Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

yoshi · 02-01-2011 12:19:58

Bonjour,

Le petit problème de Schmitt m'en a rappelé un, tout aussi intéressant.
On considère un angle aigu quelconque [tex]\widehat{xOy}[/tex].
A l'intérieur du secteur angulaire ([Ox,[Oy), placer un point M quelconque n'appartenant pas à la bissectrice de [tex]\widehat{xOy}[/tex].
En utilisant un compas, un crayon à papier (voire une gomme) ou un stylo, une règle et une équerre non graduées, construire les points [tex]A\,\in\,[Ox[/tex] et [tex]B\,\in\,[Oy[/tex] tels que M soit le milieu du segment [AB].

@+

jpp · 02-01-2011 17:16:37

BONJOUR
Voilà je projette M sur Oy en H . j'ai donc MH normal à Oy . puis je trace K le point symetrique
de H / K . on a donc M milieu de HK .
OM est donc mediane du triangle rectangle OHK mais aussi mediane du triangle OAB que l'on
cherche.
ensuite je trace la mediane KI du triangle rectangle OHK . Elle coupe OM en G qui se trouve etre
le centre de gravité des 2 triangles .
J'abaisse la normale GL issue de G sur Oy .
Par application de THALES on peut affirmer que le point A se situe sur la parallele à Oy distante
de 3 x GL de celle ci . On trace cette parallele qui coupe Ox en A le 1er point puis on prolonge
AM qui coupe Oy en B le second point.
Je pense pouvoir le faire avec une règle et un compas.

nerosson · 02-01-2011 17:24:24

Salut à tous,

C'est toujours la même chose : les systèmes de notations mathématiques ont changé depuis les années trente, ce qui fait que je suis obligé de deviner l'énoncé.

J'interprète comme suit ta dernière phrase : trouver un segment AB, tel que :
a) A soit sur la ligne Ox,
b) B soit sur la ligne Oy
c)M soit au milieu de AB.

Sur ce bases, (tu fais la figure à mesure) :
Avec l'équerre, je trace le segment MN perpendiculaire à Oy
Avec le compas je prolonge NM d'un segment MP égal à NM.
Je récapitule : a partir de la ligne Oy, j'ai le segment perpendiculaire NMP (NM =MP).
A partir de P je trace avec l'équerre la parallèle à Oy qui coupe 0x en A
Avec le compas , je prolonge AP d'une longueur égale, obtenant le point Q . Dans le segment APQ, AP = PQ
De A et de Q, j'abaisse sur Oy les segments perpendiculaires AR et QB.
J'ai maintenant un rectangle AQBR dont M est le centre et dont AB est une diagonale dont M est par conséquent le milieu.

P.S. Ma réponse a été faite sans connaître celle de JPP, que je n'ai vue qu'au moment du "copier" de la mienne.

Dernière modification par nerosson (02-01-2011 17:28:24)

gprbx · 02-01-2011 19:43:13

Bonsoir,

Je relis l'énoncé et les solutions ci-dessus. il me semble que les contructions peuvent être plus simples.

Dans l'énoncé : Pourquoi exclure M de la bissectrice de l'angle xOy?

Dans les solutions : Pourquoi vouloir une perpendiculaire abaissée de M sur Oy ?

Une droite quelconque passant par M et coupant Oy en N. Un point P symétrique de N par rapport à M.
La droite parrallèle à Oy et passant par P coupe Ox en A. B est le point d'intersection de AM avec Oy.
les triangles APM et BNM sont en effet égaux car MP=MN, cotés compris entre 2 angles égaux : les angles APM et BNM sont alternes-internes et les angles PMA et NMB sont opposés par le sommet. Donc AM = BM

A+ : gprbx

yoshi · 02-01-2011 20:09:14

Re,

Si je veux jouer aux Echecs (ce que je fais), je m'en vais pas contester en disant :
Et pourquoi le Cavalier se déplace de cette façon ?
Et pourquoi le pion ne peut prendre qu'en diagonale ?
Non, j'accepte les règles et je vais jouer...
Là, M n'est pas sur la bissectrice, point-barre, non négociable... ;-)

Je n'ai pas encore lu vos solutions, mais j'en ai 3 :
- Une, très emberlificotée à base de perpendiculaires, comme d'hab la première que j'ai trouvée ;-)
- Les deux autres très voisines, me sont venues après m'être eng... : m'enfin, toujours à chercher des trucs tordus, y a sûrement plus simple... J'ai acqiuescé, j'ai cherché et trouvé les 2 dans la foulée en moins de 5 min et en me demandant pourquoi je ne les avais pas vues du 1er coup :-(

C'est un exo très intéressant pour des 4e (en dessous, c'est impossible à faire).

Ah, SVP, pour les Collégiens et Lycéens qui vous lisent et qu'on houspille sans arrêt pour ça, essayez de respecter les notations :
[AB] : segment
(AB) : droite
[AB) ou [BA) demi-droites
AB : longueur du segment [AB]
A noter que [tex]\overline{AB}[/tex] a disparu des programmes...

Je lis et reposte...

@+

Tiens, ça répond aux doléances du sieur nerosson

Dernière modification par yoshi (02-01-2011 21:37:41)

yoshi · 02-01-2011 21:21:41

Re,

jpp va finir par croire que je lui en veux...

je projette M sur Oy en H . j'ai donc MH normal à Oy . puis je trace K le point symetrique de H / K

* Tu veux sûrement dire symétrique de H par rapport à M ?
* "Normal" : c'est du langage de mécanicien ? Les matheux parlent de perpendiculaires, voire dans l'espace de droites orthogonales (quand elles ne sont pas dans un même plan et de directions perpendiculaires)... En réfléchissant à un peu on parle de vecteur "normal" (ça peut s'expliquer) à une droite ou à un plan, mais c'est bientout

ensuite je trace la mediane KI du triangle rectangle OHK . Elle coupe OM en G qui se trouve etre le centre de gravité des 2 triangles.

Ça n'est ni immédiat ni évident : j'ai fait un dessin pour le vérifier (je viens de faire 250 km avec des bouchons, ceci explique peut-être cela)...
La géométrie est un art exigeant.
Je ne vais pas plus loin dans ton explication, tant que tu ne fournis pas une démonstration (en regardant le dessin, ça ne me donne pas envie de chercher... mais je le ferai quand même plus tard) pour OAB (pour OHK aucun pb).
nerosson disant que son explication est la même, je passe à celle de de gprbx...
(NDLR ! Nan, pas tout à fait : je verrai demain alors...)

C'est bon et avec la justification...
Je n'avais trouvé ni l'une ni l'autre parce que moi je cherchais à l'époque au niveau 4e...
Pour trouver les triangles égaux dans un programme de 4e, il faut remonter à celui de 1956...
Ils sont ressortis en Lycée maintenant avec les triangles semblables...
Au fait gprbx, t'as oublié ? A l'époque, on disait
Les triangles sont égaux d'après le 1er cas d'égalité des triangles. Donc leurs éléments homologues sont égaux et en particulier MA = MB.

Bon, il y a plus simple : symétrie, triangles égaux, médianes, centre de gravité... tout ça aux orties...!!!
Mes 2 démonstrations jumelles s'appuient sur un seul et unique théorème chaque fois...

@+

[EDIT]

gprbx a écrit :

Dans l'énoncé : Pourquoi exclure M de la bissectrice de l'angle [tex]\widehat{xOy}[/tex] ?

Allez, je réponds quand même...
1. Parce c'est un cas particulier et que dans ce cas il suffit de tracer la perpendiculaire en M à la bissectrice, et qu'il n'y a plus de recherche,
2. Parce que les mômes vont vers ce qui les arrangent (et que l'exo était pour eux)
Dans un énoncé de 4e, on conçoit un problème sur ce thème avec un triangle quelconque.
Et si on a le malheur d'oublier l'adjectif, alors qu'il est entendu que s'il n'est pas quelconque on apporte la précision, paf 2 fois sur 3, ils le prennent particulier, se basent dessus pour leur démo et sont surpris qu'elle soit refusée...
Donc, c'est aussi pour être sûr qu'on ne se retrouve pas dans ce cas.

Dernière modification par yoshi (02-01-2011 21:31:08)

yoshi · 03-01-2011 09:55:25

Re,

La voilà la démonstration :
Le point G étant l'intersection de deux médianes [OM] et [KI] du triangle OHK, il en est donc le centre de gravité.
Le point G est donc placé aux 2/3 de la longueur OM de la médiane [OM] à partir du sommet O.
Considérons le triangle OAB.
Par construction, M est le milieu de [AB], donc [OM] est une médiane de ce triangle.
Or, on a montré que le point G de cette médiane [OM] est tel que OG = 2/3 OM, il est donc aussi le Centre de Gravité du triangle OAB...

C'était simple (ça rallonge quand même la sauce), mais hier soir, je n'étais pas en état...

Petites précisions (pour que vous puissiez mesurer l'évolution) pour le Collège
* Médiatrices et cercles : 5e :
* Symétries : axiale (6e), centrale 5e liée à l'étude du parallélogramme
* Droites remarquables du triangle : 4e
* Le mot orthocentre ne fait plus partie des savoirs exigibles
* La propriété des médianes utilisée ci-dessus non plus
* Le "théorème de Thalès" s'aborde en 4e comme application de la proportionnalité des longueurs :
trouver la 4e longueur, connaissant les 3 autres (pas d'utilisation de la réciproque).
* Formellisation du théorème et réciproque : 3e
Mais les mesures algébriques ayant été évacuées, la réciproque s'utilise moyennant un petit tour de "passe-passe".
En effet, pour sa validité, il faut énumérer les points et préciser qu'ils sont placés dans le même ordre...
Pour que ce ne soit pas une entorse à la règle que "je vois que" n'est pas autorisé, on se débrouille pour que l'ordre soit explicite dans l'énoncé.
* Ce théorème est précédé d'un cas particulier : l'étude et l'utilisation des théorèmes dits "de la droite des milieux" ;-)
Pourquoi ce clin d'oeil ? (Cherchez bien, il a un rapport avec le sujet)
* Cosinus 4e (en tant que "rapport de projection", quand bien même les projections ont aussi disparu des programmes)
* Sinus + tangente 3e
* Angles incrit et au Centre : 3e
* Translations en tant que déplacements et vecteurs (en tant que conteneur des infos des déplacements 4e :
Reproductions de vecteurs égaux sur papier quadrillé ou pointé.
Colinearité évacuée (2nde),
Sommes de vecteurs oui, mais multiplication d'un vecteur par un nombre --> 2nde
* Equations de droites 3e : mais pas d'existence propre. Liées aux fonctions affines en tant que représentations graphiques.
Conditions de parallélisme et d'orthogonalité --> 2nde

Questions ?

@+

gprbx · 03-01-2011 11:10:32

Bonjour,

D'abord je suis aussi capable d'en mettre une tartine sur la façon de voir l'enseignement.
Ensuite plus les idées sont simples et exposées simplement, meilleur c'est.
Encore, s'il vaut mieux que les notations des segments, droites, angles etc. facilitent la communication, il ne faut pas en faire un empêchement : Les étudiants vont rencontrer de multiples façons de s'exprimer (livres, professeurs, à l'étranger...) et la souplesse d'esprit vaut mieux que le monolithisme.

Je ne pense pas que la rigueur mathématique , et la beauté des mathématiques résident dans ce que vous dites

Maintenant, dans ce Forum qui est le vôtre, il me semble qu'il faut rester clair et compréhensible sans que ce soit de la façon dont votre classe pourrait être dirigée

Je n'ai pas d'autre question sur cet échange, sauf que je serais triste si les collégiens apprenaient qu'il n'y a que deux angles droits avec une équerre pour pouvoir tracer une parallèle...

A+ en toute sympathie : gprbx (j'ai corrigé 2 fautes d'orthographe)

Dernière modification par gprbx (03-01-2011 11:16:03)

gprbx · 03-01-2011 11:44:14

Bonjour,

Je reviens sur l'exemple de yoshi qui a écrit

A l'intérieur du secteur angulaire ([Ox,[Oy), placer un point M quelconque n'appartenant pas à la bissectrice de [tex]\widehat{xOy}[/tex].

Si un élève pensait pouvoir prendre M sur la bissectrice (et se servir de la bissectrice dans son raisonnement) alors qu'on lui dit que M est "quelconque", ce serait une bonne façon de lui demander comment il comprend sa langue.
Je n'insiste pas sur l'idée que ne pas citer la bissectrice dans l'énoncé pourrait aussi permettre à certains (des plus doués, certes) de dire : et si M est sur la bissectrice, je trace directement la perpendiculaire...

J'ai eu un prof qui, après le corrigé, nous montrait ainsi les cas particuliers que nous n'avions pas toujours remarqués !

gprbx · 03-01-2011 12:02:05

re,

yoshi a écrit :

Au fait gprbx, t'as oublié ? A l'époque, on disait
Les triangles sont égaux d'après le 1er cas d'égalité des triangles. Donc leurs éléments homologues sont égaux et en particulier MA = MB.

justement je n'ai pas oublié : l'époque c'était jusqu'en 1970
et j'ai utilisé, non pas le 1er cas (coté, angle, coté, SAS dit la littérature aux USA) mais
- 2ème cas : deux triangles ayant un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux sont égaux.

Je reconnais que cette remarque est un peu déplacée maintenant
A+ cordialement : gprbx

yoshi · 03-01-2011 13:47:05

Re,

et j'ai utilisé, non pas le 1er cas (coté, angle, coté, SAS dit la littérature aux USA) mais
- 2ème cas : deux triangles ayant un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux sont égaux.

Désolé !
On a les références que l'on peut : moi SAS ça ne m'évoque que certaine littérature de quai de Gare...
J'avais retenu, non pas SAS, mais 1 2 3 : 1 côté 2 côtés 3 côtés, hier j'ai bien pensé qu'on me sauterait dessus si je me trompais, et ça n'a pas loupé ;-)
Malgré les bouchons (pas de Champ' hein) qui m'avaient un peu embrouillé l'esprit, ajouté à cela le sujet posé par police lequel jouait dangereusement avec mes nerfs...
Bref, je ne devais pas me tromper...

Je reconnais que cette remarque est un peu déplacée maintenant

Tout à fait !

Arithmétique et Géométrie 5e. MM Lebossé & Hemery p .169 - programme du 12 août 1957 (un an de moins qu'annoncé) :

3e cas (qui venait donc en 4e) : 3 côtés égaux, et on était obligés d'ajouter "chacun à chacun" : je n'ai pas oublié...
Ptêt qu'aux States, ils les classent autrement...
------------------------------------------------------------
Une solution simple est donc :
Depuis le point M, on trace la parallèle à [Oy qui coupe [Ox en I.
Dans le triangle AOB, la droite (MI) passe par le milieu M du côté [AB], parallèlement au côté [OB]., coupe donc le 3e côté [OA] en son milieu.
I est donc le milieu de [OA].
Depuis le point I, avec le compas (seule utilité : règle et équerre étant non graduées), je reporte sur [Ox une longueur IA égale à IO et j'obtiens le point A. L'intersection de (AM) et de [Oy est le point B cherché.

--------------------------------------------------------------------

je serais triste si les collégiens apprenaient qu'il n'y a que deux angles droits avec une équerre pour pouvoir tracer une parallèle.

Désolé, je ne comprends pas l'allusion...
En 6e, on apprend effectivement à tracer la parallèle à une droite passant par un point extérieur à cette droite avec usage combiné d'une règle et d'une équerre (ce qui ne va pas sans mal, d'ailleurs).
Mais ce n'est pas de ça dont tu parles, je pense...

Cordialement,

@+

D'abord je suis aussi capable d'en mettre une tartine sur la façon de voir l'enseignement.

Dans cette discussion, si c'est à elle que tu fais allusion, je n'ai pas écrit une tartine etc...
J'ai listé vite fait les éléments de programme de Géométrie (en débordant sur l'analytique) afin que vous puissiez mieux cerner les évolutions...

Le seul endroit où j'ai tartiné à ce sujet est dans le "Café mathématique" - Discussion de tibo : "Devenir prof (de maths)", si c'est à ça que tu fais allusion, qu'est-ce que ça vient faire ici ?
Tu veux débattre sur le sujet ? Volontiers ! Discussion à ouvrir dans le "Café mathématique" donc...

gprbx · 03-01-2011 14:47:46

Re-bonjour
A yoshi : Je suis tout autant sûr de mes références et de mes souvenirs. Mais je peux arrêter de placer des remarques sur ce Forum si elles sont par trop dérangeantes plutôt qu'enrichissantes.

http://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/CA047.htm
Les énoncés ci-dessous sont donnés sous la forme sous laquelle ils étaient enseignés jusqu'en 1970 dans le premier cycle de l'enseignement français :
- 1er cas : deux triangles ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux sont égaux.
- 2ème cas : deux triangles ayant un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux sont égaux.
- 3ème cas : deux triangles ayant respectivement leurs trois côtés égaux sont égaux.
Note : (SAS en américain veut dire "Side Angle Side" C'est ce premier cas qui entraîne les autres)

Et aussi :
http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA01039.htm
…Les nouveaux programmes de 2nde, mis en place à la rentrée 2000, ont réintroduit les cas d'égalité des triangles et les triangles de même forme….

Je sais bien qu'il faut être prudent avec ce qu'on trouve sur Internet, mais c'est un outil extra pour rafraîchir ses connaissances.
A+ : gprbx

gprbx · 03-01-2011 16:09:58

re-,

yoshi a écrit :

Une solution simple est donc :
Depuis le point M, on trace la parallèle à [Oy qui coupe [Ox en I.
Dans le triangle AOB, la droite (MI) passe par le milieu M du côté [AB], parallèlement au côté [OB]., coupe donc le 3e côté [OA] en son milieu.
I est donc le milieu de [OA].
Depuis le point I, avec le compas (seule utilité : règle et équerre étant non graduées), je reporte sur [Ox une longueur IA égale à IO et j'obtiens le point A. L'intersection de (AM) et de [Oy est le point B cherché.

Absolument d'accord, la solution est une des plus simples.
mais le problème posé suppose aussi de savoir construire la parallèle à Oy depuis le point M.(votre 2ème ligne)
J'ai cru comprendre, d'après les deux premières solutions exposées, que c'était l'équerre avec son angle droit qui était utilisée pour construire une parallèle.
Je faisais donc allusion à la construction habituelle, avec règle et compas, qui n'oblige pas à disposer d'une équerre...
Peut-être encore une différence de compréhension du niveau auquel cet énigme s'adresse ?

A+ :gprbx

yoshi · 03-01-2011 16:17:57

Re,

En utilisant un compas, un crayon à papier (voire une gomme) ou un stylo, une règle et une équerre non graduées,

Les instructions étaient claires et précises.
J'ai aussi écrit (mais est-ce bien moi ? Et non quelqu'un qui me souffle mes répliques ?) que le tracé avec Règle et équerre était connu depuis la 6e.
Mais, oui, on apprend aussi à utiliser le compas pour tracer des parallèles...
-----------------------------
Référence Publirem :
mon image est-elle un faux ?

Autre référence (Mêmes auteurs - Ed Nathan 1950), je ne vais pas lui piquer son image :
http://serge.mehl.free.fr/anx/geo_euclide.html
Son image aussi serait-t-elle un faux ?

(NDLR : je viens d'écrire à l'IREM
Via cette référence, je passe pour un affabulateur, voire pire.
Oui, je prends ça - très - au sérieux : ça m'est difficilement supportable...
Le webmestre a répondu : transmission de mon message a été faite à l'auteur de l'article cité)

Maintenant, souffrez, ô pic de la mirandole du XXIe s, que je cesse de souiller votre espace vital par ma présence d'incompétent maintenant démasqué...

@-

[EDIT]

Sujet fermé
Yoshi
- Modérateur -

Dernière modification par yoshi (03-01-2011 18:47:55)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 02-01-2011 12:19:58

Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#2 02-01-2011 17:16:37

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#3 02-01-2011 17:24:24

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#4 02-01-2011 19:43:13

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#5 02-01-2011 20:09:14

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#6 02-01-2011 21:21:41

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#7 03-01-2011 09:55:25

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#8 03-01-2011 11:10:32

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#9 03-01-2011 11:44:14

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#10 03-01-2011 12:02:05

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#11 03-01-2011 13:47:05

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#12 03-01-2011 14:47:46

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#13 03-01-2011 16:09:58

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

#14 03-01-2011 16:17:57

Re : Autre problème de géométrie "ouvert" (1)...

Pied de page des forums