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Estrellaa

Invité

Derivée [Résolu]

Bonjour,

je doit trouver la derivee de cette fonction : f(x)= -x² + 10x - 9 - 8ln(x)

Le resultat est donné dans la question. C'est: f'(x)= -2(x-1)(x-4) le tout sur x

J'ai bien sur tenté moi meme et j'en suis restée bloqué à ce stade :
f'(x)= -2x+10-8/x
= -2x²+10x-8 le tout sur x

Je pense qu'il faut factoriser mais impossible pour moi !

Merci d'avance de votre aide !

yoshi

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Re : Derivée [Résolu]

Re,

Niveau Term, donc...
En 1ere, tu as vu le calcul du discriminant qui te permet de trouver les racines x1 et x2 d'un polynôme du 2nd degré ax²+bx+c (lorsqu'elles existent) et de la factoriser en a(x-x1)(x-x2)...
En 2nde, tu as vu cette factorisation basée sur la mise sous "forme canonique" :
[tex]f'(x)=-2x^2+10x-8\;\Leftrightarrow\;f'(x)=-2(x^2-5x+4)\;\Leftrightarrow\;f'(x)=-2\left[\left(x-\frac 5 3\right)^2 -\left(\frac 5 2\right)^2+4\right][/tex]
aboutissant finalement à une différence de 2 carrés...

@+

Estrellaa

Invité

Re : Derivée [Résolu]

Oula, j'aurais jamais trouvé !

Merci c'est fait.

Et ensuite pour etudier son signe, j'utilise "soit (x-1)=0 ou (x-4)=0" ?

yoshi

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Re : Derivée [Résolu]

Re,

Ouh le garnement...

Oula, j'aurais jamais trouvé !

Quoi donc ? La factorisation sans discriminant ? A ton niveau t'es censé savoir faire ça "les doigts dans le nez" et pouvoir justifier chaque étape !

Et ensuite pour etudier son signe, j'utilise "soit (x-1)=0 ou (x-4)=0" ?

Pour le sens de variation : il est donné par la direction du coefficient directeur de la tangente à la courbe, donc le signe de la dérivée, donc celui de [tex]\frac{-2(x-1)(x-4)}{x}[/tex], donc celui du produit [tex]-2x(x-1)(x-4)[/tex]
T'avais pas "un petit peu" oublié le dénominateur des fois, non ?

@+

Estrellaa

Invité

Re : Derivée [Résolu]

Oui mais je ne relis pas mes cours de seconde tous les jours ! Alors quand il y a un exercice et qu'il porte sur un truc de la seconde, non je n'men souviens pas !

Definie sur [1;6] donc x positif sur [1;6], non ?

Donc comme le coefficient directeur est -2, je suppose que le signe de f' est negatif ?

yoshi

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Re : Derivée [Résolu]

Re,

Bin, t'auras qu'à aller dire ça à ton correcteur du Bac ;-)
Heu...
j'ai parlé du signe du produit...
Ca, aussi t'as oublié ?
Et puis la fonction ln n'est définie que sur ]0 ; +oo[, l'étude du signe ]-oo : 0] n'a pas lieu d'être...
Moyennant quoi le domaine de définition de f est ]0 ; +oo[..
Tu parles de [1 :; 6] tu as donc des éléments en main que tu n'as pas donnés
Les variations s'étudient comme ça :

x     |  0     1      4       + oo|
------| ||-----|------|-----------|
-2x   | ||     |      |           |
------| ||-----|------|-----------|
x-1   | ||     0      |           |
------| ||-----|------|-----------|
x-4   | ||     |      0           |
------| ||-----|------|-----------|
f'(x) | ||     0      0           |
------| ||-----|------|-----------|
      | ||                        |
f(x)  | ||                        |

Tu places les signes, tu fais le produit (ligne f'(x)) et en fin tu places flèches montantes et descendantes, valeurs particulières et limites en 0 et +oo de f.

@+

Estrellaa

Invité

Re : Derivée [Résolu]

Si j'aurai pu lui parler j'aurais bien voulu mais on a aucun contact avec les correcteurs...

Oui sûrement oublié...

Donc, -2x + + +   
          x-1 + + +
          x-4 + + +

J'ai fait:         
x-1 >0            -2x>0           x-4>0
x>0                 x<-2             x>0

Mais je pense que c'est faux...

yoshi

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Re : Derivée [Résolu]

Re,

Que tu n'aies aucun contact, avec le correcteur c'est normal. Je le sais bien j'ai été 38 fois correcteur et plus d'une dizaine de fois examinateur à l'oral de rattrapage (là, tu le vois).

Oui, c'est faux.
En partant de 0 à +oo :
-2x     -  -   -
x-1     - +  +
x- 4   -  -   +

Tu vois pourtant que  si x >0  -2x < 0   exemple x = 3   --> -2x =-6
Pour x-1  soit x =0.5  exemples :  x-1 = 0.5 = -0.5 <0  et x = 2  x-1 = 2-1 = 1 > 0

etc...

-2x > 0  pn divise par -2 et on change l'ordre --> x<0  donc -2x est >0 si x est négatif...

x-1 >0  --> x > 1  : x-1 est positif pour tout x > 1

x-4 > 0 --> x > 4  :  x-4 est positif pour tout x > 4

A refaire.

@+

Estrellaa

Invité

Re : Derivée [Résolu]

Oui c'est ce que j'avais fait au depart en plus...
C'est sur l'intervalle [1;6]

Donc mon tableau ça donne ça:

   x      1     4     6
-2x          -     +
x-1          +    +
x-4          -     +
f'(x)         +    -
f   croissant    decroissant

Ensuite on nous demande qu'elle est la quantité de piece a produire pour obtenir un benefice mensuel maximal.  Mais en 4 c'est 0 donc ce n'est pas possible... Je bloque

yoshi

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Re : Derivée [Résolu]

Re,

M'enfin, je t'ai dit et montré que -x est négatif sur ] ; + oo[ donc  à plus forte raison sur [1 ; 6]
Donc ttu as :
   x      1     4     6
-2x          -     -
En plus tu n'as pas d'excuses parce que dans mon précédent post, je t'ai écrit :

En partant de 0 à +oo :
-2x     -  -   -

Ah... Etourderie possible ??? Puisque le signe de f'(x) et les variations de f(x) sont justes...

Ensuite on nous demande qu'elle est la quantité de piece a produire pour obtenir un benefice mensuel maximal.  Mais en 4 c'est 0 donc ce n'est pas possible... Je bloque

Je veux bien t'aider, mais pour ça, il faut que je sache si le bénéfice mensuel est réprésenté par f(x) ou f'(x) : tu ne l'as jamais dit, vérifie donc par toi même en relisant tes posts depuis le début...

Je fais la supposition (logique pour moi) que c'est f(x) avec x le nombre de pièces produites : en dizaine de pièces, centaines de pièces... ? Bénéfice en €, milliers d'euros... ?
Dans ce cas, calcule f(4) et non f'(4)...

@+

Estrellaa

Invité

Re : Derivée [Résolu]

Cest representé par f(x) donc je fait f(4)= -4²+10*4-9-8ln(4)
=3.90

exprimé en dizaine de milliers d'euros, obtenu pour la vente de x centaines de pieces.

Donc cela fait 30 900 euros ?

yoshi

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Re : Derivée [Résolu]

Re,

Oui.
Maximum atteint pour 400 pièces.
Bénéfice 30900 €

@+