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CIRDECA

Invité

intervalle de fluctuation

Bonjour,
au sein d'une population, on connaît la proportion p des individus ayant un caractère donné.
Parmi les échantillons de taille n extraits de cette population, la fréquence d'apparition f du caractère varie avec l'échantillon prélevé. Est-il bien vrai d'écrire :
pour un échantillon de taille n>=25 et pour p comprise entre 0,2 et 0,8, la fréquence d'apparition observée f appartient à l'intervalle [p - 1/rac(n) ; p + 1/rac(n) ] avec une probabilité d'au moins 95% ou encore qu'il y a au moins 95% de chances que f appartienne à [p - 1/rac(n) ; p + 1/rac(n) ]. On risque de commettre une erreur avec une chance inférieure à 5%.

Peut-on parler indifféremment de "proportion" et de "fréquence" ?

merci beaucoup,
Cédric

freddy

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Re : intervalle de fluctuation

Salut,

dans ce que tu écris, la différence est fondamentale : la proportion p est le vrai pourcentage d'individu ayant le caractère indiqué.

Ce serait la fréquence observée d'un échantillon de taille infini !

La fréquence n'est que le quotient : nbre d'individu ayant le caractère donné/taille n de l'échantillon.

la fréquence f joue le rôle d'un estimateur de p.

L'intervalle que tu proposes est un résultat pratique de statistique mathématique.

On a [tex]f=\frac1n \sum_{i=1}^nX_i[/tex] avec Xi une variable aléatoire = 1 avec une proba = p et 0 sinon.

f est donc une variable aléatoire d'espérance [tex]E(f)=\frac{np}{n}=p[/tex] et de variance =[tex]\frac{np(1-p)}{n^2}=\frac{p(1-p)}{n}[/tex]. l'estimateur f de p  est donc convergent et sans biais.

Pour un échantillon de taille suffisante (disons n >= 25 pour toi), f se comporte comme une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramère mu=p et sigma = sqrt(p(1-p)/n) (cf. théorème central-limite)

Un intervalle à 95 % est donné par [p-1,96*sigma(f); p+1,96*sigma(f)].

En approximant 1,96*sqrt{p(1-p)} par 1, on retrouve très grossièrement ton intervalle.

Perso, je ne valide pas, sauf si p n'est pas loin de 1/2. Mais je sais qu'on fait des trucs à la grosse hache pour simplifier l'estimation par intervalle.

Je prendrais plutôt un intervalle à 97 % et 2,17 à la place de 1,96 avec p compris entre 0.2 et 0.8.

Sinon, c'est OK de dire que la probabilité que f soit à l'extérieur de l'intervalle précité est de l'ordre de 5 %.

Dernière modification par freddy (20-01-2011 16:28:54)

freddy

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Re : intervalle de fluctuation

Re,

dans la vraie vie, la vraie et exacte valeur de p n'est jamais connue, et on cherche à savoir dans quelle mesure on peut considérer f comme une approximation très convenable de p.

Voilà, tu sais presque tout.

Dernière modification par freddy (20-01-2011 23:29:13)

CIRDECA

Invité

Re : intervalle de fluctuation

Merci beaucoup pour la réponse claire et complète !
Quel talent !
Cordialement,
Cédric