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CirdecA

Invité

Arithmétique Terminale S [Résolu]

Bonsoir,
Voici un exercice que je dois résoudre :
IV Exercice pour les élèves qui font la spécialité mathématiques.
On considère la suite u(n) d'entiers naturels :
u(0) = 14 et u(n+1) = 5 u(n) - 6 pour tout entier naturel n.
1. Quelle conjecture peut –on émettre sur les deux derniers chiffres de u(n) ?
2. Montrer que pour tout entier naturel n, u(n+2)= u(n) [4]
En déduire que pour tout entier naturel k, u(2k) = 2 [4] et u(2k+1) = 0 [4]
3. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2 u(n)= 5^(n+2) +3
b. En déduire que pour tout entier naturel n, 2 u(n)=28 [100].
4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de u(n) , suivant les valeurs de n.
5. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite u(n) est constant. Préciser sa
valeur.

J'ai trouvé toutes les réponses aux 3 premières questions et je coince à la question 4. Je ne vois pas du tout comment montrer ma conjecture : si n est pair, u(n) finit par 14 et si n est impair, u(n) finit par 64.

Toutefois, en essayant de montrer dans un premier temps que u(2k) = 14 [100] par récurrence, je bloque :
pour k=0, on a bien l'égalité puisque 14 = 14 donc 14 = 14 [100]
Supposons l'égalité vraie à l'ordre k et tentons de la démontrer à l'ordre k+1.
On a u(2k+2) = u(2k) [4] et par hypothèse de récurrence, u(2k)= 14 [100]
donc il existe deux entiers naturels A et B tels que u(2k+2) = 14 + 100B + 4A = 14 + 4(25B +1)
mais je ne peux en conclure uniquement que u(2k+2) = 14 [4] (je n'ai pas l'égalité modulo 100)
Merci encore pour votre aide à venir ...
Cédric

Fred

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Re : Arithmétique Terminale S [Résolu]

Bonsoir,

  En réalité, il n'y a pas besoin de faire une récurrence, tu peux le faire directement en utilisant les questions précédentes (mais ce n'est pas facile...)
Voici comment procéder :
On part de 2u(2k)=28 [100]
Ceci signifie que tu peux trouver un entier p tel que :
2u(2k)=28+100p, ou encore u(2k)=14+50p.
Tu distingues alors deux cas :

1er cas : p est pair, p=2m. Alors u(2k)=14+100p, est la propriété est démontrée.

2eme cas : p est impair, p=2m+1.
Alors u(2k)=14+100p+50=64+100p.
Mais alors, u(2k)=8*4+2p*4 et donc u(2k)=0 [4]
Ceci contredit le résultat de la question 2.

C'est bien sûr pareil pour u(2k+1).

Fred.

yoshi

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Re : Arithmétique Terminale S [Résolu]

Bonsir,

1ere idée comme ça :
Tu supposes que la propriété est vraie pour [tex]U_{2k}[/tex] Et tu cherches à montrer l'héritage, à savoir :
[tex]U_{2k+2}\equiv 14\quad[100][/tex], c'est bien ça ?

Bon... [tex]U_{n+2}=5(5U_n-6)-6=25U_n-36[/tex] 
Donc [tex]U_{2k+2}=25U_{2k}-36[/tex]
Et comme [tex]U_{2k}\equiv 14 \quad[100][/tex]
C'est qu'il existe m de [tex]\mathbb {N}[/tex] tel que  [tex]U_{2k}=100m+14[/tex]
D'où [tex]U_{2k+2}=25U_{2k}-36 = 25(100m + 14)-36\;\Leftrightarrow\; U_{2k+2}=2500m+314[/tex]
Et 314 = 300 +14...
D'où
[tex]U_{2k+2}= 100(25m +3)+14[/tex]

@+

[EDIT]
Grillé par Fred qui se passe de la récurrence...
Bien, bien, alors j'aurai quand même apporté ma pierre à l'édifice : ta récurrence !

Dernière modification par yoshi (03-01-2011 22:06:51)

Cédric

Invité

Re : Arithmétique Terminale S [Résolu]

Merci pour vos réponses complètes et claires !!!

Il me reste la question 5.où je souhaiterais démontrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite U est constant égal à 2.

D'après la question 4, les termes de la suite sont tous pairs donc 2 divise u(n) et u(n+1) et il me reste à montrer que u(n)/2 et u(n+1)/2 sont premiers entre eux ou qu'il existe deux entiers p et q tels que p*u(n) + q*u(n) = 2.
Pourriez-vous me donner encore une indication ?
MERCI BEAUCOUP,
Cédric

yoshi

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Re : Arithmétique Terminale S [Résolu]

Re,

Allez, encore juste une idée...
Je vais bien montrer que quel que soit n, il existe p et q tels que [tex]p.U_n+q.U_{n+1=2}[/tex] : il "suffit" de les trouver...
[tex]2U_n=5^{n+2}+3\;\;et\;\;2U_{n+1}=5^{n+3}+3[/tex]
Calculons...
[tex]pU_n+qU_{n+1}=\frac p 2(5^{n+2}+3)+\frac q 2(5^{n+3}+3)\;\Leftrightarrow\;pU_n+qU_{n+1}=\frac{5^{n+2}(p+5q)}{2}+\frac{3(p+q)}{2}[/tex]
Puisque je veux un résultat indépendant de n, je choisis p=-5q...
Que tu reportes dans la deuxième fraction qui devient, elle seule, égale à 2.
Tu en déduis p puis q... Et tu as ta réponse.
Je te  laisses le soin de le faire.

Ça te va ?

@+

[EDIT]

Un éclair subit me frappe : p et q doivent être des relatifs... là, [tex]-\frac 1 3\; et\; \frac 5 3[/tex] sont des rationnels. C'est louche...
Il faut que je voie si on corriger cela en se passant des dénominateurs. Examine ça de ton côté aussi : ce n'est peut-être pas la bonne méthode...

Dernière modification par yoshi (04-01-2011 22:01:52)

yoshi

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Re : Arithmétique Terminale S [Résolu]

Re,

Je crois avoir trouvé
Un est terminé par 14 si n est pair et par 64 s'il est impair...
Donc il existe n tel que Un soit pair et U_{n+1} soit impair.
On a donc, a et b appartenant  à |N, :
[tex]U_n=100a+14\;\;et\;\;U_{n+1}=100b+64[/tex]
D'où :
[tex]\frac{U_n}{2}=50a+7\;\;et\;\;\frac{U_{n+1}}{2}=50b+32[/tex]
Reste maintenant à choisir soigneusement p et q pour vérifier le théorème de Bezout...
[tex]p\frac{U_n}{2}+q\frac{U_{n+1}}{2}=1\;\Leftrightarrow\; p(50a+7)+q(50b+32)=1[/tex]

[tex]p(50a+7)+q(50b+32)=1\;\Leftrightarrow\;50(ap+bq)+7p+32q=1[/tex]
Si ap+bq = 0 et p=23, q=-5, ça colle...

Non ça ne doit pas aller (je ne vais pas y arriver ce soir : c'est le mauvais moment de la journée).
Si je prends U2/=157 et U3/2=782, j'ai a = 3 et b = 15 alors ap+bq = 69-75, ça ne fait pas 0...
ap+bq est une mauvais déduction donc : aucune raison pour ça...

Comment montrer que 50a+7 et 50b+32 sont premiers entre eux ? Je ne dois pas être loin...
Bon, demain sera un autre jour !

Désolé...

Fred

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Re : Arithmétique Terminale S [Résolu]

Bonjour,

  Pour démontrer que le pgcd est 2, tu peux aussi :
1. remarquer que les pgcd possibles sont 2, 3 et 6. En effet, si [tex]d|u_n[/tex] et [tex]d|u_{n+1}[/tex], alors d divise 6 d'après la relation de récurrence.
2.  dire qu'aucun terme de la suite n'est divisible par 3. Si par exemple [tex]u_n[/tex] est divisible par 3, alors de la relation
[tex]u_n=5u_{n-1}-6[/tex], tu tires que [tex]3|5u_{n-1}[/tex], puis par le théorème de Gauss que [tex]3|u_{n-1}[/tex]
De proche en proche (ou par une récurrence descendante, mais je ne sais pas si on formalise cela en TS), tu obtiens que [tex]3|u_0[/tex].
Et ceci n'est pas possible puis qu'on aurait 3|14.

Fred.

yoshi

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Re : Arithmétique Terminale S [Résolu]

Merci ms'sieu,

Après une matinée passée à m'acharner sur la récurrence, je crains que ce ne soit mission impossible...
Si toutefois un esprit éclairé avait la solution par récurrence, je prends...
Voilà l'état de mes recherches qui, pour l'instant, ne m'ont servi à rien...
[tex]U_{2k}=100a+14\;\;et\;\;U_{2k+1}=100b+64[/tex]
On en déduit que b = 5a...
J'ai aussi montré que a était toujours un multiple de 3.
J'ai encore trouvé que (sans démonstration) :
avec  [tex]pU_{2k}+qU_{2k+1}=1[/tex] on a : p=-5*q-2
avec [tex]pU_{2k+1}+qU_{2k+2}=1[/tex] on a : p=-5*q-1
Mais ainsi que déjà dit : je n'ai pas su le prouver, ni l'exploiter...

D'autre part, en fait :
[tex]\frac 1 3 U_n-\frac 5 3qU_{n+1}=2\;\Leftrightarrow\; U_n-5U_{n+1}=6[/tex]
Et on arrive au point de départ de Fred du pgcd de 6, qu'on réduit à 2, après élimination du 3 par raisonnement...
Vrai ou faux ?

Je continue : il ne sera pas dit que j'aurai baissé les bras...

@+

freddy

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Re : Arithmétique Terminale S [Résolu]

Salut !

c'est un joli sujet. Je l'ai fait, mais n'ai pas regardé ce qu'ont écrit Fred et yoshi, donc désolé pour les éventuels doublons.

On considère la suite u(n) d'entiers naturels :
u(0) = 14 et u(n+1) = 5 u(n) - 6 pour tout entier naturel n.
1. Quelle conjecture peut –on émettre sur les deux derniers chiffres de u(n) ?
2. Montrer que pour tout entier naturel n, u(n+2)= u(n) [4]

1 - un rapide calcul sur les 3 - 4 premières valeurs de n montrent qu'on devrait observer 14 - 64 - 14 - 64 ...

2 - [tex]U_{n+2}=4\times (U_{n+1}-1)+U_{n+1}-2 \equiv 4\times (U_n-1)+U_n-4\equiv U_n \pmod 4[/tex]

En déduire que pour tout entier naturel k, u(2k) = 2 [4] et u(2k+1) =0 [4]

Par conséquent, on a [tex]U_{2k+2}\equiv U_{2k}\equiv U_0\equiv 2  \pmod 4[/tex]

et [tex]U_{2k+3}\equiv U_{2k+1}\equiv U_1\equiv 0  \pmod 4[/tex]

3. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2 u(n)= 5^(n+2) +3

1 - Vrai pour n=0.

2 - OK pour le rang n

3. Alors [tex]2U_{n+1}=2\times \left(5\times U_n-6\right)=5\times \left(5^{n+2}+3\right)-12 = 5^{n+1+2}+3[/tex]

Donc vrai pour tout n entier.

b. En déduire que pour tout entier naturel n, 2 u(n)=28 [100].

On en déduit que [tex]\forall n \in N,\;U_n = \left(4+1\right)^n\times 25 + 3 \equiv 25+3 = 28 \pmod {100}[/tex]   puisque [tex]100=4\times 25[/tex]

4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de u(n) , suivant les valeurs de n.

En se servant du résultat ci dessus, on a [tex]U_n \equiv 14 \pmod{50}[/tex]. Par suite, puisque pour n = 0, l'écriture décimale des deux derniers termes = 14 et pour n=1, elle est égale à 64, on en déduit que si n est pair, on a 14, sinon, 64.

5. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite u(n) est constant. Préciser sa
valeur.

Soit [tex]d=U_{n+1}\wedge U_n[/tex]

Ceci s'écrit aussi :

[tex]\exists Q,\,Q' \in N^2 \; \text{tq} U_{n+1}=dQ'=5dQ-6 \Leftrightarrow 5dQ-dQ'=2\times 3[/tex]

On en déduit que d divise 6. Comme d ne peut être égal à 3, il est donc = 2.

Have fun.

Dernière modification par freddy (05-01-2011 17:17:17)

yoshi

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Re : Arithmétique Terminale S [Résolu]

Bonsoir,

Il faut privilégier les solutions de Fred et celle de freddy...
Mais je me suis obstiné :
Je ne ferai donc qu'une moitié parce que c'est affreusement calculatoire...
Si n est pair, alors :
[tex]U_n=100a+14[/tex]
[tex]U_{n+1}=100b+64=5U_n-6=5(100a+14)-6[/tex] d'où [tex]U_{n+1}=500a+64[/tex]
On a donc b=5a
Je cherche donc p et q tels que :
[tex]p(100a+14)+q(500a+64)=2[/tex]
J'arrive à :
[tex]50a(p+5q)+7p+32q=1[/tex]
En posant p=-q-2
Je trouve
[tex]q=-\frac{100a+15}{3}[/tex]
Or, j'ai pu montrer que a est multiple de 3, donc q est entier...
J'ai donc [/tex] p=\frac{500a+69}{3}[/tex]

Donc en résumé, que :
quel que soit n pair, [tex]U_n=100+14[/tex],
en prenant [tex]p = \frac{500a+69}{3},\;q=-\frac{100a+15}{3}[/tex] p et q sont des entiers relatifs,
et on a :
[tex]pU_n+qU_{n+1}=2[/tex] donc que 2 est le pgcd de Un et U_{n+1} quel que soit n pair...

Vérification :
U2 = 314 = 100*3+14 d'où a = 3
Et j'ai
157*523 + 782*(-105) = 1 (je dispose d'un ch'ti programme en Python qui m'a calculé les coeff. de Bezout)
p=(500*3+69)/3 = 523...

Maintenant si quelqu'un peut montrer par récurrence que ce pgcd est 2, je suis preneur...
Avis aux amateurs...

@+

Fred

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Re : Arithmétique Terminale S [Résolu]

Salut !

c'est un joli sujet.

Tu l'as dit. Sans doute difficile pour une TS (j'ai bien envie de le poser à mes étudiants pour voir...).

A+
Fred.

freddy

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Re : Arithmétique Terminale S [Résolu]

Salut Fred,

moi, je l'aurais posé sans hésiter à mes "épiciers", car il s'enchaîne drôlement bien !

Chapeau au prof qui l'a imaginé, c'est de la belle ouvrage.

Dis nous si tes étudiants l'ont apprécié, à l'occasion !

Je m'étais inspiré d"un sujet d'optimisation posé par un internaute (et auquel j'avais répondu quand j'avais fini par le comprendre), mes élèves ingénieurs ont bien "souffert", mais finalement"goûté"!!!

Bb

Dernière modification par freddy (05-01-2011 22:48:19)