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#1 01-01-2011 23:25:32
- Bahit
- Invité
Densité de D(R^p) dans L^p
Salut,
Est-ce que qlq 1 peut me donner la démonstration de ce résultat
" D(R^p) est dense dans L^p "???
#3 02-01-2011 12:16:16
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
- Messages : 1 097
Re : Densité de D(R^p) dans L^p
Salut,
avec les notations que j'utilise (qui ne sont pas forcement usuelles), ça donne:
Montrer que l'ensemble des fonctions différentiables sur [tex]\mathbb{R}^p[/tex] dense dans l'ensemble des fonctions dont la puissance p-ième est intégrable, au sens de Lebesgue.
mais la ça me pose un pb parce que les fonctions de Lp sont définient sur R et non sur Rp. ça doit se généraliser facilement mais je connais pas.
Hors ligne
#4 02-01-2011 14:59:29
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Densité de D(R^p) dans L^p
Bonjour,
[tex]\mathcal D(\mathbb R^p)[/tex] désigne souvent l'ensemble des fonctions [tex]C^\infty[/tex] et à support compact.
Pour démontrer la densité de cet ensemble (qui est plus petit que celui suggéré par Tibo) dans [tex]L^p(\mathbb R^p)[/tex], il faut en général procéder en deux étapes.
1. On démontre la densité des fonctions continues à support compact.
2. On utilise le produit de convolution et une suite régularisante pour passer des fonctions continues aux fonctions indéfiniment dérivables.
Tu trouveras une démonstration complète dans n'importe quel livre d'intégration de niveau L3/M1.
Le fait de travailler sur [tex]\mathbb R[/tex] ou sur [tex]\mathbb R^p[/tex] ne change presque rien.
Fred.
Hors ligne
#5 02-01-2011 19:44:47
- Bahit
- Invité
Re : Densité de D(R^p) dans L^p
Bonsoir,
Est-ce que vous pouver m'indiquer là où il y a la démonstration?
Merci
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