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D'giu

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V/F Espace Vectoriel

Bonjour,

j'ai besoin d'aide pour quelques V/F sur les espaces vectoriels:

1.Si (x,y) est liée alors il existe  [tex]\Lambda \,\in \,K[/tex]  tel que y= [tex]\Lambda \[/tex]x.

2. L'ensemble E des applications de R dans R qui sont affines R+ et affines sur R- est un sous-espace vectoriel de dimension 3 de C(R,R).

3. Dans R², une droite vectorielle admet une infinité de supplémentaires.

4.Si u [tex]\in L\left(E,F\right)\,pour\,tout\,\left(x1,...xp\right)\in {E}^{p},\,rg\left(u\left(x1\right),...,u\left(xp\right)\right)\leq rg\left(x1,...xp\right)[/tex]

5.Si u et v sont 2 applications linéaires de E dans F, alors Im(u+v)=Im u + Im v

6. L'endomorphisme D de K[X] qui à P associe P' n'est pas injectif mais il est surjectif.

7. L'endomorphisme u de K[X] qui à P associe XP est injectif mais n'est pas surjectif.

8.Si x1,...xn sont n réels distincts et que L1,...,Ln sont les polynômes de Lagrange associés à ces points  [tex]\sum^{n}_{i=1}Li\left(X\right)[/tex]  est un polynôme constant.

9.Si x1,...xn sont n réels distincts et que L1,...,Ln sont les polynômes de Lagrange associés à ces points  [tex]\sum^{n}_{i=1}xi²Li\left(X\right)[/tex]=X².

Merci beaucoup.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : V/F Espace Vectoriel

Bonsoir,

1. Et si x=0????
2. Oui (f(x)=ax+b sur R+, f(x)=cx+d sur R-, f(0)=b=d, et il reste 3 coefficients à choisir. De façon plus propre, il faut trouver une base à 3 éléments...).
3. Oui
4. Oui (une application linéaire transforme une famille liée en une famille liée).
5. Non! Ex : u(x,y)=(x,0), et v(x,y)=(0,x). (u+v)(x,y)=(x,x), donc l'image est de dimension 1, alors que Im u+Im v est R^2.
6. Oui, facile avec la définition
7. Oui, facile avec la définition
8. et 9. Oui (par exemple pour 9 les 2 polynômes de chaque côté de l'égalité ont la même valeur en n points, les xi, donc coincident partout puisqu'ils sont de degré au plus n - il faut que n soit supérieur ou égal à 2 pour la question 9.).

Fred.