passant, un jour, faudra que j'apprenne à me servir de GeoLabo...), et je trouve : [tex]y = - R \sin(\theta) \tan(\frac{\pi}{2} - \alpha)[/tex]

EDIT : Calcul détaillé posté plus bas.

Dernière modification par thadrien (27-04-2010 12:24:28)

freddy · 26-04-2010 07:28:00

Salut thadrien,

apprends vite à te servir de Geolabo, c'est simplement "génial" !!!

Bb

thadrien · 27-04-2010 12:23:32

Salut,

Voici le calcul détaillé que j'ai fais (je mettrai cela en Latex plus tard) :

* Équation cartésienne du plan de coupe.
On suppose pour simplifier que le plan de coupe passe par l'origine.
Soit n la normale à ce plan.
n = (0, sin beta, cos beta) avec beta = pi/2 - alpha
M(x,y,z) appartient au plan <=> OM.n = 0
<=> y sin (beta) + z cos (beta) = 0

* Paramétrage du cylindre.
On suppose que le cylindre est de rayon R et l'axe z.
x = R cos (theta)
y = R sin (theta)
z est quelconque
avec theta dans [0,2 pi].

* Paramétrage de l'intersection.
Soit M du cylindre.
M appartient au plan
<=> R sin (theta) sin (beta) + z cos (beta) = 0
<=> z = - R sin (theta) tan (beta)

Au final : z = - R tan (pi / 2 - alpha) sin (theta).

A+

yoshi · 27-04-2010 12:57:56

Salut,

ok ! Ça colle ...

@+

jpp · 28-01-2011 20:39:10

bonsoir a tous

pour determiner le tracer d'un cylindre tronqué , j'utilise personnellement une calculette

scientifique que je mets en mode fonctions paramètriques . Pour le problème du cylindre

tronqué , je mets en mémoire les paramètres dont j ' ai besoin dans mes formules

C = 30° pente de ma section ( si je n'ai pas besoin de me mettre en mode radian )
R = rayon de mon cylindre en mm
t est ma variable angulaire
Et mes fonctions sont celles ci: X(t) = pi . R . t/180
Y(t) = R .(1 - cos t). tan C

avec ce type de fonctions j'ai meme realisé des développés de pénétrations cylindre-cylindre

axes concourants ou non , cone - cylindre avec axe concourant ou non .

pour ce dernier type , j'utilise un plan secant qui coupe le cylindre selon 2 génératrices

et le cone selon une hyberbole . avec une equation du second degré en t , j'obtiens la fonction
parametrique me donnant le lieu des points d'intersection de la droite et de l'hyperbole

puis je rentre mes 2 fonctions dans 2 autres fonctions paramètrique pour mettre a plat la
pénétration conique , et aussi la gueule de loup cylindrique.

C'est quand meme pratique une calculette quand on n'a qu'un logiciel 2D

yoshi · 28-01-2011 21:41:19

Salut,

Tiens, t'as fini par déterrer ce vieux topic ? Je relirai de quoi il était question précisément plus tard : il me semble que j'avais ma réponse à mes interrogations...
Merci de la peine que tu as pris pour répondre.
Cela dit, je n'ai pas beaucoup réfléchi à la tienne de réponse, mais je dois dire qu'en première lecture, elle ne me parle pas du tout, hélas !
Concrètement, tu es devant ta feuille de papier, tu fais quoi ? Parce que, via le Geolabo de Fred, je m'en tire !
Et je ne vois pas ce que ta calculette fait de mieux que Geolabo...
Si tu le trouves très insuffisant, tu peux toujours contacter Fred, pour lui faire part de tes idées d'améliorations : ça tombe bien, il va en reprendre, avec Pascal (quelqu'un qui l'a beaucoup utilisé : cf ici, pas si mal quand même pour un simple logiciel 2D, non ?) le développement, c'est donc le moment où jamais ! ;-)

@+

jpp · 29-01-2011 09:45:06

bonjour Monsieur Yoshi

pourquoi aurais-je pris de la peine à répondre .?

Je suis autodidacte et à 58 ans j'adore toujours les mathes . Dans la tolerie , qui est

un métier ou on doit rabattre une surface 3 dimensions sur un plan , on peut utiliser

le tracage ou alors le calcul. Moi j'utilise ma calculette et les fonctions paramètriques

que j'installe dedans . Et ca marche .

Personnellement je trouve ce forum très enrichissant , il y a des problèmes très

intéressants , il y en a pour tous les gouts , mais ce qui m'embète dans ce forum

ca se résume un peu à ca : Les enseignants parlent aux enseignants . le reste,

c'est de la merde. J'espère qu'il n'en est pas ainsi de tous les enseignants .

Voila ce que j'avais à dire.

yoshi · 29-01-2011 10:30:24

Re,

Ouh là, pourquoi éprouves-tu le besoin de te montrer grossier ?
Me suis-je jamais montré grossier ou irrespectueux envers qui que ce soit ?
Non ? Alors, c'est toi qui pour le coup est incorrect et fait un complexe d'infériorité...

Si c'est moi que tu vises avec ta diatribe sur les enseignants, dis-le clairement, parce qu'à ma connaissance, il n'y a que deux enseignants (je peux me tromper) ici, l'un actif, Fred, l'autre retraité moi...
Et je n'ai pas eu l'impression de considérer freddy ou nerosson, ni les autres qui n'en sont pas, comme de la merde...
Freddy, nerosson, votre sentiment ?

Donc explication de texte (je ne te dévalorise pas, j'explicite ma pensée : précision utile, maintenant je serai prudent) :
1. "Prendre de la peine pour écrire", prendre la peine de répondre ou merci de t'être donné la peine de répondre : le mot peine ici n'est pas synonyme de souffrance, ce sont des expressions classiques... Si j'écris : merci d'avoir d'avoir pris la peine de répondre, tu le le prends aussi mal ?
2. J'attendais de toi, non pas des insultes, je te croyais au dessus de ça, mais une explication concrète.
Je t'ai demandé : "Concrètement, tu es devant ta feuille de papier, tu fais quoi ?", ou devant ta plaque de tôle ?
Parce qu'hier soir, j'ai lu tout une série de manipulations avec la calculette qui ne m'ont pas parlé du tout en première lecture.
Pour ton édification, j'ai pris la peine (!) de rechercher le topic auquel je faisais allusion, le voici :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=3589
C'était un problème tout ce qu'il y a de plus concret et je connais rien à la tôlerie, j'y ai fait de mon mieux pour répondre à Benj59...
Donc, j'attendais de toi ce matin, que tu détailles ton procédé de A à Z pour que, ayant relu la problématique ci-dessus, je me munisse :
- d'une feuille de papier et du matériel de traçage ad hoc,
- de ma calculatrice
et que je construise selon tes directives.
J'attends toujours.

Au lieu de ça,, tu nous ponds :

(...) mais ce qui m'embète dans ce forum ca se résume un peu à ca : Les enseignants parlent aux enseignant. le reste, c'est de la merde.(...)

Moi ce qui m'embête, bien que tu tempères "un peu" par

J'espère qu'il n'en est pas ainsi de tous les enseignants.

, c'est ton interprétation...
Que tu m'insultes, peu me chaut : les injures ne grandissent pas ceux qui les profèrent, mais que sur la base du différend que tu penses avoir avec moi, tu rejettes l'opprobe sur tous les enseignants du forum.

Et ça ce n'est pas acceptable, si tu vois ce que je veux dire.

@+

freddy · 29-01-2011 11:17:46

Salut,

"les enseignants parlent aux enseignants" comme "les résistants parlent aux résistants" ? Oui et non

1 - Les amateurs échangent avec d'autres amateurs, en donnant au terme amateur son sens latin premier : ceux qui aiment.

2 - nous sommes tous en puissance des enseignants, des gens désireux de transmettre des connaissances, des savoirs faire, des compétences acquises avec patience et amour. Donc en effet, et au sens large, échangent ici des gens aux compétences et expériences diverses et variées, partant du principe frappé au coin du bon sens que seules nos différences nous enrichissent, pas nos ressemblances.

Donc ici, nous sommes en effet tous des passionnés par une discipline réputée difficile, mais j'en connais d'autres encore plus délicates.

Yoshi est un animateur du forum qui anime bien : très présent, attentif aux besoins des autres, consciencieux, rigoureux, ingénieux, il a à coeur d'aider les élèves du collège et lycée un peu perdu, il va chercher des pbs de maths amusantes pour ceux qui aiment encore réfléchir ... et soulève ou anime des questions connexes à l'infini domaine d'application des maths.

Bon, c'est vrai, il a un petit côté "soupe au lait" pas méchant (nerosson confirmera !), il défend comme une louve jalouse ses petits loupiots, ceux qu'il connaît et apprécie (notamment le big boss, Fred, auteur du site, et d'autres brillants matheux comme barbichu, très très fort) mais quand on le pratique, on voit bien qu'il est et reste très respectueux d'autrui, des contributeurs divers et variés qui viennent poser leur petite pierre à l'édifice.

Il est même capable de faire amende honorable quand il s'est trompé, ce qui est rare et donc appréciable !

Dernier point : le danger du net est que derrière notre écran, on ne voit pas les mimiques des gens, ni n'entendons le ton de leur propos. On peut donc prendre très vite "la mouche" sur une mauvaise interprétation. Une fois, je disais à un gars que pour atteindre un certain niveau de technicité, il fallait bosser, bosser, encore et toujours bosser.

Sur le coup, il le prit assez mal : c'était tard le soir, il était fatigué, énervé. Le lendemain, reposé, il s'est dit que ce n'était pas une critique, mais juste un petit conseil donné sur un ton peu "paternel" Il m'en fit part en message privé, je profite de l'occasion pour louer publiquement sa sagesse, son ouverture d'esprit et sa simplicité. S'il me lit, il se reconnaîtra.

Donc voilà en quelques mots mon ressenti, et je puis t'assurer que mon très mauvais caractère m'a déjà fait bannir violemment de certains sites (mais pas de math, il est vrai).

A toi de voir JPP, mais Geolabo, c'est vachement bien, et si tu peux garder assez de simplicité pour nous expliquer comment tu fais tes calculs avec ta calculatrice scientifique, tu rendras service à bien de lecteurs, anonymes ou pas. Les robots de recherche du net sont très efficaces et si tu donnes la marque de ta calculatrice, ils pointeront vite sur cette page. Donc en expliquant à Yoshi, tu ne sais à combien de personnes tu vas expliquer et probablement donner des idées à des gars qui bossent dans le même domaine que toi.

Une bonne journée à tous, c'était la minute "portes ouvertes" de tonton Freddy !

Dernière modification par freddy (29-01-2011 11:28:04)

jpp · 29-01-2011 12:11:04

Re bonjour les gars

J'ai crevé l'abscès et comme ca on a mis les choses au point . Je n'étais en conflis qu'avec
Yoshi . Maintenant moi j'oublie le malentendu . Je ne suis pas complexé . j'ai seulement
l'impression qu'on me prend pour un handicapé parce que je ne simule pas sur informatique

Je possède comme chacun d'une calculatrice scientifique qui permet d'utiliser des fonctions
en paramètriques qu'on étudie , il me semble après le bac.

donc , pour effectuer un développé d'une section plane , cylindrique ou conique ,je cherche
les fonctions qui me donne les 2 coordonnées de M .

Pour le cylindre tronqué par exemple j'utilise un balayage angulaire du rayon OM du cylindre
J'étudie pour cet exemple t de 0° à 180° puisqu'il y a une symétrie.

J'aurais donc 180 couples (X,Y) et autant de points M relié par des segments très petits
qui me permettront de tracer ma courbe .

IL est possible de trouver une fonction Y(x) dans certains cas . mais elles sont souvent
difficiles à trouver

Il existe pas mal de courbes définies paramètriquement. comme la cardioide , astroide
les lemniscates, le folium de Descartes , épi & hippocycloide , développante de cercle
et bien d'autres . Et je sais que vous les connaissez toutes avec leurs specificité .

Sans rancune . jpp

freddy · 29-01-2011 12:48:03

Re,

ahhhhh, la lemniscate de Bernoulli, que de souvenirs :-)))

gprbx · 29-01-2011 12:49:27

Bonjour,

Beau et juste plaidoyer de freddy pour yoshi,
Il n'empêche que jpp a exprimé, sans en conserver rancune, son ressenti sur la tenue dans ce forum.
je fais de même.

A+ : cordialement : gprbx

nerosson · 29-01-2011 15:43:54

Salut à tous,

JPP, tu éprouvais un sentiment, tu l'as exprimé, ça vaut mieux que d'avoir des aigreurs d'estomac en remâchant une rancune.

Cela dit je ne te suis tout de même pas. Je me souviens que j'ai déjà eu une controverse assez semblable avec Yoshi : j'avais taxé ce site d'élitiste, ce qui avait suscité chez Yoshi une montée de "soupe au lait". Après mûre réflexion, j'en ai rabattu : ce site est un site consacré essentiellement aux maths, il ne faut pas s'étonner s'il est essentiellement fréquenté par des matheux et moi qui suis encore beaucoup plus bas que toi dans cette spécialité (je ne suis pas allé bien haut dans ce domaine que j'aimais pourtant beaucoup et, avec le temps, je suis considérablement redescendu), dans 99 pour cent des cas, quand je les vois planer si haut qu'il n'est pas question pour moi de les suivre, j'en ressens une sorte d' amère mélancolie.

Il est vrai que de temps en temps, il arrive qu'on ait affaire à un participant qui visiblement prend un certain plaisir à étaler sa science. Je ne pense pas que ce soit tellement le fait des habitués que je commence à bien connaître.

Un point sur lequel je suis d'accord avec Freddy : oui, Yoshi est un peu soupe au lait. Il retombe aussi vite, et puis, tant qu'on n' aura que ça à lui reprocher....

A part ça, moi, les sections coniques, tu parles!...Oui, j'en ai entendu parler dans mon jeune temps et je savais que ça donnait des ellipses et aussi (reprenez moi si je me trompe) des paraboles et des hyperboles. Mais contrairement à toi, je serais bien incapable de traiter ce genre de problème avec une calculette, si scientifique qu'elle soit : je ne t'en veux pas pour ça.

P.S. J'ai encore dit une sottise : il n'était pas question au départ de cette discussion de section conique, mais de "section cylindrique". Au temps pour moi !

Dernière modification par nerosson (29-01-2011 15:47:06)

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#1 24-04-2010 12:34:30

Section d'un cylindre par un plan non parallèle au disque de base

#2 25-04-2010 19:38:10

Re : Section d'un cylindre par un plan non parallèle au disque de base

#3 25-04-2010 20:31:57

Re : Section d'un cylindre par un plan non parallèle au disque de base

#4 26-04-2010 07:17:06

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#5 26-04-2010 07:28:00

Re : Section d'un cylindre par un plan non parallèle au disque de base

#6 27-04-2010 12:23:32

Re : Section d'un cylindre par un plan non parallèle au disque de base

#7 27-04-2010 12:57:56

Re : Section d'un cylindre par un plan non parallèle au disque de base

#8 28-01-2011 20:39:10

Re : Section d'un cylindre par un plan non parallèle au disque de base

#9 28-01-2011 21:41:19

Re : Section d'un cylindre par un plan non parallèle au disque de base

#10 29-01-2011 09:45:06

Re : Section d'un cylindre par un plan non parallèle au disque de base

#11 29-01-2011 10:30:24

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#12 29-01-2011 11:17:46

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#13 29-01-2011 12:11:04

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#14 29-01-2011 12:48:03

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#15 29-01-2011 12:49:27

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#16 29-01-2011 15:43:54

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