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Cédric

Invité

questions suites [Résolu]

Bonjour,
Soit f une fonction continue, strictement croissante sur l'ensemble des réels positifs et de limite 2 en l'infini.
Soit u(n) une suite telle que u(0) est positif et pour tout n, u(n+1) = f(u(n)).
On suppose que u(0) est inférieur ou égal à u(1).

Je peux affirmer que u(n) est croissante (par récurrence).
Je peux affirmer que u(n) est convergente ( car croissante et majorée par max( u(0) ; 2) ) et sa limite est le nombre positif x vérifiant l'égalité f(x)= x (tous les termes sont positifs et par passage à la limite en utilisant la continuité).

Je ne peux pas dire que la limite de u(n) est 2.

Ai-je raison pour tout ?

Merci d'avance,
Cédric

thadrien

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Re : questions suites [Résolu]

A priori, c'est tout bon !

tibo

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Re : questions suites [Résolu]

Yop,

moi j'aurais plutot dis, tout est faux !

enfin j'exagère.
c'est juste le "(Un) croissante" qui me dérange.
J'aimerais bien voir la fameuse démonstration par récurence

Ensuite, je pense qu'il est nécessaire de rajouter que f est strictement négative.
sinon f(Un) n'a plus vraiment de sens.

Et une intuition comme ça, (Un) converge, mais pas vers 2.
En effet, je ne sais pas comment démontrer que (Un) croissante,
mais je peux démontrer que (Un) est soit strictement croissante, soit strictement décroissante
et étant bornée entre 0 et 2, elle converge
Sa limite par contre dépend de f et est beaucoup plus dur à trouver en général

Dernière modification par tibo (04-01-2011 21:11:44)

Fred

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Re : questions suites [Résolu]

La suite [tex](u_n)[/tex] est croissante à cause de l'hypothèse [tex]u_0\leq u_1[/tex]
Si tu itères, tu obtiens [tex]u_1\leq u_2[/tex] et ainsi de suite....(bien sûr, il faut faire une récurrence propre).

Fred.

tibo

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Re : questions suites [Résolu]

Ha certe,
toute mes excuses, je n'avais pas vu cette donnée

Cédric

Invité

Re : questions suites [Résolu]

De plus u(0) est majorée par 2 puisque l'hypothèse u(0)<=u(1) et  u(1)<=2 comme u(1)=f(u(0)).
Cédric