Faut pas jouer avec les allumettes...

yoshi · 08-01-2011 15:13:42

Salut,

Mes parents me l'ont assez seriné quand j'étais gosse...
Quelque chose généré par le triangle de gprbx remonte à la surface...
Donc, je m'étais auto-soulevé une difficulté à partir d'une discussion, où un élève de 4e rangeait, dans son râtelier, son "Arbalète de Léonard", pour soumettre un problème d'allumettes.

L'énoncé était le suivant :

Pour construire des figures géométriques, on ne dispose que de sept allumettes, chacune mesurant exactement 3cm.
Le but est de placer le milieu de [AB] de longueur 11.5cm avec pour seuls outils les sept allumettes.
Représentez en couleur la position des sept allumettes sur un dessin à l'échelle 1 et justifiez votre construction.

J'avais abouti à la "construction" ci-dessous :

quand je me suis avisé, qu'il y avait un 2e point M' figurant sur [BC] de l'autre côté de M par rapport à la perpendiculaire abaissée de N sur [AB] et qu'on pouvait obtenir avec la 7e allumette...
Bien sûr le point M', n'est pas solution...
Et je me suis dit alors : bien sur ? BIEN SÛR ?
Comment ça ?
Comment prouver, en 4e, que le milieu est M et pas M' ?
Parce que M est plus près de A que M' ? Oui, mais dans ce cas M' est plus près de B que M... Et pourquoi puis-je le dire ? Parce que ça se voit ?
Parce que (NM') n'est pas parallèle à (CA) ? Pourquoi ? Parce que ça se voit ?
Sans instruments, juste avec les allumettes et la Géométrie de 4e, comment faire ?

A ce jour, je ne me souviens pas d'avoir trouvé de réponse et ça reste une pierre dans mon jardin : j'ai l'impression d'être passé à côté d'une évidence et ça me dérange...

J'aimerais bien avoir vos avis.

@+

Barbichu · 08-01-2011 15:37:58

Re,
J'en déduis que le théorème de Thalès n'est pas au programme de 4e, mais plutôt de 3e ou de seconde ?
a+

yoshi · 08-01-2011 15:53:11

Re,

Si en 4e comme calcul de la "4e proportionnelle" en gros : proportionnalité des longueurs dans le triangle suite au tracé d'une parallèle à un côté...
La formellisation du théorème et de sa réciproque :-) --> 3e.
Une direction de recherche comme celle-là, je crois bien l'avoir envisagée (c'était en octobre) et j'ai bien dû la rejeter : je ne dispose d'aucun instrument de mesure, je ne peux même pas tracer une parallèle...
Mais vas-y : si j'ai exploré cette piste, les objections que je me suis faites à l'époque remonteront à la surface...

En fait la première question qui conditionne la précédente :
l'objection que suis soulevée était-elle pertinente au regard de la règle du jeu imposée ?

@+

Dernière modification par yoshi (08-01-2011 16:13:59)

gprbx · 08-01-2011 17:11:41

Bonjour,

Et si on construit le milieu avec seulement 5 des 7 allumettes,
Cela ne supprime-t-il pas le dilemme ?

Une de plus de N à M permet de voir un beau losange, et une belle symétrie,
mais une allumette reste inutilisée !

A+ cordialement : gprbx

yoshi · 08-01-2011 17:36:26

Re,

Ah oui... !!!
Joli passage entre les gouttes : l'élève aurait pu arguer du fait que, si l'énoncé disait 7 allumettes, il ne disait pas qu'elles devaient toutes être utilisées...
Mais là, on aurait vu si son prof avait un certain sens de "l'humour".
Perso, je pense, à froid, que j'aurais apprécié le contrepied, comme on dit en Foot, et que j'aurais validé la solution...
Maintenant, à chaud, je ne peux pas savoir.

Mais, moi je reste avec mon dilemme...:-(

@+

[EDIT]
Bin si, l'énoncé le dit, je viens de vérifier (mémoire rime avec passoire) !

(...) Représentez en couleur la position des sept allumettes (...)

Arf... Dommage, c'était malin !

Dernière modification par yoshi (08-01-2011 17:39:47)

Barbichu · 08-01-2011 17:51:02

Re,
Je pense que les deux dernières allumettes devraient servir à s'assurer que les deux paires d'allumettes mises bout à bout sont correctement alignées.
Par contre, je crains ne pas comprendre le dilemme de yoshi, qu'est ce qui te trouble ?
Bonne soirée !

yoshi · 08-01-2011 17:58:17

Re,

En fait, j'y repense dans la solution de gprbx, y a qu'à la placer cette 7e allumette et faire apparaître le losange et l'objection tombe...

@Barbichu.
Ce qui me trouble est de ne pas arriver (à partir de mon dessin) à justifier, sans autres outils que ces damnées allumettes, l'affirmation : le milieu est le point M, le 2e point possible M' ne convient pas...

@+

gprbx · 08-01-2011 23:10:04

Bonsoir,

Ce chapeau mexicain utilise bien les 7 allumettes, bonne précision et plus de dilemme.

A+ cordialement : gprbx

yoshi · 08-01-2011 23:14:51

Re,

Bravissimo ! Quel artiste !

Mais, j'attends quand même une réponse à mon dilemme s'il y en a une...

@+

gprbx · 09-01-2011 00:27:25

Bonsoir,

La construction du chapeau m'est venue tout d'un coup, c'est une façon d'éviter tout dilemme.

De toutes façons, toute solution avec des allumettes n'est que démonstrative. Et personnellement si j'avais été "en situation" j'aurais plutôt préféré orienter vers la construction du début avec M et M' possibles, histoire de faire amorcer un questionnement éventuel chez l'élève (ou les élèves). ça ne doit pas être interdit ?

Bigre, je viens de terminer un programme sur une base de données ACCESS pour un de mes neveux, et il est tôt !
A+ : gprbx

gprbx · 09-01-2011 11:19:14

Bonjour à tous,

Je me relis ce matin (tout s'éclaire souvent le matin !) :
yoshi a écrit Post #1

Comment prouver, en 4e, que le milieu est M et pas M' ?

Si la 7ème allumette (Post #1) est utilisée pour tracer une parallèle aux allumettes 1 et 2 ce sera bien une illustration de Thalès, mais si cette 7ème est utilisée pour sa longueur ce n'est pas une illustration de Thalès ni de sa réciproque.
N'est-ce pas l'évidence recherchée ?

Note : ce matin je ne dis pas que la solution avec des allumettes est démonstrative...car ce dernier terme prête à ambiguité avec "démonstration", je parle d'illustration d'un théorème

Bonne journée, le soleil est revenu : gprbx

yoshi · 09-01-2011 13:02:26

Re,

Bin la 7e est bien utilisée pour sa longueur.
Merci pour tes recherches.
Les souvenirs remontent.
En fait, je m'étais légèrement écarté du problème des allumettes ainsi :
Etant donné un triangle ABC et N le milieu de [BC], on trace l'arc de cercle de centre N et de rayon AC/2 qui recoupe [AB] en deux points M et M' (dans l'ordre A, M, M', B)
Lequel de ces deux points M et M' est le milieu de [AB] ?
Et j'étais arrivé à la conclusion que tout dépendait de l'angle [tex]\widehat{CAB}[/tex].
S'il est aigu, alors le milieu M et s'il est obtus c'est M'...
Alors, je me suis posé une nouvelle question, dans notre cas, l'angle est aigu, c'est "évident"...
Mais comment le prouver avec le peu de moyens dont on dispose ?
Avec Al-Kashi, ça irait tout seul, mais pas en 4e...

@+

jambala · 09-01-2011 13:55:52

salut,

Est-ce que le programme de 4° contient des notions qui se rapprochent de l'homotétie.

On considère le triangle BNM (respectivement BNM'). On lui applique l'homotétie de centre B et de rapport 2. Cela donne le triangle BCA (respectivement BC'A').

Les angles BNM et BCA sont égaux. M est le milieu de AB.
Les angles BNM' et BC'A' sont égaux. M' est le milieu de A'B.

Sur ton schéma, en mettant l'allumette 7 sur M', on peut mettre les allumettes 1 et 2 sur A'...

Je pense qu'en considérant le point A', tu peux résoudre ton problème.

yoshi · 09-01-2011 14:51:33

Bonjour,

Non, pas du tout...
Homothétie --> 2nde !
Merci de ta suggestion.

@+

gprbx · 09-01-2011 18:59:24

bonsoir yoshi,

En relisant ton post #12 l'idée naturelle me parait : pourquoi favoriser BC plutôt que AC.
Soit P le milieu de [AC], on trace l'arc de cercle de centre P et de rayon BC/2 qui recoupe [AB] en deux points dont l'un est le milieu de [AB]. Ce qui élimine un des 2 points M ou M' !
Cela parait bien pour la 4ème ?

A+ Cordialement : gprbx

yoshi · 09-01-2011 19:10:57

Re,

Merci.
Oui, bien sûr aucun pb pour la 4e ; j'ai bien pensé à ça (j'en ai passé des heures...) : maintenant, du cas général au cas particulier, comment l'appliquer à mon dessin des allumettes ? Voilà pourquoi, je privilégie [BC]...
Je sais, je suis ch... ;-)

@+

gprbx · 09-01-2011 20:35:00

Bonsoir,

Bien, BC est privilégié et on constate qu'il y a 2 points, M et M' qui conviendraient une fois construit comme sur le post #1.
Pour lever le doute, sans rien déranger d'autre, il sufit de dire : Soit P le milieu de AC matérialisé par les extrémité des allumettes 1 et 2, tranportons les allumettes 3 et 4 vers P et M ou vers P et M'. Il n'y a plus de doute alors sur lequel convient, de M ou M' et c'est dans le prolongement même de l'exercice ?

A+ Cordialement : gprbx

gprbx · 10-01-2011 10:26:40

Bonjour,

@yoshi Post#12

Etant donné un triangle ABC et N le milieu de [BC], on trace l'arc de cercle de centre N et de rayon AC/2 qui recoupe [AB] en deux points M et M' (dans l'ordre A, M, M', B)

Prendre une distance depuis le point N, C'est déjà une initiation au principe du GPS (dont les enfants ont peut-être déjà entendu parler...), et on sait qu'il y faut au moins un autre point d'observation (plusieurs dans l'espace) pour lever les doutes sur la position.
Bien sûr pour le GPS la distance c'est la mesure d'un temps, mais [distance = vitesse x temps] est sans doute connu en 4ème. Sans parler des corrections relativistes, encore qu'à cet age j'entendais mon père parler de la relativité comme n'étant connue que des grands savants, ce qui excitait d'autant plus ma curiosité...

En espérant que ma digression ne vous...pardon, ne t'as pas choqué, mais éveiller, suciter la curiosité chez les enfants me parait un bon outil pédagogique. Point trop n'en faut certes.

A+ cordialement : gprbx

yoshi · 10-01-2011 10:36:55

Re,

Alors là ! ...
Ça ne me serait jamais venu à l'esprit.
J'imagine bien le scenario :
- Comment pouvez-vous être sûr que le milieu est M et non M' ?
- Monsieur (ou Madame) : j'ai prélevé délicatement 2 allumettes et ai vérifié que mon milieu était bien M et non M'...
Rideau... Plus à rien à dire.
Comme il s'agit d'un montage avec des allumettes, c'est vrai qu'à la réflexion, on ne peut pas demander une rigueur extrême : dans le cas de mon dessin, juste s'appuyer sur les théorèmes de la droite des milieux...

Je considère le sujet comme clos.

Merci encore...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 08-01-2011 15:13:42

Faut pas jouer avec les allumettes...

#2 08-01-2011 15:37:58

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#3 08-01-2011 15:53:11

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#4 08-01-2011 17:11:41

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#5 08-01-2011 17:36:26

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#6 08-01-2011 17:51:02

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#7 08-01-2011 17:58:17

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#8 08-01-2011 23:10:04

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#9 08-01-2011 23:14:51

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#10 09-01-2011 00:27:25

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#11 09-01-2011 11:19:14

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#12 09-01-2011 13:02:26

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#13 09-01-2011 13:55:52

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#14 09-01-2011 14:51:33

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#15 09-01-2011 18:59:24

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#16 09-01-2011 19:10:57

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#17 09-01-2011 20:35:00

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#18 10-01-2011 10:26:40

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

#19 10-01-2011 10:36:55

Re : Faut pas jouer avec les allumettes...

Pied de page des forums