Système à 4 inconnues : méthode du pivot de Gauss [Résolu]

Raphaell · 03-11-2010 17:54:31

Bonjour/bonsoir à tous,

Tout d'abord je me présente, Raphaël étudiant de 1èreS en lycée publique et administrateur du site www.imnotgeek.com . Je suis très content d'avoir atterri sur ce forum où l'aide apportée est excellente ; je compte mettre la main à la patte pour aider les personnes en détresses comme moi sur des chapitres que je gère.

Mais voilà que je coince sur la méthode des pivots de Gauss, malgré avoir lu l'aide sur le dico du site ici : ICI

Après avoir déterminé un polynôme de degré 3 je me retrouve avec un système à 4 inconnues où la méthode de pivot de Gauss semble être la plus appropriée ; cependant je peine à le résoudre. Le système est le suivant :

L1 : a+b+c+d = 0
L2 : -a+b-c+d = -2
L3 : 8a+4b+2c+d = 4
L4 : -8a+4b-2c+d = 24

Voici ce que j'ai fait jusque là :

Je décide en premier lieu d'éliminer l'inconnue d qui me semble être la plus simple à "tuer", j'arrive donc à :

L1 : a+b+c+d = 0
L1-L2 -> L2 : 2a + 2c = 2
L1-L3 -> L3 : -7a-3b-c = -4
L1-L4 -> L4 : 9a-3b+3c = -24

Mais ensuite que faut-il faire ? Si quelqu'un à la réponse à mon problème ce serait sympa qu'il prenne de son temps pour m'aider.

En vous remerciant d'avance je vous souhaite une bonne soirée à tous.

EDIT : Je viens de comprendre qu'après j'utilise L2 pour éliminer une autre inconnue, mais si je prends b, impossible car c'est 0 ou je m'en occupe pas ?
Je suis un peu embrouillé/perdu...

PROBLEME RESOLU, voir plus bas.

Merci encore pour tout !

Dernière modification par Raphaell (03-11-2010 18:38:08)

freddy · 03-11-2010 18:05:05

Salut,

tu vas fabriquer deux blocs de deux équations séparées de lamanière suivante :

L1+L2 et L1-L2

L3+L4 et L3-L4

et là, la solution est très rapide.

Bb

Raphaell · 03-11-2010 18:07:46

Salut,

Déjà merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre, c'est très gentil.

D'accord, mais je fais les deux blocs avec les équations du système de départ ?

Merci encore !

Dernière modification par Raphaell (03-11-2010 18:07:59)

freddy · 03-11-2010 18:14:26

Re,

laisse tomber le pivot et regarde plus simplement :

calcule L1+L2 puis L3+L4 => deux équations avec deux inconnues que tu résouds ;

puis L1-L2 et L3-L4 => deux équations avec les deux autres inconnues que tu résouds.

En fait, tu ramènes ton système de 4 équations à 4 inconnues, à deux fois deux équations à deux inconnues bien séparées.

Ce n'est pas plus compliqué.

Dernière modification par freddy (03-11-2010 18:15:25)

Raphaell · 03-11-2010 18:23:32

Ah oui d'accord je commence à comprendre ; c'est très bien vu, chapeau !

Donc, si j'ai bien compris après je résous 2 systèmes à 2 inconnues ? Chose simple si c'est bien cela...

merci et encore merci !

freddy · 03-11-2010 18:25:36

Re,

oui, c'est cela !

Et bienvenue sur le site !

Bis bald.

Dernière modification par freddy (03-11-2010 18:26:58)

Raphaell · 03-11-2010 18:28:03

Top merci merci merci merci et encore merci !

Je fais cela et vient poster ici la réponse, peut-être que cela aidera quelqu'un...

EDIT : On trouve :
a = -2
b = 5
c = 3
d = -6

Et après vérification sur la calculette (merci à la TI89 qui traîne chez moi) les résultats sont bons !

Merci encore sans toi je serais encore en train de galérer et merci au site.

Dernière modification par Raphaell (03-11-2010 18:37:23)

thadrien · 04-11-2010 09:16:22

Salut,

Même si ici, il y a plus simple que le pivot de Gauss, il est indispensable que tu maîtrises la méthode. Plus on avance dans les études et plus on essaie d'apprendre des méthodes systématiques qui ne dépendent pas d'un "coup de chance".

Donc, pour résoudre ton système avec cette méthode (ce qui est un bon entrainement), le truc, c'est qu'il faut qu'à chaque étape l'inconnue que tu élimines soit à la première colonne. Concrètement, juste après avoir tué d, il faut permuter les colonnes comme suit :

L1 : d+a+b+c = 0
L2 : 2a+2c = 2
L3 : -7a-3b-c = -4
L4 : 9a-3b+3c = -24

Ensuites, tu continues le traitement tant qu'il n'existe pas de pivot non nul :

1/ Choix d'un pivot.
2/ Permutation des lignes et des colonnes pour le mettre en première position du bloc restant à traiter.
3/ Neutralisation de tous les coefficients en dessous du pivot, en faisant des combinaisons linéaires.

Par exemples, ici, si tu choisis comme second pivot l'inconnue a de L2, tu auras quelque chose de la forme :

L1 : d+a+b+c = 0
L2 : 2a+2c = 2
L3 : 0a + ...b + ...c = ...
L4 : 0a + ...b + ...c = ...

A bientôt.

freddy · 04-11-2010 11:51:00

Salut thadrien,

comme chaque fois que tu interviens, je trouve que ta réponse est insuffisante et incomplète au plan pédagogique.

Je suis entièrement d'accord avec ta remarque : on a rarement la chance de pouvoir résoudre un système de 4 équations linéaires à 4 inconnues aussi simplement.

C'est pourquoi je te propose de finir le travail, et d'aller méthodiquement jusqu'au bout de la démarche, en te mettant à la place de ceux qui te lisent et qui veulent comprendre.

C'est la seule bonne manière pour que tous ceux qui viennent nous lire puissent progresser.

Bien à toi,

Frédéric

Dernière modification par freddy (04-11-2010 11:51:14)

Raphaell · 04-11-2010 17:36:04

Bonjour,

En effet thadrien j'ai revu en cours aujourd'hui la méthode et tout expliqué j'ai bien compris la méthode du pivot de Gauss (enfin je crois), cela étant indispensable ; merci :)

freddy, encore merci pour hier tout était parfaitement juste !

thadrien · 04-11-2010 21:01:48

freddy a écrit :

Salut thadrien,
comme chaque fois que tu interviens, je trouve que ta réponse est insuffisante et incomplète au plan pédagogique.

Je passe mon temps à aider les autres alors que j'ai déjà peu de temps pour moi. Franchement, ce genre de commentaire, ça énerve ! Si je ne développe pas tout, c'est tout simplement car je n'ai pas le temps !

Si ton but est de me faire partir de BibMath, alors, tu as gagné ! Je reviendrai plus !

yoshi · 04-11-2010 21:08:32

Allons, allons,

On se calme...
Freddy a été un peu maladroit, il n'avait pas l'intention de te vexer : tu es toujours le bienvenu sur BibM@th !

@+

freddy · 08-11-2010 10:23:01

Salut,

yoshi a raison, Hadrien, je ne voulais pas te blesser.

Allez, reviens, je te le demande aussi.

A plus.

thadrien · 09-11-2010 12:37:44

Salut,

Avec un peu de recul, je me rends compte que j'ai eu une réaction un peu brutale. Bon, faut dire, j'ai eu une belle journée de *** juste avant, ma prof d'allemand qui m'a dit un truc pas gentil (l'allemand, c'est critique quand on étudie en Allemagne), un problème avec le vélo, bref, que du bonheur.

Le "à chaque fois", ça m'a blessé, mais je reconnais que souvent je suis allé un peu vite sur les explications. A ma décharge, taper du code Tex, c'est un peu compliqué, et j'essaie d'aider trop de monde en un temps trop court.

Bien sûr, je vais revenir, mais je fais un break quelques temps, histoire de souffler un peu. Ben oui, les études en Anglais et en Allemand (je ne fais de l'Allemand que depuis un an !), c'est un peu dûr.

A plus.
Hadrien

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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