Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tibo

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Jeu des miroirs de Nerosson

Yop,

Suite aux élucubrations de notre vieil ami, une énigme forte intéressante en est ressorti.

Un professeur de mathématiques situé à 1km d'altitude souhaite s'éclairer le dos (houla, ça commence bien).
Pour cela il a à sa disposition un rayon (parfait, dont la lumière ne s'atténue jamais) et des miroirs parallèles à la surface terrestre à une altitude d'1km.
Il posséde autant de miroirs qu'il veut, et peut les placer ou il veut sur la surface terrestre.
La Terre est une spère parfaite, de rayon 6400km, sans aspérités.
En fait, le rayon doit faire le tour de la Terre.
Combien de miroirs peut-on utiliser au minimum?

Généralisation:
Le prof et les miroirs sont à une hauteur h.
Exprimer le nombre minimum de miroirs à utiliser en fonction de h.

PS : Yoshi, on ralait sur les approximations des physiciens, enfin surtout moi, mais niveau approximation et surtout exercices tout à fait réalistes, les mathématiciens font pas mal non?

jpp

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Re : Jeu des miroirs de Nerosson

bonjour.  je viens de m inscrire.  Et pour essayer de donner une reponse au jeu des miroirs de nerosson

le rayon parcourt un polygone dont notre professeur occupe un des sommets et tous les miroirs les autres sommets  .
ainsi comme le rayon doit au pire tangenter la surface de la terre et que l angle entre 2 miroirs s ecrit
2x arccos(6400/6401)=2.02557    puis 360/20.02557=177.7   donne 178 pour entier superieur auquel on soustrait 1 ( la place du prof.)  je pense donc installer 177 miroirs

Dernière modification par jpp (31-12-2010 16:49:54)

nerosson

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Re : Jeu des miroirs de Nerosson

J'avais fait une solution  qui, en s'appuyant sur le théorème de Pythagore, me permettait de connaître  la distance maxima en ligne droite entre deux miroirs. Ensuite, en comparant avec la longueur de la circonférence terrestre, j'obtenais ,le nombre de miroirs. J'obtenais le même nombre que JPP.

Je me suis ensuite aperçu à temps que mon raisonnement boitait : le périmètre du polygone formé par les miroirs (et l'observateur) n'était pas identique au périmètre de la terre. J'ai pensé alors qu'il fallait raisonner sur l'angle formé au centre de la terre par deux miroirs consécutifs. Si je l'ai bien compris, c'est ce qu'a fait JPP. Pour moi, c'était marqué défendu parce que, s'il y a une branche des mathématiques que j'ai totalement oubliée, c'est bien la trigo.

Je voudrais également faire observer que la distance maxima possible entre deux miroirs ne sera pas celle à employer, parce que la distance entre le dernier miroir et l'observateur devra être égale  à celle séparant deux miroirs consécutifs.

Si notre modo ferox veut bien me permettre de diverger UN TOUT PETIT PEU vers la physique : que se passe-t-il si on remplace l'observateur par un 178 ème miroir et qu'on émet dans le polygone un rayon laser parfait ?

Que se passe-t-il si, sur le parcours polygonal du rayon laser, on interpose, pendant un centième de seconde, un obstacle sur le parcours polygonal ?

pas glop

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Re : Jeu des miroirs de Nerosson

salut,

un rayon laser parfait, c'est un train d'onde de longueur infinie en principe (sinon il n'est pas vraiment monochromatique il me semble). Si le faisceau est assez long, il se recouvre et ça fait des interférences qui peuvent être constructives ou destructives. ça va dépendre du nombre de miroir et de la longueur d'onde.

En revanche, si le faisceau a une longueur finie, pas forcément d'interférence. Mais il devient possible de mettre/enlever un obstacle pendant que le faisceau est ailleurs. Le faisceau fait le tour de la Terre en 0.13 secondes environ.

A propos d'obstacle, on pourrait remplacer les miroirs par des nuages qui déviraient le faisceau. Le faisceau fait le tour de la Terre "tout seul" si l'atmosphère est considérée comme un milieu à indice variable. Un peu comme si on avait une fibre optique qui fait le tour de la Terre. La trajectoire du rayon est la courbe C qui minimise [tex]\int_C n(s)ds[/tex] avec n l'indice du milieu. On peut choisir [tex]n(z)=n_0+n_1\left(\frac{z}{6401}-1\right)^2[/tex] par exemple... Je vais essayer de voir si ça marche en choisissant bien les paramètres.

nerosson

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Re : Jeu des miroirs de Nerosson

Merci, Pas Glop,

je croyais avoir posé deux questions toutes simples. Je m'aperçois que c'est beaucoup plus compliqué que ça !

pas glop

Invité

Re : Jeu des miroirs de Nerosson

C'est vrai que ma réponse était un peu longue et brouillonne. C'est lié au rayon laser parfait : ok, on n'a pas d'atténuation, mais le rayon est-il étendu ? On peut imaginer que le rayon soit très localisé ou très étendu en espace. La réponse à tes questions dépend du rayon laser "physique"...

Dans tous les cas, en remplaçant le professeur par un miroir, le rayon laser va tourner en rond. Possibilité d'interférences s'il est très long.

Avec un obstacle, il est possible de détruire le rayon. Un photon faisant le tour de la Terre en un peu plus de 0.13 secondes, mettre un obstacle quelques centièmes de secondes peut ne pas avoir d'effet.

nerosson

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Re : Jeu des miroirs de Nerosson

Salut à tous,

Pas Glop a dit "mettre un obstacle quelques centièmes de secondes peut ne pas avoir d'effet."

Je dois dire que sur ce point, j'attendais une autre réponse.

Avant qu'on mette l'obstacle, le rayon laser, supposé parfait, parcourt toute la longueur du polygone.

Si on met un obstacle pendant un centième de seconde, une certaine longueur, dans la procession des photons, sera arrêtée (mon Dieu que c'est mal dit), mais pas la totalité, parce que les photons qui étaient juste derrière l'obstacle quand il a été mis en place on continué leur chemin et ne seront pas arrêté, parce que l'obstacle a été enlevé avant qu'ils repassent au même endroit.

Donc :
a) avant qu'on mette l'obstacle tout le polygone est "éclairé" par le rayon laser,
b) après l'opération obstacle, il n'y aura plus qu'un morceau de rayon laser qui continuera à parcourir consciencieusement le polygone.

N'é-ce pa vré, n'é-je pas réson ?, comme disait un vieux bonhomme quand j'étais gamin.

Dernière modification par nerosson (01-01-2011 17:57:14)