Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

malia · 06-12-2010 21:06:33

Bonjour ,

J'ai commencé un exercice mais je rencontre des difficultés , pourriez vous m'aider s'il vous plait ?
Voici l'énoncé : On considère les courbes C1 , C2 et C3 d'équations respectives :
y= - x² + 3x +6
y= x² + 7x + 8
y= x cube - x² +4

1. Démontrer qu'il existe un unique point commun A aux courbes C1 C2 et C3

-x² + 3x+6 -x²-7x-8 - x cube +x² - 4 = 0
-x cube - x² -4 x -6 = 0
je suis bloquée à ce niveau car je n'arrive pas à transformer le polynôme de degré 3 en un trinôme

2. Ces courbes admettent elles la meme tangente en A ?

Merci pour votre aide

yoshi · 06-12-2010 23:37:16

Bonjor,

Bienvenue sur BibM@th...
Tu ne peux pas factoriser [tex]x^3-x^2+4[/tex], pas à ton niveau...
Donc ce n'est pas la bonne piste..
A priori, je ne vois pas d'autre solution que de chercher les points d'intersection des courbes 2 par 2 et de constater qu'un seul est sur les 3 courbes:
[tex]x^2+7x+8+x^2-3x-6=0[/tex] ... se résout aisément

[tex]x^3-x^2+4-x^2-7x-8=0[/tex] là, de tête, je ne vois pas : ce sera mieux demain sur papier..

[tex]x^3-x^2+4+x^2-3x-6=0[/tex] ... une"solution évidente" : -1

@+

[EDIT
Problème d'affichage...

Dernière modification par yoshi (07-12-2010 23:17:56)

freddy · 06-12-2010 23:55:55

malia a écrit :

Bonjour ,
J'ai commencé un exercice mais je rencontre des difficultés , pourriez vous m'aider s'il vous plait ?
Voici l'énoncé : On considère les courbes C1 , C2 et C3 d'équations respectives :

[tex]y=-{x}^{2}+3x+6[/tex]
[tex]y={x}^{2}+7x+8[/tex]
[tex]y={x}^{3}-{x}^{2}+4[/tex]
1. Démontrer qu'il existe un unique point commun A aux courbes C1 C2 et C3
je suis bloquée à ce niveau car je n'arrive pas à transformer le polynôme de degré 3 en un trinôme
2. Ces courbes admettent elles la même tangente en A ?
Merci pour votre aide

Salut,
j'ai repris sous latex pour la lisibilité.
Si le point A de coordonnées (x,y) est commun à C1 et C2, alors on a : [tex]{x}^{2}+7x+8=-{x}^{2}+3x+6\,\Longleftrightarrow 2x^2+4x+2=0\,\Longleftrightarrow (x+1)^2=0[/tex] donc x=-1 racine unique ;
Que vaut alors y ? [tex]y=-1^2-3+6=2[/tex]

En prenant x=-1, que devient y sur l'équation de C3 ?
[tex]y=(-1)^3-(-1)^2+4=-1-1+4=2[/tex]
Donc le point A de coordonnées (x= -1, y=2) est le point recherché.

PSSSS : encore grillé par yoshi !

Dernière modification par freddy (07-12-2010 01:22:19)

maria · 07-12-2010 16:15:04

Bonjour , merci beaucoup pour votre aide mais excusez moi Yoshi j'ai essayé de calculer l'équation [tex]{x}^{3}[/tex] - x² + 4 - x² - 7x - 8 = 0; je suis arrivé au polynôme de dégré 3 : [tex]{x}^{3}[/tex] -2x² - 7x - 4 = 0 mais je suis bloquée à partir d'ici , je n'arrive pas à retrouver x= -1 pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

Dernière modification par maria (07-12-2010 17:30:48)

yoshi · 07-12-2010 23:37:25

Re,

yoshi a écrit :

[tex]x^3-x^2+4-x^2-7x-8=0[/tex] là, de tête, je ne vois pas : ce sera mieux demain sur papier..

Avec crayon et papier ce n'est pas mieux : je ne trouve pas les solutions : j'ai testé avec WxMaxima : à faire dresser les cheveux sur la tête...

Non, il faut te contenter de l'intersection de C1 et C3 et C1 et C2 comme l'a suggéré freddy, tu auras bien un point d'abscisse -1 sur les 3 courbes en même temps.

Concernant les tangentes passant par ce point, ce sont les mêmes si leurs coefficients directeurs sont aussi les mêmes...
Donc tu calcules les 3 dérivées et leurs valeurs en -1...

@+

PS
Pourtant, d'un seul coup, je me dis que quelque n'est pas logique dans ce que j'ai écrit.
-1 devrait être solution de :
[tex]x^3-x^2+4-x^2-7x-8=0[/tex] c'est à dire de [tex]x^3-2x^2-7x-4=0[/tex]...

Et bien, -1 est bien "solution évidente" de : [tex]x^3-2x^2-7x-4=0[/tex].
En effet : (-1)^3-2\times(-1)^2-7\times (-1)-4 = -1-2+7-4 = 0
CQFD.
Je n'ai pas les idées très claires à cette heure (et je ne sais pas ce que j'ai "bricolé" avec WxMaxima, en fait erreur de simplification probable)
Bon voilà démonstration close...
Ce qu'on appelle "solutions évidentes" (on devrait dire simples ou élémentaires) c'est x = 1 ou x = -1 (plus rarement x = 2 ou x = -2).

Ça te va, maintenant ?

Re PS...

Dis donc, toi, tu n'aurais pas un double compte par hasard, hein ? Je vois que maria et malia ont la même adresse IP : c'est loin d'être un hasard...
Si oui, ce n'est pas très réglo, tu vas me dire lequel, on verrouille...

Dernière modification par yoshi (07-12-2010 23:43:22)

freddy · 08-12-2010 09:24:53

Hello,

je plussoie yoshi à double titre : le compte (malaria =)) et l'équation du troisième degré (qui ne se simplifie pas aisément).

IL FAUT trouver le point commun de C1 et C2 et vérifier ensuite que ce point est aussi un point de la courbe C3. Par conséquent, c'est le point commun cherché. Ensuite, si on trace les courbes, on DOIT voir qu'il est unique car on a l'équation d'une parabole en forme de bol, l'autre est une parabole où le bol est inversé, et enfin l'équation du troisième degré qui forme un sinusoïde évasée.

Sinon, on fait comme yoshi avec la racine évidente.

La recherche des solutions "évidentes" consiste à poser x=0 ou 1, ou -1, voire + 2 ou - 2, 3 ou -3 ... C'est l'enfance de l'art, si je puis dire. On est tous passé par là, et c'est très vite amusant quand on a pigé le truc.

Je pense que c'est l'objectif pédagogique de l'exo : un démarche simple, de bon sens et rigoureuse.

karlun · 08-12-2010 11:24:06

Juste en passant, Salut,

Petite géoélaboration?

Voici:

Pour le tracé de la tangente c'est pas facile... bigre.

J'm'en vais calculer son équation. (mais mes dérivées sont dans les oubliettes j'en ai peur).

A+-*/

malia · 08-12-2010 11:27:45

Bonjour merci pour votre aide

yoshi · 08-12-2010 11:50:27

RE,

Toute utilisation d'un dessin pour une démonstration est considérée comme nulle et non avenue.. Pas de "on VOIT" que...
Mon prof barrait les copies et écrivait : << MOI, je ne vois rien ! >>. Le dessin, c'est juste une vérification d'une conjecture, ou pour élaborer cette conjecture !

@malia
Je repose ma question : quel compte dois-je verrouiller malia ou maria ?
Sans réponse de ta part, je verrouillerai le compte malia dans 48 h et tu feras "jeter" en cas de tentative de connexion via ce compte...
Je fais preuve d'indulgence parce que je pourrais verrouiller les deux comptes et supprimer les deux discussions en cas de nouvelle absence de réponse.

@karlun
1. J 'ai réduit ton image.
2. Tu fais les calculs d'équation(s) pour toi. Tu noteras et malia/maria aussi, que j'ai évité soigneusement de dire s'il n'y en avait qu'une ou pas.
Le but de la manœuvre étant d'obliger malia/maria à faire les calculs elle-même...

Yoshi
- modérateur -

PS

freddy a écrit :

IL FAUT trouver le point commun de C1 et C2 et vérifier ensuite que ce point est aussi un point de la courbe C3

Je me suis posé la question de la validité de cette procédure... Après réflexion, même si les deux courbes C1 et C2 avaient deux points communs, il suffirait de tester les deux.

Dernière modification par yoshi (08-12-2010 12:29:06)

karlun · 08-12-2010 12:38:35

R'lut,

Ben oui, déso..xcuse, tu as raison Yoshi, pourtant un petit dessin ne mange pas de pain et permet de visionner ce à quoi on travaille (et en rien démontrer quoi que ce soit).

Après les explications de Freddy, il ne me semblait pas déplacé d'illustrer davantage.
De plus n'importe quelle calculatrice un peu élaborée te trace tout cela en moins de deux.
Pour ce qui me concerne, c'était (une fois de plus) montrer que géolabo est super. (merci Fred (si j'ai bien compris)).
Pour ce qui est du tracé de la tangente aux courbes (si elle existe?) géolabo ne s'y plie pas d'où l'idée de passer aux calculs.... (résol...absten...u(t))

...à suivre...

A+-*/

PS: @ Yoshi:
Si j'osais...
Ne peut-on résoudre ce problème (les deux questions) seulement via les dérivées? Cette procédure serait-elle démonstrative?

Dernière modification par karlun (08-12-2010 12:49:33)

freddy · 08-12-2010 12:59:08

@yoshi,

je suis d'accord sur le fait qu'on ne démontre pas l'unicité en regardant un graphique.

Toutefois, cela permet de conjecturer qu'il n'y a pas une d'autre solution, ou que d'autres points d'intersection de deux courbes sur les 3 ne sont pas solution du problème.

L'usage du graphe permet de conjecturer, pas de prouver. Mais quand on se gourre, le graphique est bien pratique pour corriger le tir, ne penses tu pas ?

Cela étant, dans cet exercice, puisque x=-1 est racine double, il est clair que le point A de coordonnées (-1,2) est l'unique point commun à C1 et C2. Donc si C3 avait d'autres points communs avec C1 etC2, il n'en demeurerait pas moins que ce point A serait l'unique point commun à C1, C2 ET C3.

Bis bald

yoshi · 08-12-2010 13:06:26

Re,

L'allusion au verbe VOIR faisait référence à son emploi par freddy, je craignais que la miss ne l'interprète mal...

karlun a écrit :

Si j'osais...
Ne peut-on résoudre ce problème (les deux questions) seulement via les dérivées?

1. Les valeurs des dérivées en un point donnent le(s) coefficient(s) directeur(s) des tangentes en ce point commun, encore faut-il qu'il soit connu,
2. L'étude des dérivées donnerait le sens de variation des 3 fonctions : ça apporterait quoi pour trouver le point d'intersection unique des 3 courbes ? Si tu as une idée qui ne m'est pas venue (je ne pense pas à tout), je suis prêt à l'étudier.

@+

karlun · 09-12-2010 17:15:03

Bonsoir,

A pas (+-*/) feutré, (pourvu que le ciel ne me tombe pas sur la tête) je poursuis ma tentative.

Etant donné l'énoncé :
« On considère les courbes C1 , C2 et C3 d'équations respectives :
1. Démontrer qu'il existe un unique point commun A aux courbes C1 C2 et C3.
2. Ces courbes admettent elles la même tangente en A ? »

Je me suis demandé, pour ne pas s'embarrasser des équations de C1,C2 et C3, et surtout déjà amorcer l'analyse de la (ou des) tangente(s) s'il ne suffisait pas (oui paresse oblige) d'en calculer leur dérivée respective et vérifier que celles-ci se croisent en un et un seul point. (Calculs plus léger).
Auquel cas, les trois courbes n'auront qu'un seul point d'intersection.
Bon, tout ça sans pouvoir le démontrer formellement (manque de notions et de vocabulaire).

Les coordonnées du point commun des dérivées (s'il existe) sera du genre P(-1 , 5) ou l'abscisse sera celle du point commun aux trois courbes et l'ordonnée la pente de la tangente.

A+-*/

yoshi · 09-12-2010 19:56:46

RE,

Les coordonnées du point commun des dérivées (s'il existe)

Les dérivées n'ont pas de point commun, c'est un peu comme si tu disais : ma roue avantG et ma roue arrière G ont la même chaine...
Précisions :
- La valeur de la dérivée en un point (de coordonnées connues donc) de la courbe est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point,
- Donc le signe de cette dérivée permettra de savoir quand la fonction est croissante/décroissante,
- Les zéros de la dérivée donnent les abscisses (quand elles existent) des extrema de la courbe.

Tu répondrais à la Q1 en traitant la Q2 :
- Recherche des 3 dérivées, ok !
- Calcul des coefficients directeurs des tangentes... D'ac ! Pour quelle(s) valeur(s) de x ? Et maintenant tu fais quoi ? Tu lis les coordonnées sur ton dessin ? Tss ! tss !
- Admettons et continuons : donc tu calcules les coefficients directeurs des tangentes... Et tu constates que ce sont les mêmes. Conclusion ?...Non, non (je te vois venir) tu peux juste dire que les tangentes sont colinéaires ou parallèles...
- Pour aller plus loin, tu vas devoir calculer les 3 équations... Et tu vas dire : il n'y a qu'une tangente, donc il y a un point d'intersection unique... Mais alors pourquoi tout ce tintoin puisque tu savais déjà pour calculer les équations que le point était unique et de coordonnées (-1:2)...
Et maintenant pour la Q2 : tu réponds c'est déjà fait dans la Q1...
Donc tu te sers de la Q2 pour répondre à Q1 et de Q1 pour répondre à Q2... Là mon ami, t'es sûr de te faire jeter...

Calculs plus légers dis-tu... bof, bof...
Qu'est ce qu'on fait nous :?
Q1 :
On résout : [tex]x^2+7x+8+x^2-3x-6 = 0[/tex] soit [tex]2(x+1)^2 = 0[/tex] intersection de C1 et C2.
Un point unique x = -1 ; y =2

On résout : [tex]x^3-x^2+4+x^2-3x-6=0[/tex] soit [tex]x^3-3x+2=0[/tex] intersection de C1 et C3
Comme il y a une "solution évidente" x =-1 : on factorise facilement : [tex](x+1)(x^2-x-2) = 0[/tex] et la deuxième parenthèse ne se factorise pas... Une seule solution le même point A(-1:2).
Et c'est suffisant pour conclure...

Q2 Je reprends ce que tu faisais pour la Q1, saufs que les équations des tangentes ne m'intéressent pas...
Les Coeff. dir. sont égaux <==> tangentes parallèles
Tangentes parallèles + passant par le même point ==> une seule tangente (axiome d'Euclide)

Convaincu ?

@+

yoshi · 09-12-2010 20:41:45

A Malia,

MALIA, je t'ai demandé quel compte tu comptais supprimer...

TU N'AS PAS REPONDU..

Donc, dès que Karlun se montrera satisfait de ma réponse, je fermerai cette discussion et verrouillerai le compte Malia : il ne faudra donc pas t'étonner de ce que tu ne puisses plus l'utiliser...

A bon entendeur, salut...

Yoshi
- Modérateur -

karlun · 10-12-2010 22:44:38

Bonsoir,

Merci Yoshi de t'occuper de mes tentatives.

Yoshi a écrit :

Tu répondrais à la Q1 en traitant la Q2 :
- Recherche des 3 dérivées, ok !

Ben oui! Et je trouve alors je cherche +-*/
J'obtiens trois équations.
J'en calcule leur intersection (si elle(s) existe(nt)?).
J'obtiens (dans le cas qui nous occupe) un résultat: P(-1,5) commun aux trois équations (P est l'intersection trouvée).
Alors je me suis intéressé à l'abscisse (-1); l'ordonnée (y') étant la pente de la tangente commune aux trois courbes de départ!
Mais quoi ça veut dire?

Yoshi a écrit :

Et maintenant tu fais quoi ? Tu lis les coordonnées sur ton dessin ? Tss ! tss !

Ben! pas besoin.

P(-1,...) sera l'abscisse du lieu où la pente de la (ou des) tangente(s) aux courbes sera(ont) identique(s).
Mais là me manque la démonstration...

Yoshi a écrit :

tu peux juste dire que les tangentes sont colinéaires ou parallèles...

Alors là oui j'en suis convaincu. Merci de me mettre les points sur les i.

Dans le cas qui nous occupe pas de problème puisque reporter cette abscisse dans les 3 équations de départ nous donne un même et seul résultat: 2
Donc la tangente aux trois courbes passe par ce point unique P(-1,2).

Dans tous autres cas (suivant la démonstration (à venir)), le même raisonnement peut être mené (c'est ici que je m'avance un peu...).
Si reporter l'abscisse dans les 3 équations de départ ne nous donne pas un même résultat c'est simplement qu'elle donne l'ordonnée du point dont la pente de la tangente est identique (tangentes parallèles ou colinéaires donc).

Petit exercice?

Je soutiens donc que si les dérivées acceptent un unique point d'intersection alors en l'abscisse de ce point, dans les équations de départ, les tangentes seront, selon le cas, identiques ou colinéaires ou parallèles.

Ben tiens... prenons l'énoncé de ce post comme point de départ puisque les trois équations ont un seul point commun. (ne complexifie-je donc pas encore plus le problème?)
Je considère ces trois équations comme les dérivées de trois courbes...Elles se coupent en un point unique A(-1,2)
Si en introduisant cette valeur x=-1 dans les (3) équations « dérivées »-intégrées (je manque de vocabulaire) on trouve la même valeur => il existe une même et seule tangente et en un point unique. La pente est de A(...,2) 2
Dans le cas contraire, en l'abscisse A(-1...) les trois courbes auront une pente de tangente identique = A(...,2) 2 ((en y=-4,16, y=-4,83, y=-41/12) pour ce cas précis).

Voilà ce que j'ai en tête;

A dégrossir +-*/ sans doute.

yoshi · 11-12-2010 00:20:17

RE,

C'est qu'il est têtu et emmuré dans sa certitude que l'autre se trompe... Donc, si j'ai bien compris, tu comptes déposer un mémoire et présenter une autre façon, que celle universellement employée, d'étudier les fonctions ?

karlun a écrit :

Je soutiens donc que si les dérivées acceptent un unique point d'intersection

Les dérivées n'ont pas de points d'intersections, au sens où tu l'entend...
Les dérivées sont des limites :
soient deux points d'une courbe d'abscisses x et x+h, la dérivée d'une fonction f au point d'abscisse x est la limite de [tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}[/tex] quand h tend vers 0.
En tant que telle, cette dérivée est une fonction, laquelle fonction admet une représentation graphique ; cette représentation graphique illustre les variations du coefficient directeur des tangentes à la courbe sur le domaine de définition de la fonction de départ considérée.
En tant que telles ces 3 courbes représentatives peuvent avoir un point commun, l'ordonnée de ce point commun sera le coefficient directeur commun des tangentes à chacune des courbes...

Petit exercice?

S'il te plaît descends de ta chaire, et ne me fais pas de cours...

Je soutiens donc que si les dérivées acceptent un unique point d'intersection alors en l'abscisse de ce point, dans les équations de départ, les tangentes seront, selon le cas, identiques ou colinéaires ou parallèles.

Ça, msieu, c'est de la paraphrase en ce sens que tu reprends "la condition de parallélisme ou colinéarité" de 2 droites en parlant de point commun, (lors même que tu me "remercies" (!?) avant de te mettre les points sur les i...) : tu enfonces là, tant que ne parles pas de point commun, des portes ouvertes...

1. Les 3 fonctions dérivées ont comme domaine de définition ]-oo ; +oo[, donc il est normal qu'il y ait un x commun (une infinité en fait), en particulier x = -1.
2. Il se trouve que pour x =-1, ces dérivées ont la même valeur 5..
3. Si je parle des dérivées, je me refuse à parler de point commun... Il existe es courbes dont l'équation sera la même expression que celles des dérivées c'est tout... Il y a point commun aux courbes, pas aux dérivées. Ce couple commun (-1 ; 5) te dit seulement que au point d'abscisse x = -1, les tangentes aux courbes C1, C2 et C3 ont le même coefficient directeur... Point barre, ça ne suffit pas pour dire qu'il n'y a qu'une tangente...
4. Si tu me dis ces tangentes passent par le même point (-1 ; 2), alors oui, il n'y a qu'une tangente : c'est la démonstration que j'ai donnée de la Q2, sachant que les 3 courbes C1, C2 et C3 ont un seul point commun.
5. Les questions se traitent dans l'ordre où elles sont données, la Q1, ce n'était pas : "Montrer les 3 courbes C1, C2 et C3 admettent la même tangente au point d'abscisse -1", mais "Montrer que les 3 courbes C1, C2 et C3 ont un seul point commun.
. Je maintiens que tu réponds à Q2 pour faire Q1 : ce n'est pas autorisé (ce serait parfois plus facile) : c'est quelquefois ce qui fait la difficulté des problèmes
6.

J'obtiens (dans le cas qui nous occupe) un résultat: P(-1,5) commun aux trois équations (P est l'intersection trouvée)

Comment obtiens-tu ce couple de valeurs (abscisse ; coefficient directeur de la tangente) ? Comment sais-tu qu'il n'y a pas d'autre couple ? Tu commences à cumuler les calculs...
Enfin, ça n'a rien à voir avec le problème de départ, c'est exactement l'inverse...
.

une pente de tangente identique = A(...,2)

ça veut dire quoi ce = ? La pente c'est A ? A est un point, la pente est une inclinaison sur l'horizontale (c'est la tangente de l'angle), c'est donc différent... Non ? ce n'est pas ça ?
Alors quoi ? pente = 2 ? Non, c'est 5... Ah... Tu parles des intégrales des équations des courbes C1, C2, C3...
Alors, non plus...
[tex]\int (x^2+7x+8) dx = \frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}+8x +cte[/tex]
C'est quoi cte ? Une constante appartenant à [tex]\mathbb{R}[/tex]. Comment déterminer ka valeur de cte ? En définissant une condition initiale, parce qu'autrement, rien que là, tu disposes d'une famille de courbes déduites les unes des autres par une translation...
La choisir comment ? En demandant que les "courbes des intégrales" aient un point commun et un seul...
Et là, pas sûr que ça marche : pt'êt que si... Vérifierai demain.... Une infinité de fonctions possèdent la même dérivée...
De toutes façons, bonjour les calculs : 2 équations du 3e degré et une du 4e...
D'autre part, ça équivaut à dire qu'on veut prouver que 1+1=2 en supposant que c'est vrai, en déduire que 2+2=4 et retourner en arrière en s'exclamant triomphant : donc 1+1=2...
7. Pour résumer, parce que mon lit m'attend :
* Ne parle pas de points communs aux dérivées, ça n'a pas de sens mathématique,
* Contente-toi de calculer les 3 dérivées f', g', h'...
* Résous ensuite les équations f'(x)=g'(x) et f'(x)= h'(x)
* Constate qu'il y a une solution unique -1
* Conclus que le coefficient directeur des tangentes au point d'abscisse x = -1 est donc le même (recalcul) : 5
* Conclus dans la foulée, que les tangentes sont soit parallèles soit colinéaires.
* Repars dans les équations des courbes et calcule les ordonnées des 3 points de ces courbes d'abscisse -1.
* Et là tu constates qu'il y a un seul pont d'intersection...
* Arrive la 2e question et là tu enchaînes en disant qu'il y a une tangente unique en deux lignes.
* L'élève à qui tu auras suggéré ce procédé révolutionnaire et qui t'aura écouté, sa copie revenue, sera fâché.
Elle sera barrée d'un grand trait avec ce commentaire : Ne répondez pas à Q2 pour faire Q1...
M'enfin, tant pis pour lui, il devra assumer...

Méthode standard :
* Résolution f(x)=g(x) et f(x)=h(x) : une seule solution (double) x=-1, y=2 pour la première (C1 et C2 sont elles-mêmes tangentes en x=-1) et une "solution évidente" x=-1, y =2. La même (les autres, s'y en a on s'en
* Je conclus à un point unique sur C1, C2,C3.
* Q2 : je calcule les dérivées
* Je reporte x = -1 dans les 3. J'obtiens 5. Même coeff. dir...
* Je conclus : droites // passant par le même point : tangente unique...
Moins de calculs, respect de l'ordre des questions, moins de risques d'"écarts de langage" donc de se faire sanctionner...

Allez, je relis tout demain...

@+

karlun · 11-12-2010 09:33:31

Bonjour,

Hou-là!
Aurais-je mieux fait de me taire?

Merci pour ta longue réponse.

J'annonçais seulement une tentative, un essai de solutionner ce problème en partant de la fin de l'énoncé.
(2. Ces courbes admettent elles la même tangente en A ?)
Et donc de considérer d'abord les dérivées des trois courbes C1,C2,C3.

Je soutiens donc que si les dérivées acceptent un unique point d'intersection

Oui je me suis mal exprimé (merci de le souligner) Je parlais (comme tu l'as compris) effectivement des fonctions dérivées.

Yoshi a écrit :

En tant que telles ces 3 courbes représentatives peuvent avoir un point commun, l'ordonnée de ce point commun sera le coefficient directeur commun des tangentes à chacune des courbes...

Et l'abscisse?

L'abscisse de ce point commun sera l'abscisse des trois points (parfois confondus) par lesquels passeront les (la) tangente(s) de coefficient directeur identique.

Je l'ai mis en rouge afin qu'il puisse être barré, balayé du revers de la main...pffft! parce que je ne sais pas le prouver et que donc...

Après je me suis donné des exercices et le premier qui m'est venu est de repartir de l'énoncé lui-même en considérant C1,C2,C3 comme fonctions représentatives de trois dérivées se coupant en un point unique.
(J'ai tous les calculs si on veut et la représentation graphique (faite après (évidemment) ;-) )

Pour ce qui est de la constante je m'en suis peu soucié... A tort sans doute...A suivre.

Ou sinon A+-*/

yoshi · 11-12-2010 10:32:42

Re,

Bon, je ne reviendrai pas (plus) sur la procédure à utiliser, sur le nécessaire respect de l'ordre des questions : oui, ta méthode fonctionne, mais elle consiste à faire un crochet par Clermont-Ferrand pour aller de Lyon à Marseille, et elle demande d'être très précis dans ce qu'on fait et une justification soigneuse de ce qu'on fait...
En un mot, cette méthode est ch... euh... pénible.
Et donc, non, ce n'est pas un gain de temps et de travail puisqu'ici, on peut (et doit) faire plus simple et plus court autrement...

J'appelle Pf1 la famille de courbes dont l'équation est la Primitive (j'avais mangé le mot, hier soir, ce matin, tôt) de l'équation de C1 : l'équation de ladite famile est :
[tex]y=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+6x+c[/tex]

J'appelle Pf2 la famille de courbes dont l'équation est la Primitive (j'avais mangé le mot, hier soir, ce matin, tôt) de l'équation de C2 : l'équation de ladite famille est :
[tex]y=\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}+8x+d[/tex]

J'appelle Pf3 la famille de courbes dont l'équation est la Primitive (j'avais mangé le mot, hier soir, ce matin, tôt) de l'équation de C2 : l'équation de ladite famille est :
[tex]y=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+2x^2+e[/tex]

Ces courbes ont un point commun à condition d'exprimer d et e, par exemple, en fonction de c : chercher c, d, e pour qu'elles aient un point commun d'abscisse -1, c'est simple...
Voilà :
Pour Pf1, on obtient pour x =-1, l'ordonnée du point est [tex]y=c-\frac{25}{6}[/tex]

Pour Pf2, on obtient pour x =-1, l'ordonnée du point est [tex]y=d-\frac{29}{6}[/tex]

Pour Pf3, on obtient pour x = -1, l'ordonnée du point est [tex]y=e+\frac{31}{12}[/tex]
Si l'on veut que [tex]\left(-1\;;\;c-\frac{25}{6}\right),\;\left(-1\;;\;d-\frac{29}{6}\right)\; et \;\left(-1\;;\;e+\frac{31}{12}\right)[/tex] soient un seul et même point, alors on pose : c ="ce qu'on veut", et on en déduit d et e...
Je choisis une valeur de c, en bon paresseux je choisis 0...
J'obtiens [tex]d=\frac{2}{3}[/tex] et [tex]e=-\frac{27}{4}[/tex]
J'ai donc les courbes :
* P1 d'équation [tex]y=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+6x[/tex]

* P2 d'équation [tex]y= \frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}+8x+\frac{2}{3}[/tex]

* P3 d'équation [tex]y= \frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}+8x-\frac{27}{4}[/tex]

Par contre j'ignore si elles n'ont qu'un point commun (un dessin serait la façon la plus simple de le savoir (mais ce ne serait qu'une conjecture, sûre à 99,99999... %, mais seulement une conjecture).
C'est fait, oui, il n'y a qu'un point commun...

Mais j'aurais pu faire que le point commun soit en x = 0 (ou n'importe quoi d'autre)... et les tangentes en x=-1 seraient parallèles et non confondues...

Mais là, le problème est fait à l'envers, j'ai choisi les primitives pour que les tangentes en x = -1, soient une...
Ça, c'est le côté coulisses, côté scène après, il est donc inutile d'essayer de prouver l'unicité de la tangente en x = -1 : ça a été étudié pour, comme disait feu le comique Fernand Raynaud...

NDLR : M...ça ne colle pas, je vais revoir mes calculs : 2 tangentes communes et pas 3... Si mes calculs étaient justes, ça signifierait que le raisonnement est faux...

@+

PS
A propos de ta phrase en rouge, je me demande si on ne peut quand même pas trouver 3 courbes ayant un seul point commun et pour lesquelles chaque tangente au point commun est différente.
Ah... Bin si ! Il suffit que les valeurs en ce point des dérivées soient différentes...

PS1
La définition de la dérivée par une limite que je t'ai donnée est un clin d'œil du destin : elle fait écho à la notion de forme indéterminée 0/0 dont on a parlé...
Le grand psychologue suisse Carl Gustav Jung aurait parlé de "phénomène de synchronicité".
Prenons [tex]f(x)=x^2...f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex]
Et
[tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}[/tex]

Or [tex]\frac{2xh+h^2}{h}[/tex] tend vers 0/0 quand h tend vers 0... indéterminé !

'reusement : [tex]\frac{2xh+h^2}{h}=\frac{h(2x+h)}{h}=2x + h[/tex] et donc la limite cherchée est 2x...
On a donc :
f(x) = x^2 et f'(x) = 2x...

PS2
T'as le chic pour dévoyer les discussions ouvertes par d'autres ;-)
Pôv' malia qui doit être dépassée par les événements...
La prochaine fois, ouvre ta propre discussion ici même si tu veux, ou dans le café mathématique au choix...

Dernière modification par yoshi (11-12-2010 11:17:49)

karlun · 11-12-2010 15:13:02

Salut,

Si j'ai répondu et, dans un dédale, engagé Malia, [ mal y a -t-il? ;-) ]
C'est que j'y ai été invité.

PS: @ Yoshi:
Si j'osais...
Ne peut-on résoudre ce problème (les deux questions) seulement via les dérivées? Cette procédure serait-elle démonstrative?

et la réponse:

Si tu as une idée qui ne m'est pas venue (je ne pense pas à tout), je suis prêt à l'étudier.

Et en plus j'ai fait attention à ne pas donner de solution(s) au problème de départ comme tu l'avais souhaité.

Maintenant, pour Malia (le mal est fait ;-) ) je me lâche.

Résumé calculé:

[tex]C1\equiv \,\,y=-{x}^{2}+3x+6[/tex]
[tex]C2\equiv \,\,y={x}^{2}+7x+8[/tex]
[tex]C3\equiv \,\,y={x}^{3}-{x}^{2}+4[/tex]

Tangente? => dérivées.

[tex]C'1\,=>\,\,y1'=-2x+3[/tex]
[tex]C'2\,=>\,\,y2'=2x+7[/tex]
[tex]C'3\,=>\,\,y3'=3{x}^{2}-2x[/tex]

On recherche l'intersection des courbes représentatives des dérivées:

[tex]C'1\,\cap\,C'2\,\,=>-2x+3=2x+7 =>x=-1[/tex]
[tex]C'1\,\cap\,C'3\,\,=>-2x+3=3{x}^{2}-2x =>x=\pm\-1[/tex]
[tex]C'2\,\cap\,C'3\,\,=>2x+7=3{x}^{2}-2x =>x=-1 et x= \frac{14}{6}[/tex]

Un point est commun aux trois équations => X=-1
=> y'1,y'2 et y'3 =5 (pente de la tangente).
Qu'est-ce cette abscisse?
C'est ici la bonne rencontre ( je ne perçois pas le lien et ne peut donc rien prouver) car reporter l'abscisse dans les primitives, nous donne l'ordonnée du (des) point(s) pour le(s)quel(s) la pente de la tangente à la courbe en ce(s) point(s) est égale.
Rouge= balayable d'un revers de la main...pffft!!

Je reporte l'abscisse de ce point commun dans C1, C2 et C3 et j'obtiens:
y1=y2=y3=2
Donc le point P(-1,2) est commun aux trois courbes C1, C2, C3.

Hasard? Évidemment je me le suis demandé.

Bon s'il faut trouver un autre exemple ("petit exercice") l'énoncé lui-même rencontre ce même cas de figure: d'avoir un seul point commun entre trois courbes.
Même procédure:
A partir de la primitive de C1,C2 et de C3, C1,C2, C3 sont les équations des fonctions dérivées dont on connait déjà la pente de la tangente (l'ordonnée de A=> pente de la (les) tangente(s) = 2) et dont on sait que ce (ces) point(s) tangent(s)reportée(s) dans les primitives aura (ont) pour abscisse: l'abscisse de A => = -1.)
Reste à calculer les 3 primitives:
[tex]\int^{\infty }_{0}C1\equiv \,y1=-\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{3{x}^{2}}{2}+6x+K1[/tex]
[tex]\int^{\infty }_{0}C2\equiv \,y2=\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{7{x}^{2}}{2}+8x+K2[/tex]
[tex]\int^{\infty }_{0}C1\equiv \,y3=\frac{{x}^{4}}{4}+\frac{{x}^{3}}{3}+4x+K3[/tex]

D'y insérer l'abscisse de A =-1 et on obtient:

[tex]B=\left(-1,-\frac{25}{6}\right)[/tex]
[tex]C=\left(-1,-\frac{29}{6}\right)[/tex]
[tex]D=\left(-1,-\frac{41}{12}\right)[/tex]

Voici l'illustration:

C'est reprise de tout ce que j'ai voulu dire.
A moi d'encore affiner avec d'autres exemples et de tenter (s'il y a lieu) de démontrer (pas mal ce mot "dé-montrer").

A+-*/

PS: je vais tenter de te suivre sur le terrain que tu amènes Yoshi mais qui diffère un peu du mien il me semble.
PS 1: j'ai corrigé la faute; merci de ton attention.

Dernière modification par karlun (11-12-2010 15:58:57)

yoshi · 11-12-2010 15:43:28

Re,

Le mal n'est pas d'avoir répondu à l'invitation, c'est de refuser ce qu'on te dit : que ta procédure est non conforme.
Je ne t'ai pas vu l'admettre (ou alors faut que je change de lunettes : tu as un tel parti-pris d'originalité dans ton expression que parfois, au moins pour moi, ça nuit à la compréhension de tes textes et qu'il arrive que je zappe une ligne), et même tu insistes...
Errare humanum est, sed perseverare diabolicum...
Heureusement, nous ne sommes plus au Moyen-âge, persévérant dans l'erreur, on t'aurait reconnu comme possédé par le diable, et à moins de consentir à être amené à récipiscence (tel Galilée) tu finissais au bûcher...
Pas le temps de voir vraiment avant 17/18 h...

En tous cas, ça : [tex]y3=\frac{{x}^{4}}{3}[/tex], c'est faux (faute de frappe ?)..

C'est [tex]y3=\frac{{x}^{4}}{4}[/tex] et pas 3...

Le mal n'est pas fait (y en a plus), parce que de toutes façons Malia, n'emploierait pas ta procédure - incorrecte - ! à savoir 95% de Q2 pour répondre à Q1...
Testoun un jour, testoun toujours...
Mais j'ai dit que je n'y reviendrais pas...

@+

yoshi · 11-12-2010 19:05:30

Re,

Un point est commun aux trois équations => X=-1
=> y'1,y'2 et y'3 =5 (pente de la tangente).
Qu'est-ce cette abscisse?

Non, il y a un couple de valeurs (abscisse d'un point de C1,2,3 ; coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point) qui est solution unique commune...
Ne parle pas de points, je te l'ai déjà dit...
Depuis le temps que je fais des Maths de ce niveau, je me suis retrouvé à utiliser une ou deux fois, pas plus la courbe représentative de la fonction ayant pour expression algébrique, celle de la dérivée...
Je vais finir par me faire des nœuds avec les doigts à force de taper des phrases ampoulées pareilles : j'y suis obligé si je veux pouvoir espérer t'extirper les "mauvaises" idées du cerveau...
C'était l'exercice qui le voulait : à partir de cette courbe, il fallait lire sur le dessin le signe de ladite dérivée et ses zéros et en déduire le sens de variation de la fonction d'origine.

Précisions encore (à mon tour d'énoncer peut-être une évidence pour toi : dans ce cas, toutes mes excuses).
Pourquoi utiliser une dérivée pour le sens de variation ?
Dans un repère normé ou orthonormé, le sens de de déplacement positif est par convention de G à D sur l'axe des abscisses, de B en H sur l'ace des ordonnées...
Si je prends deux points A et B d'une droite, le trajet A-B peut se décomposer en 2 déplacements : 1 Horizontal et 1 Vertical :
- si les deux sont positifs (ou les deux sont négatifs), on pourra dire que la droite monte (en suivant le sens positif de parcours pour l'ace des abscisses, coefficient directeur positif (dans ce cas on le nommera aussi pente).
- Si les deux sont de signes contraires, la droite "descend", le coefficient directeur est négatif...
Cela posé, revenons à notre courbe, je place un point sur cette courbe et je trace la tangente en ce point à la courbe et je rends la tangente solidaire du point : si je déplace le point sur la courbe, la tangente suit.
Exemple concret, je prends [tex]y =x^3-3x+2[/tex] et un point sur la courbe en (-oo ; -oo) (si je peux me permettre cette notation).
Je trace la tangente en ce point à la courbe...
Déplaçons le point vers (+oo ; +oo)...
Que voit-on ?
On voit que la direction (au sens des maths) de la tangente reste "montante" jusqu'à x=-1 où elle est horizontale, puis elle devient descendante jusqu'à x = 1, puis de nouveau montante...

Le coefficient directeur est d'abord positif, puis il s'annule, devient négatif, s'annule et redevient postif.
La courbe est donc croissante, rencontre un "maximum", décroissante, rencontre un "minimum", croissante...
Mais ça, c'est "on voit que"... Pas "légal"...
Or, il se trouve que la valeur du coefficient directeur de la tangente en tout point de la courbe est la valeur de la dérivée pour l'abscisse de ce point...
Le signe de la dérivée sera donc aussi celui du coefficient directeur et donc permettra de connaoitre les variations de la courbe :
D'où le tableau de variation.
f'(x)=3x²-3 = 3(x²-1)=3(x+1)(x-1)

x     |-oo   -1    +1   +oo|

------|-------|-----|------|

f'(x) |   +   0  -  0  +   |

------|-------|-----|------|

      |     / 4 \       /+oo|

f(x)  |    /     \     /   |

      |-oo/       \ 0 /    |

Au passage, une curiosité : si tu traces la courbe d'équation y = x^3, tu constateras que la tangente en (0 ; 0) est non seulement horizontale, mais qu'elle la traverse : on dit que le point (0 ; 0) est un point d'inflexion : la croissance devient de moins en forte, s'annule et réaugmente...
Là encore on peur le prévoir grâce à la dérivée... seconde y" (la dérivée de la dérivée) : le point d'inflexion correspond à f"(x)=0...
Voilà, j'ai fini. J'espère, si besoin tu en avais, t'avoir montré les fondement de l'utilisation d'une dérivée.
Tu vois, j'ai superbement ignoré la courbe dont l'équation est l'expression algébrique de la dérivée...

Bon quand à ce matin, je n'étais pas mon assiette (ou encore dans mon bol), le point commun cherché à mes P1, P2 et P3 était [tex]A\left(-1\;;\;-\frac{25}{6}\right)[/tex]. Et de plus pour l'une des courbes je n'avais pas utilisé la bonne équation... Y a des jours, on ferait mieux de rester couché...

Les équations :
* P1 d'équation [tex]y=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+6x[/tex]

* P2 d'équation [tex]y= \frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}+8x+\frac{2}{3}[/tex]

* P3 d'équation [tex]y= \frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}+8x-\frac{3}{4}[/tex]
La tangente commune a pour équation [tex]y=2x-\frac{13}{6}[/tex]

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 06-12-2010 21:06:33

Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#2 06-12-2010 23:37:16

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#3 06-12-2010 23:55:55

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#4 07-12-2010 16:15:04

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#5 07-12-2010 23:37:25

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#6 08-12-2010 09:24:53

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#7 08-12-2010 11:24:06

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#8 08-12-2010 11:27:45

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#9 08-12-2010 11:50:27

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#10 08-12-2010 12:38:35

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#11 08-12-2010 12:59:08

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#12 08-12-2010 13:06:26

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#13 09-12-2010 17:15:03

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#14 09-12-2010 19:56:46

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#15 09-12-2010 20:41:45

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#16 10-12-2010 22:44:38

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#17 11-12-2010 00:20:17

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#18 11-12-2010 09:33:31

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#19 11-12-2010 10:32:42

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#20 11-12-2010 15:13:02

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#21 11-12-2010 15:43:28

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

#22 11-12-2010 19:05:30

Re : Point d'intersection et tangente à la courbe [Résolu]

Pied de page des forums