Probabilités [Résolu]

Ethulian · 17-01-2011 22:15:59

Bonsoir,

je travaille sur un exercice de proba plutot classique en 2 questions:

1°/ dans une famille de 7 enfants, quelle est la probabilité d'avoir 5 filles en supposant qu'il y a autant de chance d'avoir une fille que d'avoir un garçon ?

pour celle ci j'utilise la loi binomiale avec k =5, n=7 et P =0,5

mais pour la deuxième...

2°/ dans cette famille de 7 enfants, quelle est la probabilité que les 5 premiers enfants soient des filles et les deux derniers des garçons ?

Là j'avoue que je ne sais pas (ou peut être l'ai-je su un jour ^^) comment faire intervenir la notion de répétition du même résultat...

en cherchant sur ce site, j'ai lu un chapitre sur la notion de combinaison avec répétition. Est ce la bonne méthode pour répondre à cette question ?

Je vous remercie d'avance pour vos réponses.

Très cordialement,

Ethulian.

Fred · 17-01-2011 22:18:36

Salut,

C'est beaucoup plus simple que cela (enfin, je crois....).
Les événements A_k : "Le k-ième enfant est une fille" sont indépendants.
Et dois, tu veux calculer
[tex]P(A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_5\cap\bar{A_6}\cap \bar{A_7})[/tex]
Il suffit donc de faire le produit des probabilités, et chacune vaut 1/2.

Fred.

gprbx · 17-01-2011 22:52:15

Bonsoir,

en effet, FFFFFGG est unique parmi les 128 possibilités de familles différentes de 7 enfants

gprbx

thadrien · 18-01-2011 12:49:54

Salut,

On te pose dans un sens ce que tu as normalement vu en cours en sens inverse. Petit rappel :

1) La probabilité, comme le dit Fred, que les 5 premiers enfants soient des filles et les deux derniers des garçons vaut [tex](\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^3[/tex]. Soit [tex](\frac{1}{2})^8[/tex]. C'est un simple produit de probabilités indépendantes.

2) Si tu veux calculer la probabilité que 5 enfants quelconques de la famille soient des filles, alors, il te faut tenir compte des autres manières possibles d'avoir 5 filles que seulement les 5 premiers :

FFFFFGGG
FFFFGFGG
FFFGFFFF
... (la liste est assez longue...)

Comme ces évènements sont incompatibles, alors il te suffit d'ajouter les probabilité de ces évènements.

3) Pour chacune de ses combinaisons, la probabilité est identique. Il te suffit donc de la multiplier par le nombre d’évènements.

4) Problème : il est difficile d’énumérer tous ces évènements à la main pour les compter. Pour 5 parmi 8, c'est encore faisable, mais par exemple pour 50 parmi 10000, ça ne l'est plus. C'est pourquoi, on calcule directement leur nombre SANS passer par une énumération, avec les coefficients binomiaux.

C'est pourquoi on a deux formules différentes pour les deux cas, différent d'un facteur qui est le coefficient binomial.

freddy · 18-01-2011 18:25:16

Hadrien,

halte au feu ! ... on ne "passe" pas par le coefficient binômial, on fait du dénombrement car, comme tu le dis, on ne peut pas toujours tout dénombrer "à la main".

Ce qu'li faut est que tu montres à notre ami comment on arrive à C(5,8) pour qu'il sache le refaire à l'occasion, car au vu de la question, il n'est pas du tout à l'aise, et à la lecture de ta réponse, j'ai peur qu'il soit encore plus dans la brume qui limbe la Main.

Je trouve l'explication de Fred suffisante et limpide.

Dernière modification par freddy (18-01-2011 18:25:37)

MOHAMED_AIT_LH · 18-01-2011 19:45:16

Bonsoir,

Pour thardien : tu voulais dire [tex] (1/2)^7[/tex] ?

La réponse donnée par Fred concerne bien entendu la deuxième question et non pas la prémière où il s'agit de l'événement : avoir cinq fille peu importe l'ordre dont elles arrivent.

Pour la question 1), je crois qu'effectivement l'épreuve suit la lois binomiale de paramètres [tex]7 , 5[/tex] et [tex]0.5[/tex] si bien que la proba cherchée est : [tex]C_7^5 (0.5)^5 (0.5)^2=C_7^5 (0.5)^7[/tex]

Sauf erreur bien entendu !

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (18-01-2011 20:05:29)

freddy · 18-01-2011 20:03:10

Re,

houla, je crois qu'il y a un vrai nid !

@Mohamed, Fred n'a pas à répondre à la première question puisque notre ami a déjà la réponse. Et qui ne dit mot consent !

mais si tu veux nous faire un cours sur la loi binomiale, je suis preneur, j'ai quelques difficultés parfois.

MOHAMED_AIT_LH · 18-01-2011 20:38:10

Bonsoir

Oui Freddy : j'avais répondu sans avoir lu tout l'énoncé
j'ai réédité mon message en expliquant moi même ce qui s'est passé.

Vous donner un cours !!! c'est beaucoup pour moi ...

(j'ai essayé de ta parler de la lois binomiale mais à la prévisulaistaion ça ne passe pas : je vois un message :"On te vois qunad tu spamm" ou qulque chose comme ça ..)
J'essayerai une autre fois (car je dois sortir pour aller au souk :-) )

((Au passage je te remercie Freddy pour l'annecdote à la Bourbaki ) : elle touche bien ce qu'on sent lorsqu'on navigue les tommes de ce grand traité (mais pas tous !!!) )

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (18-01-2011 20:40:18)

Ethulian · 18-01-2011 23:26:13

Bonsoir tout le monde !

Je ne vous remercierai jamais assez pour la qualité et la rapidité de vos réponses !

Souvent la solution d'un problème est très simple et presque évidente. Mais l'évidence ressemble toujours à
un piège pour celui qui n'est pas sûr de lui ^^

Quoi qu'il en soit, je vous remercie encore pour vos réponses et vous souhaite une excellente soirée à tous !

Très Cordialement,

Ethulian

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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