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aCIRDEC

Invité

récurrence impossible

Bonsoir,
Soit f une fonction continue et strictement croissante sur les réels POSITIFS et telle que sa limite en + l'infini soit 2.
Soit u la suite définie par u(n+1)=f(u(n)) et telle que 0<=u(0)<=u(1).
Montrer que u est croissante et convergente.
Je tente de montrer par récurrence que u est croissante :
Soit Pn : "u(n)<=u(n+1)"
pour n=0 P0 correspond à u(0)<=u(1) ce qui est vrai par donnée.
Supposons que Pn soit vraie et montrons que P(n+1) est vraie :
si u(n)<=u(n+1) alors comme f est croissante sur R+ , j'ai envie d'écrire que  f(u(n))<= f( u(n+1)) d'où u(n+1)<=u(n+2) ce qui signifie que P(n+1) serait vraie et la récurrence fonctionnerait mais je ne sais pas que u(n) est positif et je ne dispose que de la croissance de f sur R+ et pas sur R au moment où je compose par f.

Alors je me dis qu'il faudrait que je démontre d'abord que tous les termes de la suite u sont positifs !
Soit Pn : "u(n)>=0".
P0 est vraie.
Supposons que u(n)>=0 et montrons que u(n+1)>=0.
Comme f est croissante sur R+ alors f(u(n))>=f(0) d'où u(n+1) >= f(0) mais rien de me dit que f(0) est positif !

On se mord la queue à chaque fois !

Comment faire ?

merci beaucoup,

Cédric

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : récurrence impossible

Salut Cédric,

  C'est une bonne chose d'avoir vu la difficulté dans cette preuve!
L'idée est toute bête : il suffit de mettre les deux conditions dans l'hypothèse de récurrence, qui devient donc
[tex]P_n[/tex] : "[tex]0\leq u_n\leq u_{n+1}[/tex]".

[tex]P_0[/tex] est vraie, ce sont les hypothèses que l'on te donne.

Si [tex]P_n[/tex] est vraie, alors tu sais que
[tex]0\leq u_n\leq u_{n+1}\implies u_{n+1}\leq u_{n+2}[/tex]
Il te reste à prouver que [tex]u_{n+1}\geq 0[/tex]
Mais l'hypothèse de récurrence te donne
[tex]u_{n+1}\geq u_n\geq 0[/tex], et tu peux conclure!

Fred.

gprbx

Membre

Inscription : 17-12-2010

Messages : 134

Re : récurrence impossible

Bonsoir, fred a posté avant moi, mais j'avais écrit :

quelle valeur de n pourrait être l'initialisation de la récurrence ?

et je pensais
P2 = u(2) - u(1) = f(u(1)) - f(u0)) >= 0

gprbx

Dernière modification par gprbx (17-01-2011 21:54:20)