Forum de mathématiques - Bibm@th.net

franklino

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sous le même angle

<<En quels points de l’espace peut-on voir la lune et la terre sous le même angle ? »

freddy

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Re : sous le même angle

Sous l'angle alpha que tu cherchais l'autre jour.

Ça t'arrive de répondre aux questions que tu poses, toto ?

nerosson

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Re : sous le même angle

Salut à tous,

Une réponse comme ça, au débotté, au pif et à peu près :

Il est évident qu'il y a un  point ENTRE la terre et la lune d'où on voit les deux sous le même angle.
Je me suis fait un petit croquis qui me donne deux triangles semblables, l'un ayant pour base le diamètre lunaire et l'autre le diamètre terrestre, ce qui me fait penser que les distances de ce point par rapport au centre de la terre et au centre de la lune sont dans le même rapport que le diamètre terrestre et le diamètre lunaire, la SOMME de ces deux distances étant la distance terre - lune. Il y a un autre point, AU DELA de la lune où les distances sont dans le même rapport, mais la DIFFERENCE de ces deux distances étant la  distance terre-lune .

Dans le genre approximatif, je crois qu'on peut difficilement faire mieux.

Mais tu dis "les points" donc la question est "quel est le lieu géométrique des points d' où...etc".

Etant donné que j'ai trouvé un point d'un côté de la lune et un autre de l'autre, je subodore (toujours le pif) que ce lieu doit avoir la forme de ce qu'on appelle (je crois) un "ellipsoïde de révolution". Au cas où ça ne serait pas  le mot juste, je veux dire un oeuf dont les deux bouts auraient la même courbure.
Mais je pense que la réponse très précise doit être d'une difficulté inextricable, car j'attire l'attention des matheux de haut vol sur le fait que lorsqu'on regarde la terre, ce qu'on voit n'est pas une hémisphère, mais une portion plus petite (à moins de se placer à l'infini).

Messieurs les super-matheux, à vos calculs et ne soyez pas trop sévères avec moi : ne tirez pas sur le pianiste, il fait ce qu'il peut !

P.S. Autre question : quand une poule pond un oeuf , qu'est-ce qui sort en premier : le gros bout ou le petit bout ?

Dernière modification par nerosson (13-03-2010 18:26:18)

Roro

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Re : sous le même angle

Bonsoir,

Nerosson a un bon pif : l'ensemble des points de l'espace que Franklino cherche est effectivement un ellipsoïde de révolution, et ce n'est pas très difficile à démontrer.
Voici une façon de procéder (il y a peut être une façon plus élégante de procéder).

Etape 1 : Se convaincre que le problème admet une invariance par rotation autour de l'axe Terre-Lune : on se ramène à un problème dans un plan.
Etape 2 : On définit un repère orthogonal du plan en prenant comme origine la Terre, et comme point de coordonnée (1,0) la Lune.
Etape 3 : L'angle A sous lequel vous voyez la terre (de rayon [tex]R[/tex]) depuis un point de coordonnées (x,y) (hors de la terre) satisfait
[tex]\sin(A/2) = \frac{R}{\sqrt{x^2+y^2}}.[/tex].
Etape  4 : L'angle B sous lequel vous voyez la lune (de rayon [tex]r[/tex]) depuis ce même point de coordonnées (x,y) (hors de la lune) satisfait
[tex]\sin(B/2) = \frac{r}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}.[/tex].
Etape 5 : Les deux angles en question étant compris entre [tex]0[/tex] et [tex]\pi[/tex], dire qu'ils sont égaux est équivalent à dire que [tex]\sin(A/2) = \sin(B/2)[/tex].
Etape 6 : Mélanger ce qui est écrit au dessus et obtenir :
[tex](x-\delta)^2+y^2 = \left( \frac{r}{R}\delta \right)^2[/tex]
où [tex]\delta = \frac{1}{1-(r/R)^2}[/tex].

L'équation ci-dessus n'est rien d'autre que celle d'une ellipse : faite tourner l'axe Terre-Lune et vous obtenez l'oeuf de Nerosson...

Roro.

P.S. N'hésitez pas à refaire les calculs, ils sont sans doute faux...
P.P.S. Remarquer qu'en pratique [tex]\delta[/tex] est très proche de [tex]1[/tex] : l'ellipsoïde est presque une sphère collée à la lune !

Dernière modification par Roro (13-03-2010 21:52:57)

Roro

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Re : sous le même angle

Bonjour,

Une autre petite remarque : il semblerait que l'oeuf de Nerosson soit une simple sphère...

Roro.

nerosson

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Re : sous le même angle

Salut,
Il y avait l' oeuf de Colomb, maintenant, il y a l' oeuf de Nérosson. Je suis en pleine ascension sociale ! !

jpp

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Re : sous le même angle

salut 

           on considere un cercle passant par le centre de la terre et le centre de la lune donc de diamètre
           superieur ou egal à la distance terre lune .
           On peut donc affirmer que pour tout point M situé sur le grand arc TML  , l'angle inscrit TML
           reste invariant.
           Le point M peut donc se situer sur la surface de révolution d'axe TL engendrée par l'arc TL .
           Ca peut donc etre une sphere de diamètre TL ou une surface torique sans trou.

Dernière modification par jpp (01-01-2011 16:30:30)