Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Golgup

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Pi

Bonjour,

On a trouvé que d'une façon générale:  [tex]\lim_{h \to 0}[/tex] [tex]\left[ah\sum^{X-1}_{i=0}\frac{1}{\sqrt{1-{\left[\cos \left(\frac{\pi }{a}\right)+ih\right]}^{2}}}\right]=\pi [/tex]

pour tout  [tex]a\in {\mathbb{N}}^{\times }[/tex]  et avec   [tex]X=\frac{1}{h}\left(1-\cos \left(\frac{\pi }{a}\right)\right)[/tex]

Pas tres pratique de calculer Pi en utilisant Pi me direz vous! Oui! mais ce n'est que tout théorique! De plus, la somme n'opperant que sur les entiers, il nous faut trouver  [tex]a[/tex] tel que  [tex]X\in {\mathbb{N}}^{\times }[/tex]  Facile!  [tex]a=[/tex]  [tex]1[/tex] et  [tex]2[/tex]

Prenons [tex]a=2[/tex], la plus jolie!

on simplifie et obtient alors que [tex]\lim_{h \to 0}[/tex]  [tex]\left[2h\sum^{\frac{1}{h}-1}_{i=0}\frac{1}{\sqrt{1-{\left(ih\right)}^{2}}}\right]=\pi [/tex]

C'etait la minute mathématique!

++

Dernière modification par Golgup (17-10-2010 20:27:00)

fabricen26

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Re : Pi

Salut Golup
j'ai une préoccupation sur ton indice de sommation. dans quel ensemble appartient h?
suppose que h appartient N, après suppose que h appartient a R et tu vois si ces sommations la sont possibles? si oui après la valeur 0 de i, i prend quelle valeur?

Golgup

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Re : Pi

Hi!

IL faut prendre h= 10^-X ou X est plus grand, j'ai programmé avec Python , par contre la suite converge très très lentement (3,1415) pour X=9

++

Golgup

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Re : Pi

[edit] Fabricien28, pour ne pas t'emmerder avec le h, pose h= 1/n lorsque n tend ver l'infini, la formule se s'implifie en passant le n à l’intérieur de la somme, et on a

[tex]\lim_{n \to +\infty}[/tex] [tex]\left[\sum^{n-1}_{i=0}\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-{i}^{2}}}\right]=\,\frac{\pi }{2}[/tex]

valable pour tout n!

Bon, j'en est fini, a+