Trouver l'ensemble de définition. [Résolu]

sassin · 30-08-2010 16:22:54

Bonjour,

A chaque début d'exercice, on nous demande de définir l'ensemble de définition mais le problème est que je n'ai compris comment faire pour le trouver.

J'aurai donc besoin d'aide s'il vous plaît pour comprendre comment trouver l'ensemble de définition.

Merci d'avance.

thadrien · 30-08-2010 17:31:12

Salut,

L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des x tels que f(x) existe.

Trouver un domaine de définition n'est pas un "coup de génie" mais est purement méthodique voire algorithmique. Il te suffit d'appliquer les règles suivantes :

a(x) * b(x) est défini si et seulement si a(x) et b(x) sont définies.
a(x) / b(x) est défini si et seulement si a(x) et b(x) sont définies ET b(x) différent de 0.
a(x) + b(x) est défini si et seulement si a(x) et b(x) sont définies.
a(x) - b(x) est défini si et seulement si a(x) et b(x) sont définies.
ln(a(x)) est log(a(x)) sont définis si et seulement si a(x) est défini ET a(x) strictement positif.

Exemple : trouver le domaine de définition de f(x) = 1/(x log(1/(x-1)).
f(x) est défini [Je note <> pour différent de, j'arrive pas à apprendre ce fichu Latex.]
<=> x log(1/(x-1)) est défini ET x log(1/(x-1)) <> 0
<=> log(1/(x-1)) est défini ET x <> 0 ET 1/(x-1) différent de 1
<=> 1/(x-1) > 0 ET x <> 0 ET x-1 <> 1
<=> x-1 > 0 ET x <> 0 ET x <> 2
<=> x > 1 ET x <> 0 ET x <> 2

Donc Df = ]1;2[ UNION ]2;+infini[.

Have a lot of fun !

Dernière modification par thadrien (30-08-2010 19:53:39)

freddy · 30-08-2010 17:57:45

thadrien a écrit :

Salut,
L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des x tels que f(x) existe.
Trouver un domaine de définition, contrairement à ce que laissent croire certains profs à la pédagogie douteuse, n'est pas un "coup de gémais est purement méthodique voire algorithmique. Il te suffit d'appliquer les règles suivantes :
[tex]a(x) \times b(x)[/tex] est défini si et seulement si a(x) et b(x) sont définies.
[tex]\frac{a(x)}{b(x)}[/tex] est défini si et seulement si a(x) et b(x) sont définies ET [tex]b(x) \neq 0[/tex].
a(x) + b(x) est défini si et seulement si a(x) et b(x) sont définies.
a(x) - b(x) est défini si et seulement si a(x) et b(x) sont définies.
ln(a(x)) est log(a(x)) sont définis si et seulement si a(x) est défini ET a(x) strictement positif.

Salut thadrien,

deux remarques :

1 - tes règles méthodiques sont sympa, quoique redondantes ;

2 - tu fais remarquer la pédagogie douteuse de certains profs (humm, j'ai envie de sortir la boîte à gifles ...), je pense que tu te dois alors d'être sans reproche.

Dans un petit sujet amusant, tu t'es contenté de faire ce que tu dénonces, à avoir dire "y'a qu'à, faut qu'on" ... sans montrer comment il fallait faire ...

Une bonne soirée.

Freddy

PS : ah oui, j'oubliai : si tu pouvais te mettre à écrire en Latex, tu y gagnerais en clarté.

Dernière modification par freddy (30-08-2010 18:03:42)

yoshi · 30-08-2010 19:27:00

Salut,

Bon, je vais essayer, moi, d'être terre à terre...

Une fonction numérique f prend un élément, mettons x, d'un ensemble de départ et te fournit un élément dans un ensemble d'arrivée.
Les deux premières fonctions que tu as rencontrées, en 3e, sont les fonctions linéaires et les fonctions affines.
Un exemple (simple) de chaque :
[tex]\begin{cases}f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\ x \mapsto 2x\end{cases}[/tex] et [tex]\begin{cases}f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\ x \mapsto -3x+2\end{cases}[/tex]

Le domaine de définition de chacune est l'ensemble de départ tout entier : il n'y a en effet aucun nombre de l'ensemble de départ qui n'ait pas d'image dans l'ensemble d'arrivée.

Tu vas vu ensuite les fonctions carré et cube en seconde.
La, encore quel que soit le nombre réel a, [tex] f(a) =a^2 et f(a)=a^3[/tex] existent toujours : ces nombres peuvent toujours être calculés...
Le Domaine de définition, là encore est l'ensemble de départ tout entier...

Mais tu as vu aussi cette année-là, la fonction racine carrée [tex]x \mapsto \sqrt x[/tex]
Par contre là, il y a des restrictions à apporter : x ne peut être négatif. En effet [tex]\sqrt{-2}[/tex] n'existe pas (puisqu'on ne peut pas trouver b, tel que b² = -2)
Le domaine de définition là doit être par exemple [tex]\mathbb{Z}^+\text{ ou }\mathbb{R}^+ \text{ ou ... }[/tex]
Ça dépend de l'énoncé, mais la quantité sous la racine ne peut être négative : il te faut donc, dans ton domaine de définition, ne conserver que les nombres qui observent cette condition...
Voyons maintenant [tex]\sqrt {x-2}, \;\sqrt {x+2}\text{ et }\sqrt{x^2+x-2}[/tex]
Alors
* [tex]\sqrt{x-2}[/tex] : ce n'est pas x qui doit être positif ou nul mais la quantité sous la racine donc x - 2 >=0, soit x>=2 autrement dit : [tex]x \in [2\;;\;+\infty[[/tex]
* [tex]\sqrt{x+2}[/tex] : sans surprise, on a [tex]x \in [-2\;;\;+\infty[[/tex]
* [tex]\sqrt{x^2+x-2}[/tex] : tiens, tiens...Y a de l'écho ;-) factorisons : [tex]\sqrt{x^2+x-2}=\sqrt{(x+2)(x-1)[/tex]
Et (x+2)(x-1) est négatif entre les racine, positif à l'extérieur, d'où : [tex]x \in ]-\infty\;;\;-2]\cup[1\;;\;+\infty[[/tex]

Mais en 2nde (encore ? Et oui, tout part de là !), tu as vu la fonction inverse : [tex]f(x)=\frac 1 x[/tex]
et tu as fait connaissance avec les "valeurs interdites"... Ici le 0. Mais là encore, c'est le dénominateur qui ne doit pas être nul pas forcément x...

Examinons :
[tex]f(x)=\frac {1}{x-2}[/tex], [tex]f(x)=\frac {1}{x+2}[/tex], [tex]f(x)=\frac {1}{x^2+x-2}[/tex], [tex]f(x)=\frac {1}{\sqrt{x-2}}[/tex],[tex]f(x)=\frac {1}{\sqrt{x+2}}[/tex] et [tex]f(x)=\frac {1}{\sqrt{x^2+x-2}}[/tex].
Reprenons :
* [tex]f(x)=\frac {1}{x-2}[/tex] : la valeur qui annule le dénominateur est 2, donc [tex]x\in ]-\infty\;;\;2[\;\cup\;]2\;;\;+\infty[[/tex]. On écrit aussi [tex]\mathcal{D}=\mathbb{R}-\{2\}[/tex]
* [tex]f(x)=\frac {1}{x+2}[/tex] : la valeur qui annule le dénominateur est -2, donc [tex]x\in ]-\infty\;;\;-2[\cup]-2\;;\;+\infty[[/tex]. On écrit aussi [tex]\mathcal{D}=\mathbb{R}-\{-2\}[/tex]
* [tex]f(x)=\frac {1}{x^2+x-2}[/tex] : : les valeurs qui annulent le dénominateur sont -2, donc :
[tex]x\in ]-\infty\;;\;-2[\;\cup\;]-2\;;\;1[\;\cup\;]1\;;\;+\infty[[/tex]. On écrit aussi : [tex]\mathcal{D}=\mathbb{R}-\{-2;1\}[/tex]
* [tex]f(x)=\frac {1}{\sqrt{x-2}}[/tex] : là, il faut tenir de la valeur interdite, mais aussi de la racine carrée, d'où [tex]x\in]2\;;\;+\infty[[/tex]
* [tex]f(x)=\frac {1}{\sqrt{x+2}}[/tex] : même commentaire, d'où [tex]x\in]-2\;;\;+\infty[[/tex]
* [tex]f(x)=\frac {1}{\sqrt{x^2+x-2}}[/tex] : là, il faut tenir des valeurs interdites, mais aussi de la racine carrée, d'où [tex]x\in]-\infty\;;\;-2[\;\cup\;]1\;;\;+\infty[[/tex]

C'est volontairement que j'ai repris les mêmes exemples, ainsi tu peux observer les similitudes et les différences.

Des exemples pour te faire les dents ?

@+

PS
Je vois que freddy a réagi : il a failli sortir la boîte à gifles... Bah, c'est le propre de beaucoup de jeunes que d'être excessifs : <<[i] Si jeunesse savait... si vieillesse pouvait ! >>
Il a généralisé à partie d'1 cas ou 2 de profs de maths "tordus", qu'il a pu rencontrer...
Errare humanum est... sans oublier la suite (trop méconnue) sed perseverare diabolicum...

thadrien · 30-08-2010 20:02:09

yoshi a écrit :

PS
Je vois que freddy a réagi : il a failli sortir la boîte à gifles... Bah, c'est le propre de beaucoup de jeunes que d'être excessifs : <<[i] Si jeunesse savait... si vieillesse pouvait ! >>
Il a généralisé à partie d'1 cas ou 2 de profs de maths "tordus", qu'il a pu rencontrer...
Errare humanum est... sans oublier la suite (trop méconnue) sed perseverare diabolicum...

Pardonnez-moi mes remarques incisives, mais j'ai trop souffert dans mon passé de certaines bêtises de ce genre. J'ai eu des profs absolument formidables, et je les remercie de tout coeur, et je salue les millions d'autres profs formidables.

Par contre, j'ai vraiment beaucoup souffert plus jeune de certaines bêtises de ce genre. Je ne veux pas rentrer dans les détails de certaines choses qui me sont arrivées personnellement mais j'ai de très bonnes raisons de vouloir dégommer certains.

freddy · 30-08-2010 21:24:17

thadrien a écrit :

Par contre, j'ai vraiment beaucoup souffert plus jeune de certaines bêtises de ce genre. Je ne veux pas rentrer dans les détails de certaines choses qui me sont arrivées personnellement mais j'ai de très bonnes raisons de vouloir dégommer certains.

Comme nul n'est parfait en ce bas monde, montre toi magnanime à leur endroit pour qu'un jour, d'autres puissent l'être à ton endroit.

Là est tout le secret d'une vie sans trop de trous dans l'estomac.

A te lire bientôt, donc ...

yoshi · 30-08-2010 21:39:24

Re,

Va pour le 1/4 h philosophique...
Alors, une citation (de qui ? chais pas...) :
<< Ne fais pas aux autres ce que tu ne voudrais pas qu'ils te fassent ! >>
J'ai moi aussi rencontré des profs pitoyables (rares, heureusement) notamment à mon oral (obligatoire) du Bac où j'ai dû faire 3 démos différentes avant de tomber sur celle qui eut l'heur de plaire à l'examinatrice...
Me faire ça à moi, qui ,en terminale, ne risquait pas d'être plagié à cause de ma propension à être original, voire "tordu" quand je résolvais les problèmes !...

Bah, c'est du passé, c'est oublié : ça n'était qu'un épiphénomène après tout...
Par contre, dans ma vie professionnelle, j'avais tiré les leçons du passé : j'avais soigneusement pris le contre-pied de tous les exemples (donnés par mes profs) que j'avais pu juger inappropriés... J'ai même donc de temps à temps à autre une pensée reconnaissante pour eux (ou leur mémoire..) ;-)

@+

sassin · 30-08-2010 22:29:35

Bonsoir, et merci à tous pour vos réponses. Et oui yoshi, je voudrai bien s'il te plaît des exemples pour me faire les dents.

Merci d'avance.

ps: thadrien je peux te comprendre, j'ai également souffert à cause de mon prof de math cette année.

Dernière modification par sassin (30-08-2010 22:34:19)

freddy · 31-08-2010 00:00:11

Re,

tiens, deux petites qui me viennent à l'esprit :

[tex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}[/tex]

[tex]g(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}[/tex]

sassin · 31-08-2010 10:45:27

salut,

Freedy, je n'arrive pas à les faire car je ne trouve pas leur racines. Pourrait-on m'expliquer comment faire lorsqu'on ne peut pas factoriser ?

Merci d'avance.

freddy · 31-08-2010 11:35:05

Salut sassin,

puisque tu ne trouves pas de racine réelle, cela veut dire que les deux polynomes ne s'annulent pas (n'admettent pas de 0). On en déduit qu'ils sont de signe constant.

Peux tu, peut être par une courte étude de chacun des deux polynomes, trouver ce signe ? Si oui, tu en déduiras le domaine de définition.

Bb

yoshi · 31-08-2010 12:22:55

Re,

Pour compléter ce que dit freddy, peux-tu à ton tour compléter cette règle :
<< Lorsque le discriminant du polynône ax²+bx+c est <0, alors ce polynôme est du signe de ... quel que soit x. >>.

Ensuite, voilà quelques amuse-gueules

1. [tex]\frac{\sqrt{x^2+x-2}}{\sqrt{x^2-3x-4}}[/tex]

2. [tex]\sqrt{\frac{x^2+x-2}{x^2-3x-4}}[/tex] Différent du 1. Tableau de signes obligatoire

3. [tex]\sqrt{|x^2+x-2|}[/tex] Attention, piège...
Ces deux-là vont te demander une étude de cas (on va voir si les val. abs. de 2nde sont acquises) :
4. [tex]\sqrt{x^2+|x|-2}[/tex]
5. [tex]\sqrt{x^2+|x-2|}[/tex]

@+

sassin · 31-08-2010 13:41:16

Re,

Lorsque le discriminant du polynône ax²+bx+c est <0, alors ce polynôme est du signe de a.

Donc je pense que l'ensemble de définition pour f(x) et g(x) est D=[tex]\mathcal{R}[/tex]+

Ensuite,

1) je pense que l'on doit s'intéresser qu'au dénominateur, donc x [tex]\in [/tex] ] [tex]-\infty [/tex];-1[ [tex]\cup [/tex] ]4; [tex]+\infty [/tex][

Merci d'avance.

freddy · 31-08-2010 14:11:46

@sassin !!!

calcule f(-2) et g(-1) et dis moi ce que tu en penses !

Dans la méthode "vendue" par thadrien, il a oublié un tout petit point : la vérification au pif du genre : x=0 ou bien x=+/- 1 voire +/- 2 quand ces valeurs ne sont pas interdites.

Cela permet de vite voir des "bourdes" ...

Bon courage et avec yoshi, tu es en de très bonnes mains.

Bb

yoshi · 31-08-2010 17:44:32

Re,

Bon, sassin les polynômes sous la racine sont effectivement du signe de a, donc positifs, mais il ne faut pas oublier que j'ai ajouté quel que soit x.
Chercher un domaine de définition, c'est chercher quelles sont les valeurs de x qui n'ont pas d'image par la fonction et garder les autres...
Quand tu réponds [tex]\mathbb{R}^+[/tex] tu réponds pour f(x), pas pour x... Comprends-tu ?
Si le polynôme est > 0 quel que soit x, cela signifie que [tex]\mathbb{R}[/tex] convient pour x et pas seulement [tex]\mathbb{R}^+[/tex]... ok ? Idem pour g(x)...

1) je pense que l'on doit s'intéresser qu'au dénominateur, donc x [tex]\in [/tex] ] [tex]-\infty [/tex];-1[ [tex]\cup [/tex] ]4; [tex]+\infty [/tex]

Tu réponds à mon exemple n°1 ?
Non, tu dois t'intéresser au numérateur et au dénominateur...
Si j'avais donné : 1. [tex]\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x^2-3x-4}}[/tex], la réponse aurait été oui. En effet, quelle "contrindication" peut-il y avoir au numérateur pour x dans ce cas ? Aucune ! Le numérateur es, lui est défini sur ]-oo ; +oo[, donc tu te concentres sur le seul dénominateur.
Mais dans l'exemple n°1 que j'ai donné :
- Au numérateur, la quantité sous le radical ne doit pas être négative,
- Au dénominateur, la quantité sous le radical ne doit pas être négative non plus,
- Le dénominateur ne doit pas être nul.

Mais attention, ce n'est pas fromage ou dessert, c'est fromage et dessert...
Tu dois éliminer toutes les valeurs qui ne conviennent pas...
Donc il te reste des valeurs à éliminer : prenons par exemple x = -1,5, on se retrouve avec :
[tex]\frac{\sqrt{2,25-1,5-2}}{\sqrt{2,25+4,5+4}}[/tex]
Problème au numérateur (= -1,25 sous la racine !), et pourtant -1,5 est bien dans ton domaine de définition...
Si tu ne vois pas, tu traces une droite graduée, et tu places le 0 bien sûr, mais aussi -2, -1, 1 et 4.
Et tu hachures les zones refusées, là, tu vas voir...

@+

sassin · 01-09-2010 12:28:09

Bonjour,

J'ai plusieurs questions vous poser et elles vont sûrement vous paraître idiotes.

Tout d'abord, Freddy je ne comprends pas où veux-tu en venir lorsque tu me demandes de calculer f(-2) et g(-1).
Il a aussi la phrase ci-dessous que je ne comprends pas:

freddy a écrit :

Dans la méthode "vendue" par thadrien, il a oublié un tout petit point : la vérification au pif du genre : x=0 ou bien x=+/- 1 voire +/- 2 quand ces valeurs ne sont pas interdites.
Cela permet de vite voir des "bourdes" ...

Ensuite, Yoshi, je ne comprends pas tous ce qu'il y a ci-dessous, sinon pour le reste il n'y a pas de soucis.

yoshi a écrit :

Tu dois éliminer toutes les valeurs qui ne conviennent pas...
Donc il te reste des valeurs à éliminer : prenons par exemple x = -1,5, on se retrouve avec :
[tex]\frac{\sqrt{2,25-1,5-2}}{\sqrt{2,25+4,5+4}}[/tex]
Problème au numérateur (= -1,25 sous la racine !), et pourtant -1,5 est bien dans ton domaine de définition...
Si tu ne vois pas, tu traces une droite graduée, et tu places le 0 bien sûr, mais aussi -2, -1, 1 et 4.
Et tu hachures les zones refusées, là, tu vas voir...

Merci d'avance.

Dernière modification par sassin (01-09-2010 12:30:11)

thadrien · 01-09-2010 14:18:01

sassin a écrit :

J'ai plusieurs questions à vous poser et elles vont sûrement vous paraître idiotes.

Il n'y a pas de question idote. Il n'y a que des réponses idiotes.

sassin a écrit :

Tout d'abord, Freddy je ne comprends pas où veux-tu en venir lorsque tu me demandes de calculer f(-2) et g(-1).

Il essaie de te faire voir que ces valeurs font partie du domaine de définition. Si tu peux les calculer, c'est qu'elles font partie de ton domaine de définition.

sassin a écrit :

Il a aussi la phrase ci-dessous que je ne comprends pas:
freddy a écrit :
Dans la méthode "vendue" par thadrien, il a oublié un tout petit point : la vérification au pif du genre : x=0 ou bien x=+/- 1 voire +/- 2 quand ces valeurs ne sont pas interdites.
Cela permet de vite voir des "bourdes" ...

Tu as deux ensemble : celui des x tels que f(x) est défini (le domaine de définition), et celui que tu as trouvé. Ces deux ensembles devraient être identiques, mais tu n'en est pas sûr.

Afin d'exclure les erreurs grossières, tu testes pour quelques x si ils sont dans les deux ensembles ou dans aucun des deux. Si tu as un x qui est dans l'un des ensembles et pas dans l'autre, tu as un problème.

sassin a écrit :

Bonjour,
J'ai plusieurs questions vous poser et elles vont sûrement vous paraître idiotes.
Tout d'abord, Freddy je ne comprends pas où veux-tu en venir lorsque tu me demandes de calculer f(-2) et g(-1).
Il a aussi la phrase ci-dessous que je ne comprends pas:
freddy a écrit :
Dans la méthode "vendue" par thadrien, il a oublié un tout petit point : la vérification au pif du genre : x=0 ou bien x=+/- 1 voire +/- 2 quand ces valeurs ne sont pas interdites.
Cela permet de vite voir des "bourdes" ...
Ensuite, Yoshi, je ne comprends pas tous ce qu'il y a ci-dessous, sinon pour le reste il n'y a pas de soucis.
yoshi a écrit :
Tu dois éliminer toutes les valeurs qui ne conviennent pas...
Donc il te reste des valeurs à éliminer : prenons par exemple x = -1,5, on se retrouve avec :
[tex]\frac{\sqrt{2,25-1,5-2}}{\sqrt{2,25+4,5+4}}[/tex]
Problème au numérateur (= -1,25 sous la racine !), et pourtant -1,5 est bien dans ton domaine de définition...
Si tu ne vois pas, tu traces une droite graduée, et tu places le 0 bien sûr, mais aussi -2, -1, 1 et 4.
Et tu hachures les zones refusées, là, tu vas voir...
Merci d'avance.

Ce que Yoshi veut dire, c'est qu'en appliquant les règles permettant de trouver un domaine de définition, tu obtiens à la fin une condition nécessaire et suffisante pour que x fasses partie de ton domaine de définition. Il faut ensuite que tu regroupe ces conditions en un ensemble, l'ensemble de définition.

Par exemple, supposes que tu obtiennes, après avoir appliqué la méthode :

h(x) est défini si et seulement si (x < 1 OU x > 2) ET x != 3

Il ne reste plus qu'à transformer cette condition en un ensemble. Pour cela :

1) Tu traces sur ta feuille un trait de couleur noire. Tu places dessus les nombres 1, 2 et 3.
2) Tu hachures en VERT la zone correspondant à x < 1. Tu mets sur ta droite un crochet [ au niveau du 1 pour montrer qu'il est exclut de ta zone.
3) Tu hachure en ROUGE la zone correspondant à x > 2. Tu mets sur ta droite un crochet ] au niveau du 2 pour montrer qu'il est exclut de ta zone.
4) Tu mets une croix en BLEU au niveau du 3 pour indiquer que c'est une valeur interdite.

Ton domaine de définition, c'est tout ce qui est à la fois en VERT, en ROUGE et qui n'est pas BLEU.

yoshi · 01-09-2010 17:40:38

Salut,

Me v'la de retour...
Je m'en vais faire l'exégète de freddy.

Tout d'abord, Freddy je ne comprends pas où veux-tu en venir lorsque tu me demandes de calculer f(-2) et g(-1).

Tu as donné comme réponse : Domaine = R+, donc tu dis que les nombres appartenant à R- ne sont pas acceptés...
En quelque sorte, freddy te répond par une question : << Et pourquoi ça ? >>< Et d'ajouter : << Alors, calcule donc f(-2) et g(-1) pour voir... >>

Ce que j'ai voulu dire c'est ça :
Numérateur : -2 0 1
---------------------|//////////////|////////|----------------------------------->

Dénominateur : -1 0 4
----------------------------§\\\\\\|\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\§--------->

Mais il faut faire ça sur le même axe (pour obtenir la réunion des ensembles de nombres éliminés, ou l'intersection des deux domaines, comme tu veux) :
-2 -1 0 1 4
---------------------|//////§XXXX|XXXX|\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\§--------->

Les § désignent les valeurs interdites, et les X les zones hachurées 2 fois.
Quand je disais, ce n'est pas fromage ou dessert mais fromage et dessert je voulais dire, que ce n'était pas une seule zone sur les deux, mais l'ensemble des eux.
Tu constates que le domaine n'est pas ]-oo ; -1[ U ]4 ; +oo[ : pour te le montrer, je t'ai pris intentionnellement la valeur -1,5 qui appartient au domaine que tu as donné et qui pourtant doit être refusée...

Comprends-tu ?

Tiens, un graphique (c'est aussi une idée à garder à l'esprit) :

@+

PS

Tiens il serait intéressant que tu prouves que :
[tex]y=1[/tex] est une asymptote (autrement dit que [tex]\lim_{x \to \pm\infty}\frac{\sqrt{x2-x+2}}{\sqrt{x^2-3x-4}}=1[/tex] et de discuter la place de la courbe par rapport à l'asymptote...
Voilà qui serait de la bonne révision du cours de 1S : t'en auras besoin cette année.

Dernière modification par yoshi (01-09-2010 20:01:24)

sassin · 02-09-2010 01:57:31

Bonsoir,
J'ai passé toute la nuit à essayer de comprendre et c'est pas facile du tout. Et d'ailleurs, j'aurais jamais imaginer que définir un ensemble de définition aurait été aussi complexe.

Bon, pour commencer, Yoshi, je ne comprends pas pourquoi tu hachures de -2 à 1 pour le numérateur.

Ensuite, je viens de me rendre compte que sans une petite explication pour chaque types de cas, je ne pourrait pas comprendre. C'est-à-dire:
-lorsqu'il y a une racine au numérateur et au dénominateur.
-lorsque la racine englobe le numérateur et le dénominateur. Comment procéder avec le tableau de signe?
-lorsqu'il y a une valeur absolue en dessous de la racine.
-lorsqu'on ne peut pas factoriser comme dans les exo de freddy.

Donc ce serait vraiment sympa yoshi, si tu pourrais me donner une explication pour tous les types de cas possibles, comme tu la si bien fait d'ailleurs dans ton post 4 et je t'en remercie car j'ai tout compris.

Pour ton ps,

y=1 est asymptote à la courbe au voisinage de [tex]+\infty [/tex] si et seulement si : [tex]{\lim }_{+\infty }f=\,1[/tex]
y=1 est asymptote à la courbe au voisinage de [tex]-\infty [/tex] si et seulement si : [tex]{\lim }_{-\infty }f=\,1[/tex]

Merci d'avance.

freddy · 02-09-2010 06:41:34

@sassin,

je réponds un peu tard mais thadrien et yoshi t'ont tout expliqué :

[tex]\begin{cases} f(-2)=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ g(-1)=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{cases}[/tex]

Donc ton domaine de définition est inexact.

Dans les deux cas, il est égal à l'ensemble des nombres réels, puisque les deux polynômes sont strictement positifs pour tout x réel.

Allez, bon courage.

Dernière modification par freddy (02-09-2010 06:53:36)

yoshi · 02-09-2010 07:36:08

Re,

Le numérateur est x^2+x-2, qui se factorise en (x-1)(x+2). Racines - 2 et 1
* Soit tu sais que le polynôme ax²+bx+c est du soine de a à l'extérieur des racines, du signe de -a ente les racines : d'où le tableau :
x |-oo -2 1 +oo|
------------|-----------------|----------|-----------------|
x²+x-2 | + 0 - 0 + |

* Soit t'as oublié et alors tu fais :
x |-oo -2 1 +oo|
------------|----------------|----------|-----------------|
x-1 | - | - 0 + |
------------|----------------|----------|-----------------|
x+2 | - 0 + | + |
------------|----------------|----------|-----------------|
x²+x-2 | + 0 - 0 + |

Au numérateur, x²+x-2 étant sous une racine, il ne peut être négatif. D'où le domaine.

En ce qui concerne l'exo 2, c'est qui ne doit pas être négatif ? Le num ? le dén. ? Nan, la fraction ! Puisque la racine carrée, là est la dernière opération (le 1er exercice, on divisait deux racines).
Et on traite un quotient ou un produit de la même façon pour un tableau de signes - x - ou - / - c'est +...
Donc quel est le signe de la fraction ?
Pour le savoir, tableau :
x |-oo -2 -1 1 4 +oo|
------------|----------------|----------|-----------|---------|-----------|
x+x-2 | 0 0 || || |
-------------|---------- ----|----------|----------||---------||----------|
x²-3x-4 | | | || || |
-------------|---------------|----------|----------||---------||----------|
fraction | | | || || |

Y a plus qu'à compléter...

Quand il y a une racine, il faut poser que ce qui est sous la racine est positif.
Or,
[tex]|x| = \begin{cases}\;\;\;x \text{ si }x>0 \\ -x \text{ si }x < 0\end{cases}[/tex]
Donc :
[tex]|x^2-x+2| > 0, \forall x[/tex]. Domaine ?
Mais, pour les autres :
* tu as deux écritures différentes de x²+|x|-2 selon que x est >0 ou < 0 (factoriser dans chaque cas)
* tu as deux écritures différentes de x²+|x-2| selon que .... est >0 ou < 0 (qu'est-ce qui se cache sous les .... ?)
2 cas aussi

Peux pas faire mieux pour l'instant (je n'ai plus le temps...)

@+

Ps :

Je ne pourrai pas répondre avant la fin de journée.

thadrien · 02-09-2010 09:46:59

Salut,

Le problème que tu as, c'est que tu sais quelles conditions doivent être remplies (pas de 0 au dénominateur, pas de nombre négatif sous la racine, etc...) mais tu connais pas l'algorithme (mot plus classe pour désigner une recette de cuisine) qui permet de passer d'une expression mathématique à son domaine de définition.

La méthode que je t'ai donnée s'applique aisément à chacun des cas :

1) racine(a)/racine(b) est défini
<=> racine(a) est défini ET racine(b) est défini ET racine(b) non nul
<=> a est positif ET b est positif ET b est non nul

2) racine(a/b) est défini
<=> a/b est défini ET a/b est positif

Un truc à connaître : a/b est du même signe que ab quand les deux existent.

3) racine(abs(a)) est défini
<=> abs(a) est défini ET abs(a) est positif
<=> abs(a) est définir car abs(a) est tout le temps positif

4) Cas où tu ne peux factoriser dans R :
racine(ax^2+bx+c) est défini dans R
<=> ax^2+bx+c est positif
<=> a > 0 si delta < 0

Note : ici, on ne considère que des fonctions réelles.

5) Cas où tu ne sais pas factoriser :
racine(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f) est défini
<=> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f est positif
<=> ????
Dans ce cas, non seulement tu ne peux pas déterminer le domaine de définition, mais en plus un mathématicien célèbre à démontrer que tu ne peux pas le faire dans tous les cas. Bref, dans ce cas précis, tu dois t'en passer.

Pour les asymptotes, tu dois apprendre à montrer que la limite vaut 1. Conseil : calcule la limite de f^2 et utilises le théorème qui va bien.

yoshi · 02-09-2010 19:44:50

Re,

Désolé thadrien, même moi, je n'ai pas le courage de te lire jusqu'au bout (en plus, pas de LateX... Comment cela "se fait-ce" ?).
Je vais de nouveau tenter d'être terre à terre.
[tex]1. \frac{\sqrt a}{\sqrt b}[/tex]
[tex]2. \sqrt{a \over b}[/tex]
Quelle différence ?
Alors, moi, je raisonne ainsi (ce n'est pas ainsi qu'on m'a appris, mais c'est ma "cuisine" à moi) :
D'après les règles de priorité des opérations, dans chaque cas, quel est l'ordre des calculs ?
1. Je calcule [tex]\sqrt a\text{, }\sqrt b[/tex], puis le quotient des résultats... Conclusion en forme d'évidence :
si je veux pouvoir calculer le quotient, il me faut préalablement avoir calculé les racines.
Donc attention :
* a doit obligatoirement être positif (ou nul),
* b doit aussi obligatoirement être positif ; de plus en tant que dénominateur on doit avoir [tex]b \not= 0[/tex]
Un x donné doit répondre à n'importe laquelle des conditions posées, d'où le ET de thadrien ou mon intersection des domaines...

2. Je calcule [tex]\frac{a}{b}[/tex], puis la racine carrée du résultat. Conclusion là aussi n forme d'évidence :
* c'est le signe du quotient que je dois examiner, on doit avoir [tex]\frac{a}{b}\geq 0[/tex]
* de plus b est au dénominateur, on doit aussi avoir [tex]b \not= 0[/tex]
Un x donné doit répondre à n'importe laquelle des conditions posées, d'où le ET de thadrien ou mon intersection des domaines...

Passons à la suite...
3. [tex]\sqrt{|x^2+x-2|}[/tex]
4. [tex]\sqrt{x^2+|x|-2}[/tex]
5. [tex]\sqrt{x^2+|x-2|}[/tex]

Quelle(s) différence(s) ?
3. [tex]\sqrt{|a|}[/tex] : je dois d'abord calculer |a|, puis en prendre la racine. Oui mais, attention on doit avoir |a|>=0 !!
Pas de problème, c'est toujours le cas : par définition, une valeur absolue est toujours positive ou nulle...

4. [tex]\sqrt{x^2+|x|-2}[/tex] : là je ne peux pas ramener l'exercice à [tex]\sqrt{|a|}[/tex]. Je ne prends la val. abs que de x...
Je dois quand même calculer dans l'ordre [tex]x^2+|x|-2[/tex], puis la racine... Oui mais on doit avoir [tex]x^2+|x|-2\geq 0[/tex]...
Il y a deux cas selon que x est positif ou négatif :
* x > 0 d'où |x|=x et donc [tex]\sqrt{x^2+|x|-2}=\sqrt{x^2+x-2[/tex], il te faut étudier le signe de [tex]x^2+x-2[/tex] sur [0 ; + oo[,
* x< 0 d'où |x|=-x et donc [tex]\sqrt{x^2+|x|-2}=\sqrt{x^2-x-2[/tex], il te faut étudier le signe de [tex]x^2-x-2[/tex] sur ]-oo ; 0],

5. [tex]\sqrt{x^2+|x-2|}[/tex] : là je ne peux pas ramener l'exercice à [tex]\sqrt{|a|}[/tex]. Je ne prends la val. abs que de x-2...
Je dois quand même calculer dans l'ordre [tex]x^2+|x-2|[/tex], puis la racine... Oui mais on doit avoir [tex]x^2+|x-2|\geq 0[/tex]...
Il y a deux cas selon que x-2 est positif ou négatif :
* x - 2 >= 0 d'où |x-2|=x-2 et donc [tex]\sqrt{x^2+|x-2|}=\sqrt{x^2+x-2[/tex], il te faut étudier le signe de [tex]x^2+x-2[/tex] sur [2 ; + oo[,
* x - 2<= 0 d'où |x-2|=-x+2 et donc [tex]\sqrt{x^2+|x-2|}=\sqrt{x^2-x+2[/tex], il te faut étudier le signe de [tex]x^2-x+2[/tex] sur ]-oo ; 2]

Pour te permettre de vérifier ce que tu as trouvé : en rouge, la courbe correspondant à l'ex 4, en vert celle de l'exemple 5 : note que sur [2 ; +oo[ les courbes coïncident...

@+

PS
Je sais les puristes vont râler... pour le 5.
J'ai voulu mettre en évidence le fonctionnement de la valeur absolue, sinon, on pouvait faire plus court
x² est toujours positif (ou nul) quel que soit x
|x-2| est toujours positif (ou nul) quel que soit x
Donc x²+|x-2| est toujours positif quel que soit x... Et donc la racine carrée de x²+|x-2| existe toujours quelle que soit la valeur de x. D'où le domaine trouvé

freddy · 03-09-2010 00:19:36

Salut,

je confirme : je râle pour le 5, car il vaut mieux que notre ami le voit comme écrit en PS.

Par contre, ta façon de faire détaillé a du sens dans le cas suivant :

[tex]\sqrt{{x}^{2}-\left|x-2\right|}[/tex]

yoshi · 03-09-2010 14:54:29

Voui,voui,

Je sais...
Mais j'avais une raison, une bonne raison de procéder ainsi :
1. Je voulais conserver le x²+x-2,
2. Je voulais une petite piqûre de rappel, avec le cas x - 2 < 0, ce qu'on découvre en étudiant le cas.
3. C'est bien pourquoi j'ai ajouté le PS ;-) Tu aurais préféré un N-B, placé après cette résolution ?

@+

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#1 30-08-2010 16:22:54

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#25 03-09-2010 14:54:29

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