Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

gprbx · 31-12-2010 10:23:46

Pour finir l'année en testant l'écriture en LaTex
Trouver n tel que :

[tex]1 + \sqrt{2} = \sqrt{ \sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}[/tex]

C'est un de mes petits-enfants qui m'a demandé de l'aider ...

Il faut résoudre, pas "deviner" ! (niveau collège)

yoshi · 31-12-2010 10:37:15

Re,

Je vais regarder ça...
En tout cas, niveau Collège sûrement pas (réaction à chaud)...
Si c'est un prof qui a donné ça, c'est un "fou", ou quelqu'un sans expérience qui ne sait pas de quoi est capable un élèves de 3e : c'est rigoureusement interdit...
Si un Inspecteur tombe dessus, il est bon pour la casserole : sa note va en prendre un coup et le rapport associé sera sans complaisance.
Et je ne suis même pas sûr qu'un élève de 2nde ait assez de maîtrise pour ça
Si tu veux des exemples de travail sur les racines carrées en Collège, à ta disposition...

@+

[EDIT]
Bon, j'ai trouvé...
J'ai résolu, pas deviné !
Je confirme
- Au point de vue connaissances, c'est dans les cordes d'un élève de 3e : l'outil racine carrée (et pas la fonction) y est connu,
- Au point de vue technique et "mécanique", ce n'est pas à sa portée.
Sauf si ce matin, je n'ai pas le cerveau en ordre de marche, on n'a pas là une résolution classique : elle relève du procédé d'"Identification".
Et je ne crois pas que ce procédé soit connu en 2nde (même s'il n'a rien de sorcier).
Tiens pour t'éclairer, j'ai déjà publié ça :

Voilà ce qui, selon moi constitue un devoir surveillé, de 1er trimestre de 2nde, difficile...
Donc, je le redis, le prof en ramassant les feuilles des retardataires avait paraît-il lâché :
<< Oh, d'habitude, je donnais 2 h, mais cette année, je me suis dit qu'une heure suffisait ! >>
Donc, les élèves n'ont eu droit qu'à 1 h (en fait 55 min...)
Oh, certes, techniquement, il n' y a rien là-dedans qui ne ne soit connu d'un élève de 3e !

Moyenne de la classe autour de 6/20...
Moyenne de mes ex-élèves moyens (niveau C, C- ) de 3e : entre 2 et 5.
Ceux dont les Maths en 3e n'étaient pas "leur tasse de thé" et passés en 2nde grâce aux autres matières : entre 0 (inclus) et 2...

Les Profs de Collège, chaque année, sont dûment chapitrés :
* << On n'a pas à enseigner à un niveau n+1, quand on est à un niveau n ! >> (sic)
* << On ne donnera pas d'exercices exigeant de la "virtuosité technique" >> (sic)
* << On veillera à n'utiliser que des nombres "fréquentables" ! >> (sic)

Savoirs exigibles en 3e :
1. Simplifier une racine carrée : [tex]\sqrt{4800}=?,\;\sqrt{\frac{525}{336}}=?[/tex] : là, je suis limite...
En DM, ça passe, mais pas en Interro...
2. Simplifier une somme :
Ecrire sous la forme [tex]a\sqrt b[/tex] où a est un entiers relatif et b un entier naturel le plus petit possible
[tex]5\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{75}[/tex]
3. Simplifier un produit : [tex]\sqrt{80}\times\sqrt{180} = ?,\; \sqrt{2^5\times 3^3}\times\sqrt{2^3\times 3^7}[/tex]. Et le 2e exo est déjà limite...
4. Simplifier le produit de 2 sommes :
A écrire sous la forme [tex]a+b\sqrt c[/tex] ou a et b sont des nombres entiers relatifs et c un entier naturel le plus possible (n'est jamais donné au Brevet, sauf en remplaçant le 4 par 2) :
[tex](4\sqrt 5+3)(2\sqrt 5 -3)[/tex]

Dernière modification par yoshi (31-12-2010 10:58:46)

freddy · 31-12-2010 11:07:52

Salut,

je plussoie yoshi : faut être bien astucieux pour trouver.

C'est pour un élève du lycée, une bonne première, voire terminale, non ?

Pour les nombres fréquentables, les nombres amiables sont ils autorisés ? :-)

gprbx · 31-12-2010 11:29:30

Bonjour,

Cet exercice m'a réellement été posé, venant de je ne sais quel bouquin d'exos.
Je ne suis vraiment pas au courant des niveaux pédagogiques car
j'ai toujours été à l'aise comme collégien, lycéen et plus
En sus j'ai aussi pratiqué mais en entreprises (développements en electronique, informatique)

Pour moi, pas de difficulté. Immédiatement j'élevé les 2 membres au carré,
j'ai développé à gauche,
j'ai élevé à nouveau les 2 membres encore au carré
jai isolé à droite le produit des 2 racines résiduelles ,
j'ai élevé encore une fois au carré et en ordonnant il me restait une équation du 1er degré en n.
Bien sûr il faut trouver la simplification in fine par [tex]17 + 12\sqrt{2}[/tex]
mais n est bien là.

Décidemment je ne vais plus oser m'exprimer, ce Forum est pourtant bien sympa !

yoshi · 31-12-2010 11:50:46

Re,

Je n'ai pas fait autrement et d'ailleurs je vois d'ailleurs pas d'autre solution...

Décidément je ne vais plus oser m'exprimer, ce Forum est pourtant bien sympa !

Pourquoi donc ne t'exprimerais-tu plus ?
Parce que tu as écrit :

Il faut résoudre, pas "deviner" ! (niveau collège)

et que je t'ai fait une réponse longue et circonstanciée ?...

Devais-je laisser penser que cet exercice est effectivement du niveau Collège ?
Que veux-tu : Prof un jour, Prof toujours !
Et comme on est sur un site fréquenté notamment par des Collégiens/Lycéens, à chaque fois qu'une information concernant le niveau des exercices et les méthodes de résolution employées sont incorrectes, je réagis !

Ce n'était pas dirigé contre toi, personnellement.

Et je réagis aussi :
* quand on écrit Mr au lieu de M.
* quand on écrit mn au lieu de min
* quand on écrit l, (litre) au lieu de L
* quand on écrit [tex]\simeq[/tex] au lieu de [tex]\approx[/tex]
* : pour le symbole de la division
...etc

Nos Inspecteurs nous ont assez renvoyé vers l'AFNOR, pour qu'il en reste des séquelles...

@+

freddy · 31-12-2010 12:05:05

Salut,

bigre, je ne comprends pas comment vous avez fait (si on parle de la même chose, bien sûr).

[tex](1+\sqrt2)^2=\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \Leftrightarrow 3+\sqrt{8}=\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \Rightarrow n=8[/tex]

c'est assez simple, si on est un peu entraîné, non ?

Dernière modification par freddy (31-12-2010 12:05:58)

yoshi · 31-12-2010 12:36:55

Re,

[tex]3+\sqrt{8}=\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \Rightarrow n=8[/tex]
Oui, mais ça, c'est apparenté à de la devinette...

[tex](3+2\sqrt 2)^2=(\sqrt n+\sqrt {n+1})^2 \Rightarrow 17+12\sqrt 2 = 2n+1+2\sqrt{n(n+1)}[/tex]
Par identification, on en conclut que 2n+1=17, d'où n = 8...
Et on contrôle que :
[tex]2\sqrt{8\times 9}=2\sqrt{6^2\times 2}=12\sqrt 2[/tex]
Q.E.D (Quod Erat Demonstrantum)

@+

freddy · 31-12-2010 12:50:32

Objection votre Honneur !

[tex]3 +2\times\sqrt2=\sqrt9+\sqrt8=\sqrt{n}+\sqrt{n+1}[/tex] relève d'une identification simple, de l'intuition mathématique de bon sens, pas du tâtonnement de cunuts, non ?

Ou bien les choses auraient elles évolué à ce point ? pPus d'intuition de bons sens, que du développement analytique ? Comment alors amener les élèves à faire de l'arithmétique ? ...

En soi, c'est bien, mais alors, comment Pascal aurait il fait pour s'apercevoir que :

[tex]1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = (1+10=11)+(2+9=11)+(3+8=11)+(4+7=11)+... = 5*11=\frac{10}{2}(1+10)[/tex] ?

yoshi · 31-12-2010 13:04:12

Re,

[tex]\sqrt9+\sqrt8=\sqrt{n}+\sqrt{n+1}[/tex] relève d'une identification simple

Objection rejetée...
L'identification simple aurait consisté à dire que [tex]3 = \sqrt n[/tex]... Si tu écris
[tex]\sqrt 8+\sqrt 9 = \sqrt n + \sqrt{n+1}[/tex], ok...
Il te manquait une étape dans ta présentation.
Et je n'ai pas fait de tâtonnements :-(

Quant à la somme des n entiers naturels, elle ne relève pas d'une procédure d'identification...

[Mode chieur on]
Tiens, j'ai oublié dans la liste faite à grpbx, des choses sur lesquelles je râle (même si maintenant, sur ce point précis, je suis le dernier des Mohicans) :
[tex](1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)[/tex] moi, j'ai pris l'habitude de l'écrire 11 * 5 et non 5 * 11 (même si, l'addition étant commutative, le résultat est le même).
En effet stricto sensu, d'après la définition, 5 * 11 = 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5 et 11 * 5 =11 + 11 + 11 + 11 + 11...

[/Mode chieur off] -;

@+

gprbx · 31-12-2010 14:18:19

Bonjour,

Bah, il ne faut pas s'emballer, même si des deux c'est toujours un prof qui aura raison !
J'ai pris cet exo comme un exercice d'élimination des racines carrées
quand j'ai eu [tex]8 + 6\sqrt{2} - n = \sqrt{ n(n + 1)}[/tex]
j'ai encore élevé au carré et simplifié pour obtenir un beau n = 8 : aucune divination ! même si j'avais deviné dès le début...

Je me suis collé aux 4 exos de freddy, montre en main et tous calculs à la main.
Bilan : 10 + 5 + 3 + 2 = 20 minutes
j'ai buté sur l'exposant (3 puissance 3) que j'ai calculé (3 puissance 2), ce qui me donnait un -19 que je trouvais bizarre, mais je suis passé à la suite.
j'ai trouvé a et b après multiplication à la main et preuve par 3, mais je n'ai pas eu le courage d'effectuer de même a*a, 2*a*b, b*b ni l'addition finale
au bout des 20 minutes je sui revenu corriger l'exposant erroné.
Je me suis controlé sur Excel : OK
Je ne pense pas que quelqu'un veuille voir mes résultats....Je suis content d'avoir encore quelque dextérité...

Pendant ces quelques dernières années j'ai eu l'occasion de m'occuper bénévolement d'un centre informatique en école élémentaire (je ne peux plus à cause de ma vue). Les profs de CM2 et CM1 m'ont bien dit que j'avais tendance à "sur-informer" les élèves...
Pourtant certains ne demandaient que ça..

Alors, même avant le réveillon : Heureuse et joyeuse année 2011 à tous : gprbx

yoshi · 31-12-2010 17:20:09

Re,

Je me suis collé aux 4 exos de freddy, montre en main et tous calculs à la main.
Bilan : 10 + 5 + 3 + 2 = 20 minutes

Euh... de quels exos parles-tu là ?
Il me semble bien que j'aie été le seul à donner une liste de 4 exercices...
Alors M'sieu, 2 confusions, ça fait beaucoup ! Tu m'en veux en quoi?
Une fois tu me prends pour nerosson (que je déforme en nero's son à cause parfois de ses propos propres à incendier un roussin), l'autre pour freddy...
Tu veux dire 20 min avec rédaction au propre ? Éventuellement un brouillon "montrable"...
Parce que les "mômes", eux, virtuosité technique (dressage en fait) connaissent pas, sont pas formés pour...
20 min brouillon, c'est bien, faut même pas chômer...
En général, en Collège, je multipliais mon temps par 6 pour estimer le temps maxi (pour ceux qui savaient faire) nécessaire.
Sur ce devoir, je ne peux pas faire mieux, ou alors je prends des risques avec l'exactitude des calculs : d'où la nécessité de connaître la vitesse maximum à laquelle on peut travailler, pour pouvoir fonctionner un cran en dessous : notion totalement étrangère aux élèves de 2nde.
Ce devoir, en 1 heure, était infaisable pour 95 % des élèves de 2nde (il y a toujours 2 ou 3 "forts en thème" dans le lot).
En prime, nous on est de la génération sans calculatrice...
Alors, tu vas dire, alors pour eux avec une calculette, ça va plus vite ?
Nan, pour 90 % d'entre eux, ils s'en servent comme des "pieds" (il n'y a qu'à voir le nombre invraisemblable d'erreurs de calculs au Brevet) et même pour moi, tout dépend ce qu'il y a faire, je vais plus vite à la main...

Atta...
[tex]17+12\sqrt 2=2n+1+2\sqrt{n(n+1)}\;\Leftrightarrow\;8+6\sqrt 2=n+\sqrt{n(n+1)}[/tex]
D'accord...
Mais, pourquoi ne pas t'arrêter là et identifier :
[tex]\begin{cases}n&=8\\\sqrt{ n(n+1)}&=6\sqrt2\end{cases}[/tex] [tex]\quad\Leftrightarrow\quad[/tex] [tex]\begin{cases}n&=8\\n(n+1)&=72\end{cases}[/tex]

Tu as réellement élevé au carré :
[tex](8+6\sqrt 2 -n)^2=n(n+1)\;\;\Leftrightarrow\;\;64+72+n^2+96\sqrt 2-16n-12n\sqrt2=n^2+n[/tex]
puis simplifié ?
Boufre... quel courage.
La méthode freddy gagnait encore une étape par rapport à moi.

@+

freddy · 31-12-2010 20:39:35

Salut,

à propos d'élève qui calcule avec ses deux pieds gauches, il y en a un dans une autre rubrique qui est en train de chercher à nous démontrer que nos calculs (on s'y est mis au moins à 4) sont faux.

Bel exemple "d'inconscience" si je puis dire. C'est comme le d'jeune tout maigrelet qui boit du Redbull puis va voir une compagnie de CRS baraqués genre Stallone et leur dit : "alors, les tarlouzes, on drague ..." !!! :-)

yoshi · 31-12-2010 21:18:42

Re,

Oui, j'ai noté...
Ma formule choc pour inciter mes ex-mômes à utiliser correctement une calculette commençait par :
<< Les gars, si vous croyez que la différence entre une brouette et une calculatrice, c'est que la brouette a une roue et 2 "poignées", vous avez tout faux ! >> Et de leur montrer avec un exercice de calcul de fractions type tiré du Brevet, on pouvait avoir tous les résultats intermédiaires permettant de contrôler l'exactitude des calculs, ou que tout calcul numérique obtenu après un développement genre -x²+5x+14 pour x =-1 se faisait dans le moindre détail grâce à cet appareil, ça ne servait à rien...
Il est pourtant pas de cette génération... Sa démo doit être buguée : je regarderai demain cette histoire de Puissance : j'ai fait ça, il y a 40 ans, mais j'ai oublié (et ça ne figure plus dans les Prgm...) ; je veux savoir !

@+

Bon réveillon à tous...

gprbx · 01-01-2011 18:42:38

Bonjour,

oui, yoshi, les 4 exos étaient de toi, pas de freddy
oui, je les ai faits au brouillon mais proprement, montrables.
oui, j'ai eu le courage d'élever [tex](8 + 6\sqrt{2} - n)[/tex] au carré pour simplifier ensuite
( J'ai fait du même genre dans le fameux triangle équilatéral pour calculer exclusivement sur des Entiers)

non, je n'en veux à personne
Je vais essayer de ne plus confondre les intervenants (que j'arrive maintenant à tutoyer...)

L'année 2011 commence avec de bonnes résolutions : gprbx

yoshi · 01-01-2011 19:00:23

Re,

Bravissimo !
Et la foule en délire se lève, réservant au grand-père une "standing ovation" tonitruante :
<< gprbx !.... gprbX !... gprBX !...gpRBX !... gPRBX !... GPRBX ! ...>>
Les majuscules sur un forum, correspondent à un volume sonore très élevé. ;-)

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 31-12-2010 10:23:46

Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#2 31-12-2010 10:37:15

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#3 31-12-2010 11:07:52

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#4 31-12-2010 11:29:30

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#5 31-12-2010 11:50:46

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#6 31-12-2010 12:05:05

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#7 31-12-2010 12:36:55

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#8 31-12-2010 12:50:32

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#9 31-12-2010 13:04:12

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#10 31-12-2010 14:18:19

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#11 31-12-2010 17:20:09

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#12 31-12-2010 20:39:35

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#13 31-12-2010 21:18:42

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#14 01-01-2011 18:42:38

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

#15 01-01-2011 19:00:23

Re : Y-a-il trop de racines ? [Résolu]

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