Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Alya

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proba estimateur maximum de vraisemblance

Bonsoir,

J'ai l'exercice suivent, mais mon problème c'est que je ne sais pas calculer l'EMV.

Voici l'exo:
dans une espèce, seul 37% des individus survivent aux premières 6 semaines de vie.
On suit une popilation d'oeufs de cette èspèce, que l'on recence à 6 semaines : on trouve 235 petits (vivants).
Quel est l'estimateur du maximum de vraisemlance de la population initiale d'oeufs ( N) ?

Je vous remercie par avance de votre aide.

freddy

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Re : proba estimateur maximum de vraisemblance

Salut,

c'est assez simple à comprendre. On te dit qu'on sait qu'après 6 semaines de vie, il ne reste que 37 % des individus d'une espèce.

On te dit ensuite qu'on suit une population de taille N et il reste 235 petits vivants après 6 semaines de vie.

Donc on a  [tex]N=\frac{235}{0,37}=635\,[/tex] individus, selon le principe du max de vraisemblance.

Ce principe dit implicitement : ce qui se réalise est ce qui doit se réaliser avec la plus grande probabilité.

Bb

Dernière modification par freddy (25-10-2010 09:45:12)

Alya

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Re : proba estimateur maximum de vraisemblance

Merci freddy de votre explication.
J'ai une question : où est l'estimateur maximum de vraisemlance ? c'est N ?

Mais moi j'avais cmpris du principe de l'EMV "d'après mon cours", qu'on nous donne un modéle avec parametre inconnu et on cherche le parametre qui maximise la probabilité qu'un évennement de ce modèle se réalise.
Alors que dans cet exercice on nous donne le parametre 37% =0,35  qui est la probabilité de survivre après 4 semaines.

freddy

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Re : proba estimateur maximum de vraisemblance

Bonjour,

en effet, ton problème, tel que tu nous le donnes, est curieux. Je me suis dit que ton prof. voulait vérifier votre bon sens.

Tu parles maintenant de 4 semaines, ce n'est plus 6 ?

Attention, j'ai corrigé mon erreur de calcul, j'avais pris 35 %.

Sinon, ok pour la définition mathématique de l'emv, mais alors il faudrait construire une loi de probabilité du phénomène étudié (géométrique par exemple).

Reformule mieux ton problème si tu peux, je "vois" de mon côté, j'ai un peu de "boulot" ...

A te lire.

Dernière modification par freddy (25-10-2010 09:56:17)

Alya

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Re : proba estimateur maximum de vraisemblance

Bonsoir,

Pardon pour mon écriture je vais faire un effort :)

En fait c'était 4 semaines dans l'exo je me suis trompée la première fois mais ça n'a pas d'importance.

Pour la loi, voilà mon idée : j'appelle la population qui a survécu après 4 semaines "m". m suit une loi binomiale (N , 0.37)  car elle est égale à la somme de N variables de bernouillis m = X1+X2+.....+XN   avec  Xi =1 si le i-ème individu est vivant, et Xi = 0 sinon.

Ensuite, j'applique la formule de la loi binomiale à P(m=235) que je dérive par rapport à p (le paramètre de la variable binomiale) pour trouver la valeur de p qui maximise cette probabilité.

Que pensez vous de cette idée ?

Dernière modification par Alya (25-10-2010 23:08:55)

freddy

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Re : proba estimateur maximum de vraisemblance

Bonjour,

ben si, ça a de l'importance, car je continue à ne pas comprendre.

Tu cherches p (paramètre de la binômiale) ou N (taille de l'échantillon d'origine) ???

A te lire.

freddy

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Re : proba estimateur maximum de vraisemblance

Re,

je viens d'avoir une début de lueur d'espoir de compréhension.

OK, tu as p=0.37 et tu cherches N, taille de la population d'origine. OK pour la somme de N (inconnu) v.a de bernoulli  INDEPENDANTES (important à préciser) de paramètre p, et donc tu formes la prob(m=235).

Tu vas trouver une formule compliquée en N => utiliser la formule de Stirling pour approximer les factorielles puis tu appliques le théorème de l'emv.

A te lire, freddy

Dernière modification par freddy (26-10-2010 09:37:15)

freddy

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Re : proba estimateur maximum de vraisemblance

Re,

on finit le boulot (car on n'aime pas laisser trainer un sujet pas fini). Donc p est connu et N est inconnu. On cherche son EMV. On calcule la vraisemblance :

[tex]L(N;p,m)=P(m=235)=\frac{N!}{m!(N-m)}\times p^m\times (1-p)^{N-m}[/tex]

Pour les factorielles, on utilise l'approximation de Stirling : [tex] N! \equiv \sqrt{2\pi N}\times \left(\frac{N}{e}\right)^N[/tex]

On trouve alors la fonction de vraisemblance suivante :

[tex]L(N;p,m)=\frac{\sqrt{2\pi}}{2\pi}\times \exp\left((-m-\frac12)\ln(m)+m\ln(p)\right)\times f(N) [/tex]
[tex]f(N)=\exp\left((N+\frac12)\ln(N)-(N-m+\frac12)\ln(N-m)+(N-m)\ln(1-p)\right)}[/tex]

On prend soin de bien isoler l'inconnue N du reste. L'annulation de la dérivée première de L par rapport à N va donner l'emv cherchée :

[tex]\ln(N)+\frac{N+\frac12}{N}-\ln(N-m)-\frac{N-m+\frac12}{N-m}+\ln(1-p)=0\; \Leftrightarrow N_{emv}=\frac{1-p}{p}\times m[/tex]

pour m=235 et p=37 %, on a N=400.

Une première estimation (force brute) donnait 635 !!!

C'est beau, la statistique mathématique, non ?

Dernière modification par freddy (27-10-2010 17:33:08)