Forum de mathématiques - Bibm@th.net

D'giu

Membre

Inscription : 06-12-2009

Messages : 21

V/F Groupe, Anneaux, Corps

Bonjour,

encore une fois j'ai besoin de votre aide précieuse pour répondre à quelques V/F, je n'arrive pas à trouver de contre-exemple:

1. La réunion de 2 sous-groupes est un sous-groupe.

2. Dès que n>3, le groupe Sn des permutations de [1,n] n'est pas commutatif.
Vrai

3. Si f est un morphisme entre 2 groupes G et H de neutres eG et eH alors f(eG)=eH

4. Si f est un morphisme entre 2 groupes dont les lois sont notées multiplicativement, on a pour tout x de G  [tex]f\left({x}^{-1}\right)=f{\left(x\right)}^{-1}[/tex] .

5. Un morphisme de groupe est injectif <=> son noyau est réduit à l'élément neutre du groupe de départ.

6. Un groupe fini de cardinal p avec p premier est forcément cyclique.
Peut-être avec Lagrange.

7. Un groupe monogène est nécessairement commutatif.

8. La seule partie d'un anneau (A,+,x) qui est à la fois un sous-anneau et un idéal est A lui-même.

9. Tout anneau intègre est un corps.
Faux,  [tex]Z[/tex]

10. Un corps de caractéristique nulle est forcément infini.
Je sais que c'est vrai pour un anneau mais pour un corps?

Merci beaucoup.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : V/F Groupe, Anneaux, Corps

Salut,

  Pas étonnant que tu ne trouves pas de contre-exemples, la plupart des propriétés sont vraies.
Rapidement, sont vraies 3,4,5,6,7,8,10...
Quelques indications :
. Pour 1, considère deux sous-groupes de Z.
. Pour 10, un corps, c'est un anneau qui vérifie des conditions particulières....
. Pour 6, prends un élément qui n'est pas l'élément neutre, et considère le sous-groupe engendré par cet élément
. Pour 8, utilises que 1.a=a, et si 1 est dans un idéal....

Fred.

D'giu

Membre

Inscription : 06-12-2009

Messages : 21

Re : V/F Groupe, Anneaux, Corps

Salut,

  Pas étonnant que tu ne trouves pas de contre-exemples, la plupart des propriétés sont vraies.
Rapidement, sont vraies 3,4,5,6,7,8,10...
Quelques indications :
. Pour 1, considère deux sous-groupes de Z.
. Pour 10, un corps, c'est un anneau qui vérifie des conditions particulières....
. Pour 6, prends un élément qui n'est pas l'élément neutre, et considère le sous-groupe engendré par cet élément
. Pour 8, utilises que 1.a=a, et si 1 est dans un idéal....

Fred.

1. Faux, sauf si l'un des 2 est inclus dans l'autre.

10. Vrai

8. Vrai car si c'est un sous-anneau, il contient 1A et un idéal qui contient 1A est forcément l'anneau lui-même.

Merci!