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sedah

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derivé [Résolu]

Bonjour , bonne année à vous tous ! :):)
j'aurai besoin de vous SVP pour me corriger  mon exercice.
Merci

Vous devez determiner la fonction dérivée de f' de la fonction définie sur l'intervalle I.

f(x) = 1 -7x
c'est sous la forme d'une somme , y =mx+p soit y = m
ainsi
f(x) = 1-7x
f'(x) = -7

f(x) = 2/3 x exposant 3 + 1/4 x² + 2x-1
est une somme , on peut le reduie à

= 2/3x expo 3 + 1/4 x² +2x+2

f(x) = u(x) +v(x) + y (x) + z(x)
avec :
    u (x) = 2/3x exposant 3
    v(x) = 1/4x²
    y (x) = 2x
   z(x) = 2

donc
        u'(x) = 2/3 x exposant 3  = 3*2/3x 3-1 =   2x²
        v'(x) = 1/4x² = 2 * (1/4x) exposant 2-1 = 1/2x^1
        y'(x) = 2 x = 1
        z'(x) = 2 = 0

d'ou : f'(x) = u'(x) + v'(x)+ y '(x) + z'(x)
       f'(x) = 2x² + 1/2x+1

f(x) = 1/x^3 + 1/x² + 1/x
est une somme : u(x) + v(x) +y(x)
avec :
        u(x) = 1/x^3
        v(x)= 1/x²
        w(x) = 1/x

d'ou :

    u'(x) = 1/x^3 =    -3/x^4
    v'(x) = 1/x² = -2/x¨^3
    w'(x) = 1/x = -1/x²

par conséquent : f'(x) = u'(x) + v'(x) + w'(x)
                         f'(x) = -3/x^4  - 2/x^3 - 1/x²

f(x) =  1-x / 4x+1
est un quotient  soit u(x) / v(x)
avec :
              u(x) = 1-x
              v(x) = 4x+1

d'ou :
           u'(x) = -1
           v'(x) = 4

par conséquent : f(x) = u'(x) v(x) - u(x) v'(x) / v²(x)

                               =  -1(4x+1) - (1-1x) 4 / 4²

                              = (-4x - 1 ) - (4-4x) / 16

                             =  -4x-1-4+4x / 16

                               = -5/16

est ce bon ?
merci

yoshi

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Re : derivé [Résolu]

Bonsoir,

f'(x) = -7 oui
f'(x) = 2x² + 1/2x+1 non. C'est faux ici : y(x) =2x et y'(x)=1 non.
f'(x) = -3/x^4  - 2/x^3 - 1/x² oui

Si f(x) =u(x)/v(x) alors f(x)= 1-x/4x+1 est une écriture fausse, je suis sûr de déjà t'avoir fait remarquer ça...
Correct est f(x)=(1-x)/(4+x) à cause de la priorité des opérations.

f'(x)=f(x) = u'(x) v(x) - u(x) v'(x) / v²(x)... là encore écriture fausse
Correct : [u'(x) v(x) - u(x) v'(x)]\v²(x)  ou avec des parenthèses à la place des crochets...

f'(x) = -5/16 faux... Pourquoi 16? Pourquoi v²(x) devient-il 16 (c'est à dire 4²) ?

@+

sedah

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Re : derivé [Résolu]

Bonsoir ,

-5/16 16 vient du 4² c'est la formule que je dois utiliser dans mon cour comme l'opération effectué est un quotient donc 4² = 16

f'(x) = 2x² + 1/2 x+1
car 2x² est sous la forme x^n soit f'(x) = nx^n-1 dans mon cour d"ou là ma reponse en remplaçant n par 2

sachant que
f(x) = 2/3 x exposant 3 + 1/4 x² + 2x-1
est une somme , on peut le reduie à

= 2/3x expo 3 + 1/4 x² +2x+2

f(x) = u(x) +v(x) + y (x) + z(x)
avec :
    u (x) = 2/3x exposant 3
    v(x) = 1/4x²
    y (x) = 2x
   z(x) = 2

donc
        u'(x) = 2/3 x exposant 3  = 3*2/3x 3-1 =   2x²
        v'(x) = 1/4x² = 2 * (1/4x) exposant 2-1 = 1/2x^1
        y'(x) = 2 x = 1
        z'(x) = 2 = 0

d'ou : f'(x) = u'(x) + v'(x)+ y '(x) + z'(x)
       f'(x) = 2x² + 1/2x+1

d'ou 2 x est sous la forme : f(x) = x soit f'(x) = 1
et z(x) = 2 soit sous la forme f(x) = k donc f'(x) = 0 ainsi z'(x) = 0

je comprend pas mes erreurs pourtant , j'ai utilisé les formules et la méthode de mon cour ?
pouvez vous m'aidez , merci

yoshi

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Re : derivé [Résolu]

Re;

f'(x) = 2x² + 1/2x+1 non. C'est faux ici : y(x) =2x et y'(x)=1 non.

Si y(x) = 2x alors y'(x) =2 et non 1...
Pourquoi la dérivée de 2x serait-elle 1 ? (2x)'= 2*(x)' = 2 * 1 = 2

Ensuite

[tex]\left(\frac{U}{V}\right)'=\frac{U'V-UV'}{V^2}[/tex]
Ce que tu as écrit comme dénominateur n'est pas v²(x),c'est v'²(x)...

[tex]f(x)=\frac{1-x}{4x+1}[/tex]  D'où  [tex]f'(x)=\frac{-1(4x+1)-(1-x)\times 4}{(4+x)^2}=\frac{-5}{(4+x)^2}[/tex]

Oh, j'ai vu que tu sais tes formules, mais cela ne te met pas à l'abri d'erreurs d'inattention...
La preuve.

Ah, au passage je vois que tu ne fais pas grand cas de mes remarques sur l'écriture algébrique :
-4x-1-4+4x / 16 est une écriture fausse, tu dois écrire (-4x-1-4+4x)/ 16...
Tu veux une preuve ?
Prends ta calculette, et supposons que x=12..
Tape maintenant ce que j'écris là :
[tex]-4*12-1 -4*12/16\; EXE[/tex]  et tu vas trouver -52.
En effet, * et / sont prioritaires sur + et - donc
la machine "voit" 4 *12 elle attend la suite,
la machine "voit" -1 : elle attend la suite,
la machine "voit"  -4 elle enclenche le calcul : -*12 = -48 ; -48-1= -49
la machine après -4 "voit" * 12 : elle attend la suite,
la machine "voit" /16, elle attend la suite,
mais tu appuies sur EXE, donc elle enclenche le calcul : -49-4*12/16 = -19 - 48/16 = -49-3 = -52

Alors que ton résultat avec des parenthèses qui sont dans ta tête et pas sur le papier) est  -5/16.

Alors, je te mets en garde, si un jour tu tapes des calculs sur ta calculette, comme tu les écris là, en ignorant royalement la priorité des opérations, crac ce sera faux !
Imagine au Bac, 1ere question d'un problème, tu commences par une erreur de calcul, tu es mal engagée...

Je te dis ça dans ton intérêt, pour toi, parce que à moi, ça ne risque pas d'arriver : mon Bac est très très loin derrière moi et mes profs successifs m'ont trop bien dressé pour ça :-)

Ça te va ? C'est clair ?

@+

sedah

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Re : derivé [Résolu]

bonsoir , voilà j'ai refais mes dernier  calculs :

pour f(x) = 2/3x^3 + 1/4x² +2x-1

ainsi la fonction est une somme soit : u(x) + v(x) + w(x) + z(x)
avec :
u(x) = 2/3x^3
v(x) = 1/4x²
w(x) = 2x
z(x)=-1

donc :

u'(x) = 2/3x^3 = nx^n-1 = 3*(2/3x) ^3-1 = 6/3x² = 2x²
v'(x) = 1/4x²= nx^n-1 = 2*(1/4x)^1 + 2/4x
w'(x) = 2x =  je sais pas identifier la formule d'ou là que je me trompe
z'(x) = -1 = je ne sais pas¨quelle est la bonne formule meme en regardant dans mes cours

pouvez vous m'aider à trouver le résultat juste ne me donnant la formule svp

f(x) = 1/x^3 +1/x²+1/x forme de somme
u (x) = 1/x^3
v(x) = 1/x²
w(x) = 1/x

donc
u'(x) = 1/x^3 = -3/x^4
v'(x) = 1/x² = -2/x^3
w'(x) = 1/x = -1/x²

est ce que j'ai utilisé les bonnes formule ? si non pouvez vous me les dire car je ne sais pas lequells ce sont dans ce cas
merci

f(x) =  1-x/ 4x+1 quotient
u(x) = 1-x
v(x) = 4x+1

u'(x) = -1   j'ai utilisé la formule f(x) = mx+p soit f'(a) = m
v'(x) = 4

f'(x) = u'(x) v(x) - u(x)v'(x) / [v(x) ² ]
f'(x) = -1 * (4x+1) - (1-1x) 4 / (4x+1)²
f'(x) = -5/ 16 x² + 8x +1

est ce bon ?

yoshi

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Re : derivé [Résolu]

Bonsoir,

Je t'ai pourtant listé les deux seules erreurs de calcul trouvées (et la 2e était une simple étourderie), il n'y en pas d"autres...
Pour t'aider à identifier la fonction 2x, pense bien que [tex]2x=2x^1[/tex]

Je répète encore une fois, mais cette fois-ci, je vais te le hurler :

N'ECRIS PAS f(x) =  1-x/ 4x+1 AVEC u(x)=1-x  ET v(x)=4x+1 CETTE ECRITURE EST FAUSSE...
ECRIS A LA PLACE f(x)=(1-x)/(4x+1)....

Maintenant si ça t'es complètement égal, alors dis-le une bonne fois pour toutes...

f'(x) = -1 * (4x+1) - (1-1x) 4 / (4x+1)²
f'(x) = -5/ 16 x² + 8x +1

est ce bon ?

Pourquoi poses-tu la question ?
Si tu as lu attentivement mon post précédent, alors tu dois bien savoir que oui !

A part le fait qu'écrire :
f'(x) = -1 * (4x+1) - (1-1x) 4 / (4x+1)²
f'(x) = -5/ 16 x² + 8x +1
sont des ECRITURES FAUSSES !!!

TU DOIS ECRIRE :
f'(x) = (-1 * (4x+1) - (1-1x) 4) / (4x+1)²
f'(x) = -5/ (16 x² + 8x +1)
avec des parenthèses supplémentaires...

Et il est inutile de développer (4x+1)², sauf si ton prof te demande expressément de le faire, ce qui m'étonnerait beaucoup...

En fait, outre que c'est inutile, c'est même franchement à déconseiller...
Le signe de la dérivée te permettra d'étudier les variations d'une fonction (croissance, décroissance, extremums), si tu développes le dénominateur
1. Il peut arriver que tu puisses simplifier numérateur et dénominateur.
    En développant, tu risques de ne pas le voir...
2. Tu peux avoir besoin du domaine de définition : il te faudrait refactoriser. Peut-être ne verrais-tu pas cette factorisation...

En résumé [tex]f'(x)=\frac{-5}{(4x+1)^2}[/tex] est suffisant : tu peux t'arrêter là...

Je reviens sur w(x)=2x...
Tu sais dériver [tex]x^n[/tex], je l'ai vu.
Donc s'il est écrit 2x, ça ne change rien c'est la même formule avec n=1   : [tex](2x)' = (2x^1)'=2 \times  1 \times x^{1-1}= 2x^0= 2\times 1 = 2[/tex]
x^0 = 1, pour n'importe quel x différent de 0...

Et aussi sur z(x) = -1
Ici z est une fonction constante telle que z(x) = -1 pour n'importe quelle valeur de x...
-1 est une constante, la dérivé d'une fonction constante est toujours 0.
[tex]f(x) = \frac 2 3x^3 +\frac 1 4x² +2x-1[/tex]

[tex]f'(x)=2x^2+\frac 1 2 x+2[/tex]  La dérivée de -1 étant 0, je n'ai pas écrit -0 (ou +0) après le 2 : je m'arrête là !

Est-ce que c'est clair ou y a-t-il quelque chose qui te gêne toujours  ?

@+

sedah

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Re : derivé [Résolu]

bonjour , alors pour la quotient oui c'est tout compris :)
seule problème c'est pourquoi 2x = 2
et que devient le 1 ??
c'est ce que je comprend toujours pas

sedah

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Re : derivé [Résolu]

Autant pour moi ; j'ai enfin compris :)
pour le 2 et le 1
comme on sépare les nombres :
on va d'abord s'occuper de 2/3x^3
puis de 1/4x²
et on prend 2x-1 = f(x) = mx+p avec m = 2 et p = -1 ainsi f(x) = mx+p = f'(x) = m
donc pour f(x) = 2x-1 = f'(x) = 2

:) :) :)
c'est clair désormais :)

yoshi

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Re : derivé [Résolu]

Re,

Pour quoi faire mx + p ?
Tu avais décomposé f(x) ainsi, ce qui était très bien :
u(x)=2/3x^3
v(x)= 1/4x²
w(x)=2x
z(x)=-1
Tu remarques que z(x) est une constante : son expression ne contient pas de x.
La dérivée d'une constante est toujours nulle...
Les premières u(x), v(x) et w(x) se dérivent avec la même formule : [tex](x^n)'=n\times x^{n-1}[/tex]
[tex]u(x)=\frac 2 3 x^3\;\;donc\;\;u'(x)=\left(\frac 2 3 x^3\right)'=\frac 2 3 \times 3 \times x^{3 -1}=2x^2[/tex]

[tex]v(x)=\frac 1 4 x^2\;\;donc\;\;v'(x)=\left(\frac 1 4 x^2\right)'=\frac 1 4 \times 2 \times x^{2-1}=\frac 1 2 x[/tex]

[tex]w(x)=2x^1\;\;donc\;\;w'(x)=(2x^1)'=2\times 1 \times x^{1-1}=2x^0 = 2[/tex]

Regarde : a, b, c et d étant des nombres que je ne donne pas (je les remplace par des lettres) :
Soit la fonction g telle que [tex]g(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] que vaut g'(x) ?

[tex]g'(x)=(ax^3)'+(bx^2)'+(cx)'+(d)' = 3ax^2+2bx+c + 0[/tex]...  Mais on n'écrit pas le zéro ! Inutile...

@+

sedah

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Re : derivé [Résolu]

bonsoir , j'ai compris les reste comme vous avez pu le voir mais il me reste l'équation h'(x) = 1/x^3+1/x²+1/x
j'ai fais les calculs ci dessus et vous ne m'avez rien dit dessus

Bonne soirée
merci,
:)

yoshi

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Re : derivé [Résolu]

Re,

Et bien, je t'ai dit (2 fois si ce n'est 3 que je n'avais relevé que 2 erreurs et que je te les ai listées...
Ce qui signifie donc qu'en ce qui concerne le reste, si je n'ai rien dit, c'est qu'il n'y avait rien à dire, donc que c'est juste !

Si ça peut te rassurer, voilà...
[tex]h(x) = \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}+\frac 1 x[/tex]
D'où
[tex]h'(x)= \left(\frac{1}{x^3\right)'}+\left(\frac{1}{x^2}\right)'+\left(\frac 1 x\right)'=-\frac{3}{x^4}-\frac{2}{x^3}-\frac{1}{x^2}[/tex]

Au passage, j'en profite pour te dire que je n'ai pas employé de formule particulière, je fais ça (même avec des racines carrées !) encore avec la même formule :
[tex](x^n)'=nx^{n-1}[/tex]
sauf que j'utilise un n négatif (avec la définition de la classe de 4e) :
[tex]h(x) = \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}+\frac 1 x=x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}[/tex]
D'où
[tex]h'(x)=(x^{-3})'+(x^{-2})'+(x^{-1})'=-3x^{-3-1}-2x^{-2-1}-1\times x^{-1-1}=-3x^{-4}-2x^{-3}-x^{-2}=-\frac{3}{x^4}-\frac{2}{x^3}-\frac{1}{x^2}[/tex]

Mais ça, c'est parce que, quand j'étais à ta place, je cherchais à charger mon cerveau le moins possible... ;-)

@+

PS
1. Ici il n'y a aucune équation...
2. N'écris pas f(x) = 2x-1 = f'(x) = 2 : c'est une écriture fausse, supprime le = qui est en gras.
3. Écris plutôt, par exemple  :
    f(x) = 2x-1 et f'(x) = 2
    f(x) = 2x-1 ; f'(x) = 2
    f(x) = 2x-1 donc f'(x) = 2
       ...............

sedah

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Re : derivé [Résolu]

Merci :)