Factorisation [Résolu]

sassin · 17-08-2010 16:20:34

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour comprendre pourquoi je ne trouve pas les mêmes résultats.

ex: Factorisez [tex]{\left(5\,-\,\,x\right)}^{2}-\,{\left(2x\,-4\right)}^{2}[/tex] =0

Sachant que je peux utiliser l'identité remarquable [tex]{a}^{2}-\,{b}^{2}[/tex], je préfère néanmoins développer:

[tex]\left(25\,-\,10x\,+\,{x}^{2}\right)\,-\,\left(4{x}^{2}-16x\,+16\right)\,=\,0[/tex]

[tex]25\,-\,10\,x\,+{x}^{2}-\,4{x}^{2}+\,16x\,-16\,=\,0\,[/tex]

[tex]-3{x}^{2}+\,6x\,+\,9\,=\,0[/tex]

[tex]-{x}^{2}\,+\,2x\,+\,3\,=\,0[/tex]

[tex]{x}^{2}-\,2x\,-\,3\,=0[/tex]

Discriminant = 16

J'utilise ensuite 2 méthodes différentes: la première qui consiste à calculer x1 et x2 et la deuxième qui consiste à chercher une racine évidente :

1ère méthode:
x1=-3
x2=1
donc la forme factorisée s'écrit (x+3) (x-1)=0

2ème méthode:
racine évidente=1
(x+1) (ax + b)=0
[tex]a{x}^{2}+bx\,+ax\,+b\,=0[/tex]
[tex]a{x}^{2}+x\left(a+b\right)\,+b\,=0[/tex]
a=1
b=-3
Donc la forme factorisée s'écrit (x-1) (1x+3)=0

Est ce normal que je ne trouve pas les mêmes formes factorisées ?

Merci d'avance.

Dernière modification par sassin (17-08-2010 19:15:39)

thadrien · 17-08-2010 16:38:17

Salut,

Dans la première méthode, ton calcul de racines est faux.

yoshi · 17-08-2010 17:03:00

Re,

Sachant que je peux utiliser l'identité remarquable , je préfère néanmoins développer

C'est une mauvaise idée, la preuve..

D'autre part, il y a une racine "évidente"... et s'il n'y en avait pas ?

Il est vivement recommandé, pour factoriser, de ne pas développer s'il y a un facteur commun ou un produit remarquable : tu vas renter en TS, ce n'est pas le moment de chercher -volontairement en plus- les emm...ments, non ?

Voilà un exemple :
[tex](3x+2)^3-(x-4)^3=27x^3+24x^2+36x+8x^3+12x^2-48x+64=39x^3+36x^2-12x+72=3(13x^3+12x^2-4x+24)[/tex]
Et après, tu fais quoi ?
Alors que [tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex] te tend les bras ?
Les factorisations 'simplettes' comme celles-là, c'est fini (à de rares exceptions près)...

Ton prof de 3e, celui de 2nde et celui de 1ere n'ont pas assez martelé la consigne ?
Je vais te dire mieux, aux meilleurs de me de mes ex-élèves de 3e, j'ai appris, dans certains développements, à factoriser d'abord pour développer seulement ensuite :
[tex](2x^2+3xy-y^2)(2x^2-3xy+y^2)=[2x^2+(3xy-y^2)][2x^2-(3xy-y^2)]=4x^4-(3x-y^2)^2=...[/tex]
Et toi, pour factoriser, tu cherches d'abord le développement ? En voilà une idée !

Moins il y a de calculs, moins il y a de risques d'erreurs et mieux on s'en porte !

Est ce normal que je ne trouve pas les mêmes formes factorisées ?

On dit souvent que poser une question, c'est déjà y répondre... Le fait que tu aies posé la question montre bien que ça te chiffonne ! Donc, tu t'es répondu...

@+

sassin · 17-08-2010 18:54:04

ok quand j'utilise l'identité remarquable [tex]{a}^{2}-{b}^{2}[/tex] , je trouve comme forme factorisée (1x - 1) (-3x - 1), Est ce correct ? De plus je vais peut être poser une question idiote mais le problème est : Quel forme doit avoir une forme factorisée ? A quoi reconnait-on une forme factorisée ? ( parce que en comparant les formes factorisées que j'ai obtenu, elles sont toutes différentes).

Merci d'avance.

ps: j'ai corrigé mes erreurs du premier message sur les racines.

Dernière modification par sassin (17-08-2010 19:17:08)

yoshi · 17-08-2010 20:04:46

Re,

Tu dois bien voir que non...
Si je m'occupe juste des termes indépendants de x, le développement + réduction de [tex](5-x)^2-(2x-4)^2[/tex] me donne 25-16=9.
Si je prends ta réponse [tex](x - 1) (-3x - 1)[/tex] le produit des termes indépendants me donne (-1)*(-1) = 1, on est loin du compte.
Je suis à peu près sûr que ta 2e parenthèse vient de ce calcul : [tex]5-x-2x-4[/tex] avec une faute de signe supplémentaire à la clé 5 - 4 --> -1... !!!

Si tu n'as pas de sécurité dans tes calculs, procède donc via une étape supplémentaire :
[tex](5-x)^2-(2x-4)^2 =[(5-x)+(2x-4)][(5-x)-(2x-4)]=(5-x+2x-4)(5-x-2x+4)=(x+1)(-3x+9)=3(x+1)(-x+3)[/tex]

A quoi on reconnaît une forme factorisée ? Ça c'est facile, même si elles sont toutes "différentes"...
Ta question m'oblige à soulever un point d'étymologie, puis de vocabulaire :
Factorisé(e) : Participe passé du verbe factoriser, employé comme adjectif...
Factoriser : écrire sous la forme d'un produit de facteurs...
Nous voilà au vocabulaire mathématique :
- on dit : une somme de termes --> 1+2-3-x+y ou encore x+2(y-3)...
dans le 1er exemple 1, 2, -3, -x, y sont les termes de la somme.
dans le 2e exemple x et 2(y-3) sont les termes de la somme... Dans cet exemple particulier, le 2e terme est lui-même un produit de 2 facteurs, le 1er facteur étant le nombre 2, le 2e facteur étant la somme y-3
- on dit un produit de facteurs ---> (x+2)(y-3) : produit de 2 facteurs, chacun des facteurs étant une somme de 2 termes...

Question subsidiaire. Tu dois probablement penser : comment savoir que x+2(y-3) est une somme et (x+2)(y-3) un produit de facteurs ?
Là c'est la priorité des opérations qui intervient...
Si je veux calculer x+2(y-3), connaissant les valeurs de x et de y, je commence par calculer y-3, puis le résultat est multiplié par 2, lequel nouveau résultat, appelons-le z, est alors ajouté à x : on finit donc par x+z. J'ai donc bien une somme...

Si je veux calculer (x+2)(y-3), connaissant les valeurs de x et de y, je calcule séparément x=2 et y-3, puis je multiple les 2 résultats, appelons-les a et b : on finit donc par a * b. J'ai donc bien un produit...

Rappel des priorités :
- En l'absence de parenthèses, ^ et racine sont prioritaires sur * et /, lesquelles sont elles-mêmes prioritaires sur + et -...
- Toute opération entre parenthèses est prioritaire sur les autres : 2 * 3² = 2 * 9 = 18, mais (2 * 3)² = 6² = 36
- A l'intérieur d'une parenthèse, on retrouve la priorité naturelle :
2*6²-3(25-2*3²)² = 2 * 36 -3(25 - 2*9)² = 72 - 3(25-18)² = 72 - 3 * 7² = 72 - 3 * 49 = 72 - 147= -75
Au passage, terminant les calculs par 72 - 17 c'était donc une somme, et non un produit de facteurs...

Est-ce que c'est clair ou ai-je encore plus embrouillé les choses ?

@+

sassin · 18-08-2010 13:27:35

Merci j'ai compris maintenant comment reconnaître une forme factorisée. Il y a cependant 1 signe que je ne comprend pas dans ton premier point de rappel des propriétés : /,
Au passage pourrais tu s'il te plaît me donner 2,3 calculs à factoriser pour voir si j'ai bien assimilé la chose.

Merci d'avance.

Dernière modification par sassin (18-08-2010 13:28:25)

yoshi · 18-08-2010 14:30:45

Re,

C'est la division...

A factoriser :
[tex]x^2y^2z+x^2yz^2-xy^2z^2[/tex]
[tex](5x-3)^2-(2x-3)^2[/tex]
[tex]16(3x-2)^2-25(x-3)^3[/tex] --> le même que le précédent avec une difficulté supplémentaire
[tex](2x-3)^2-2(2x-3)(x-5)+(x-5)^2[/tex] --> identité remarquable
[tex]4(2x-3)^2-12(2x-3)(x-5)+9(x-5)^2[/tex] --> le même que le précédent avec une difficulté supplémentaire
[tex](5x-4)^2-(2x-3)^2-2(3x-1)(x+5)[/tex] --> une factorisation intermédiaire permet la "vraie" factorisation
[tex](2x-3)^2+(15-10x)(x+7)+4(2x-3)(x+1)[/tex] --> même commentaire

Voyons donc...

@+

thadrien · 18-08-2010 14:57:10

sassin a écrit :

Merci j'ai compris maintenant comment reconnaître une forme factorisée. Il y a cependant 1 signe que je ne comprend pas dans ton premier point de rappel des propriétés : /,
Au passage pourrais tu s'il te plaît me donner 2,3 calculs à factoriser pour voir si j'ai bien assimilé la chose.
Merci d'avance.

Il s'agit de la division. Beaucoup de symboles sont utilisés pour la division : les deux points, la barre avec un point au dessus et un point en dessous, la barre oblique et la barre de fraction.

Attention : beaucoup de profs jouent au petit jeu qui consiste à bannir une notation mathématique et à enlever des points aux élèves qui utilisent une autre notation que la leur.

Tu ne factorises pas un calcul. Tu factorise un polynôme. Le calcul, c'est ce que tu fais pour factoriser le polynôme. C'est un peu comme confondre une baguette de pain et une recette de cuisine.

Pour te faire la main, voici quelques problèmes.

1) x^2-3x-5 [Pas de racines évidentes ou autres : il faut appliquer la méthode !]
2) (x-1)^2 - 16
3) (x-1)(x+3) + 7(x+3)
4) x^2 + 3x + 2
5) 7x^2 + 21x + 14
6) Le produit de deux nombres est 840 et leur somme est 59. Trouver ces deux nombres. [Astuce classique à connaître absolument !]
7) Quel est le produit P des racines du polynôme x^2-6x+15. [Même astuce, dans l'autre sens.]
8) Quel est la somme des racines du polynôme x^2-654654654x+69846544. [Idem.]
9) x^3+6x^2+11x+6 [Racine évidente : 1]
10) x^4+7x^3+17x^2+17x+6 [Racines évidente : 1 et 1]

Certains sont durs, mais à court terme, il faudra que tu saches les faire TOUS rapidement et sans erreur.

[EDIT : Grillé par Yoshi. Tu gagnes donc quelques exercices supplémentaires.]

Dernière modification par thadrien (18-08-2010 14:58:21)

yoshi · 18-08-2010 16:14:43

Re,

Non, non, c'est bien...
On ne pense pas de la même façon, donc, ça donne un autre éclairage.
C'est parfait !

De son côté, il avait demandé 3-4 exos, il se retrouve avec une dizaine... :-))
Bah, quand on aime, on ne compte pas : quand on est dans le calculatoire comme ça, on doit avoir besoin de réfléchir le moins possible, les automatismes doivent être là !
Allez courage : c'est en sciant que Léonard de Vinci...

@+

PS

Au fait Thadrien, quand j'écris : [tex]63^2-37^2=(63+37)(63-37)=100 \times 26 = 2600[/tex], je n'ai pas remplacé une somme par un produit ? Je n'ai pas factorisé ?

Attention : beaucoup de profs jouent au petit jeu qui consiste à bannir une notation mathématique et à enlever des points aux élèves qui utilisent une autre notation que la leur.

Beaucoup ??? T'en a rencontré combien, sur un total de combien de profs de maths en en fonction en France ?
Allons ! Allons ! En 38 ans de carrière, je n'en ai pas rencontré...
Par contre, celui qui écrit mn au lieu de min, rd au lieu de rad, 5 kms, = en lieu et place de [tex]\approx[/tex] oui, là pas de cadeau...
Si on utilise [tex]\simeq[/tex] au lieu de [tex]\approx[/tex] on a droit à un commentaire en marge...

sassin · 18-08-2010 17:08:30

Bon je vais les faire à chaque fois une par une et vous me dites si c'est bon.

Pour la toute première , j'ai essayé mais je n'ai pas réussi.

Je passe donc à la seconde:

[tex]{\left(5x\,-\,3\right)}^{2}-\,{\left(2x\,-3\right)}^{2}[/tex]
[tex]=\left(\left(5x\,-\,3\right)+\left(2x\,-\,3\right)\right)\,\left(\left(5x\,-\,3\right)-\left(2x\,-\,3\right)\,\right)[/tex]
[tex]=\left(5x\,-\,3\,+\,2x\,-\,3\right)\,\left(5x\,-3\,-\,2x\,+3\right)[/tex]
[tex]=\,\left(7x\,-\,6\right)\,\left(3x\right)[/tex]

Dernière modification par sassin (18-08-2010 17:16:22)

tsaloum · 18-08-2010 18:23:24

Bonjour Sassin,

ta solution est correcte.
Pour le premier que tu n'as pas pu faire, il faut essayer de le mettre sur le forum, comme ça on te dira ce qui ne va pas et ce qu'il faut faire pour te debloquer.
du courage!

sassin · 18-08-2010 18:34:30

ok donc pour le premier j'aurai proposé :

[tex]{x}^{2}{y}^{2}z\,+\,{x}^{2}y\,{z}^{2}-\,x\,{y}^{2}{z}^{2}[/tex]
= [tex]{x}^{2}y\,z[/tex]

yoshi · 18-08-2010 19:29:41

Salut,

Non...
je serais curieux de savoir comment t'as procédé...
x² n'est pas commun aux 3 termes : il n'est pas présent à 3 reprises. Ce doit être une étourderie (le x²), mais cela ne DOIT PAS se produire : tu ne DOIS PAS être à la merci d'une faute comme celle-là...
En outre, il manque plein de choses.
La preuve de l'exactitude de la factorisation peut s'obtenir dans certains cas (ici) en redéveloppant ton résultat...

Un exemple, plus court :
[tex]a^2b+ab^2=ab(a+b)[/tex]
Pourquoi ? J'ai recherché et trouvé le facteur commun. Le voici mis en évidence :
[tex]a^2b+ab^2=a\times a\times b+a\times b\times b=a\times(ab)+(ab)\times b[/tex]

A refaire donc. Forme de la réponse attendue : ...(... + ... - ...)
Plus un du même tonneau :
[tex]6x^3y^2zt^2+8x^2y^3z^2t^2-4x^3yzt^3+2x^2yzt^2[/tex]

@+

PS

[tex]{\left(5x\,-\,3\right)}^{2}-\,{\left(2x\,-3\right)}^{2}[/tex]
[tex]=\left(\left(5x\,-\,3\right)+\left(2x\,-\,3\right)\right)\,\left(\left(5x\,-\,3\right)-\left(2x\,-\,3\right)\,\right)[/tex]
[tex]=\left(5x\,-\,3\,+\,2x\,-\,3\right)\,\left(5x\,-3\,-\,2x\,+3\right)[/tex]
[tex]=\,\left(7x\,-\,6\right)\,\left(3x\right)[/tex],
par convention, on écrit le résultat ainsi : [tex]3x(7x-6)[/tex]
Bon, c'est juste quand même, hein !

thadrien · 18-08-2010 21:21:28

yoshi a écrit :

Attention : beaucoup de profs jouent au petit jeu qui consiste à bannir une notation mathématique et à enlever des points aux élèves qui utilisent une autre notation que la leur.
Beaucoup ??? T'en a rencontré combien, sur un total de combien de profs de maths en en fonction en France ?
Allons ! Allons ! En 38 ans de carrière, je n'en ai pas rencontré...
Par contre, celui qui écrit mn au lieu de min, rd au lieu de rad, 5 kms, = en lieu et place de [tex]\approx[/tex] oui, là pas de cadeau...
Si on utilise [tex]\simeq[/tex] au lieu de [tex]\approx[/tex] on a droit à un commentaire en marge...

J'en ai rencontré une en troisième. Je me souvient avoir posé la question "le rond du vecteur nul, c'est un zéro ou un O ?", et avoir reçu comme réponse : "un vecteur, c'est une lettre avec une flèche dessus. C'est donc le vecteur O.".

yoshi a écrit :

Par contre, celui qui écrit mn au lieu de min, rd au lieu de rad, 5 kms, = en lieu et place de [tex]\approx[/tex] oui, là pas de cadeau...

Entièrement d'accord avec toi !

yoshi a écrit :

Si on utilise [tex]\simeq[/tex] au lieu de [tex]\approx[/tex] on a droit à un commentaire en marge...

C'est quoi déjà la différence ? Je croyais qu'ils étaient équivalents !

yoshi · 18-08-2010 21:42:51

Re,

Si mes souvenirs sont exacts, le 1er, \simeq, était effectivement utilisé quand moi j'étais lycéen, mais il y a eu changement pour \approx...
Pourquoi ? Je présume que \simeq étant aussi (je crois bien) le symbole accolé à une source de courant alternatif, on a voulu éviter les confusions...
De même mn --> min à cause du mm : déjà qu'en 6e, j'ai eu par le passé un môme qui s'est obstiné, contre vents et marées ° mes remarques, à parler d'un "minimètre" (l'avait pas tout à fort...).
Dans le même ordre d'idée il y eu # --> très peu différent de... Nuance quand tu nous tiens !
Pour normaliser, on utilise [tex]\approx[/tex], et on ne compte pas faute...

La question était intéressante, je ne me l'étais jamais posée...
Je regarderais de plus près, les bouquins demain : on doit pouvoir différencier [tex]\vec {O} \text{ et } \vec 0[/tex], rien qu'en regardant de plus près...
Je prends les paris pour un 0 : pourquoi parlerait-on sinon de vecteur nul ?
D'ailleurs avec LaTeX, y a pas photo...
Quant à la réponse sur ce que c'est qu'un vecteur qui a été donnée, elle me fait "sourire" : dire ça à un élève de 3e, c'est prendre le risque d'associer la notion de vecteur avec la représentation exclusive flèche sur des lettres et segment fléché dans un repère, avec le risque d'engendrer de futures incompréhensions, comme la demande : placer un vecteur [tex]\vec V(2 ; 4)[/tex]. Réponse possible : oui, où ça ?
De mon temps, on ne disait pas coordonnées d'un vecteur, on disait "composantes" : je préfère encore et toujours ça... Comme coordonnées était devenu la terminologie, j'ai bien dû m'incliner...

@+

PS
Ça me démangeait trop : c'est bien [tex]\vec 0[/tex]... Pari gagné !

Dernière modification par yoshi (18-08-2010 21:51:07)

sassin · 19-08-2010 11:58:23

Bonjour, je dirai donc:

[tex]{x}^{2}{y}^{2}z\,+\,{x}^{2}y\,{z}^{2}-\,x{\,y}^{2}{z}^{2}[/tex] [tex]=xy\,\left(xyz\right)\,+\,xy\,\left(xyz\right)\,-\,yz\,\left(xyz\right)[/tex]
[tex]=xyz\,\left(xy\,+\,xz\,-\,yz\,\right)[/tex]

[tex]6{x}^{3}{y}^{2}zt\,+\,8{x}^{2}{y}^{3}{z}^{2}t\,-\,4{x}^{3}yz{t}^{3}+\,2{x}^{2}yz{t}^{2}[/tex]
[tex]=6xyzt\,\left({x}^{2}y\right)\,+\,8xyzt\,\left(x{y}^{2}z\right)\,-\,4xyzt\,\left({x}^{2}{t}^{2}\right)\,+\,2xyzt\,\left(xt\right)[/tex]
[tex]=xyzt\,\left(6{x}^{2}y\,+\,8x{y}^{2}z\,-\,4{x}^{2}{t}^{2}+2xt\right)[/tex]

Merci d'avance.

thadrien · 19-08-2010 13:10:19

Salut,

Dans la deuxième, tu peux encore factoriser par x.

sassin · 19-08-2010 13:27:07

salut, je dirai donc:

[tex]6{x}^{3}{y}^{2}zt\,+\,8{x}^{2}{y}^{3}{z}^{2}t\,-\,4{x}^{3}yz{t}^{3}+\,2{x}^{2}yz{t}^{2}[/tex]
[tex]=6xyzt\,\left({x}^{2}y\right)\,+\,8xyzt\,\left(x{y}^{2}z\right)\,-\,4xyzt\,\left({x}^{2}{t}^{2}\right)\,+\,2xyzt\,\left(xt\right)[/tex]
[tex]=xyzt\,\left(6{x}^{2}y\,+\,8x{y}^{2}z\,-\,4{x}^{2}{t}^{2}+2xt\right)[/tex]
[tex]=x\,\left(6{x}^{2}{y}^{2}zt\,+\,8x{y}^{3}{z}^{2}t\,-\,4{x}^{2}yz{t}^{3}+\,2xyzt\right)[/tex]

Ensuite pour la suivante, j'aurai besoin d'aide s'il vous plaît car je ne connais pas l'identité remarquable [tex]{a}^{2}-\,{b}^{3}[/tex]

Dernière modification par sassin (19-08-2010 14:34:28)

yoshi · 19-08-2010 14:47:05

Re,

thadrien t'a dit : tu peux encore factoriser par x ! Pourquoi dans ta dernière réponse enlèves-tu yzt ?
Dans ta réponse :
[tex]=x\,\left(6{x}^{2}{y}^{2}zt\,+\,8x{y}^{3}{z}^{2}t\,-\,4{x}^{2}yz{t}^{3}+\,2xyzt\right)[/tex]
Tu dois voir que dans la parenthèse :
- les termes contiennent encore xyzt
- les 4 termes sont encore affectés de coefficients pairs : 2 est aussi facteur commun.
La factorisation que tu proposes n'est pas fausse mais incomplète et cette fois, très incomplète. Tu perdrais là au minimum 0,5 pt qui peut faire la différence, au Bac, entre une mention et pas de mention ou une mention et sa suivante...
Ce n'est pas anodin pour les études post-Bac selon ce que tu envisages.
La règle d'or doit être : si je sais faire, alors je ne dois pas lâcher le moindre 1/2 pt...

Vous avez tendance, pour beaucoup, à fonctionner en "Tout est soustractif", alors que ce devrait être "tout est additif"...
Je m'explique.
Soit un devoir composé de 5 exercices, mettons sur 3, 3, 4, 4, 6...
1er exercice fait à peu près : on lâche 1 pt, 2e exercice saboté, on lâche 2 pts, le 3e on lâche 2pts, le 4e aussi...
Reste le gros morceau (on s'est dépêché pour l'attaquer, ce qui explique les résultats moyens précédents).
Résultat des courses, avant d'attaquer le plat de résistance on n'est plus noté que sur 20-1-2-2-2 = 13...
Cela dit, 13/20 c'est utopique parce que le sabotage précédent montre qu'on était pas sereins et qu'on obtiendra au mieux 10 ou 11/20...
Maintenant, "tout est additif", on ne lâche rien...ou le moins possible.
2 premiers exercices simples, on prend son temps 6/6, on est toujours noté sur 20...
Les 2 suivants, un peu plus épicés, 6/8 : à ce stade la note maxi atteignable encore de 6+6+6 : 18/20...
Avec un résultat moyen on arrive au 5e on arrive à 12+3 15/20...
J'ai répété à l'envi pendant 38 ans : ne chez pas à finir à tout prix, c'est le meilleur moyen de saboter le travail...
Qui cherche la vitesse trouve la précipitation...
La vitesse vient avec la confiance en soi et la sécurité dans les calculs...

@+

PS
[tex]16(3x-2)^2-25(x-3)^3[/tex]
Je pourrais te dire : je t'ai tendu un beau piège... Et tu le croirais !
Non, hélas, faute de frappe de ma part : j'utilise LaTex sans passer par l'Editeur d'équations du site, il arrive que, concentré sur les mnémoniques de LaTeX, le doigt dérape...
Ça m'a échappé à la relecture : on ne voit que ce qu'on s'attend à voir...
Cette IR n'existe pas : ce que j'ai donné n'est peut-être pas factorisable d'ailleurs. Essayer de le savoir ne serait pas simple : il y a des techniques spécifiques aux polynômes du 3e degré qui ne se voient pas en Term...
Il fallait lire (c'est suffisamment ch... comme ça) :
[tex]16(3x-2)^2-25(x-3)^2[/tex]

sassin · 19-08-2010 15:08:29

J'ai enlevé yzt car je pensais que pour factoriser par x il fallait faire comme ça. Je ne vois donc pas du tout ce que veut dire factoriser par x.

Dernière modification par sassin (19-08-2010 16:06:25)

yoshi · 19-08-2010 15:34:37

Re,

Alors regardons de plus près.
Dans cet exercice, il y a 4 termes, donc un facteur commun doit être présent 4 fois :
[tex]6x^3y^2zt^2[/tex] 6 = 2 * 3 et présence de x, y z et t : [tex]x^3,\;y^2,\;z^1,\;t^1[/tex]
[tex]8x^2y^3z^2t^2[/tex] 8 = 2 * 2 * 2 et présence de x, y z et t : [tex]x^2,\;y^2,\;z^2,\;t^1[/tex]
[tex]-4x^3yzt^3[/tex] 4 = 2 * 2 et présence de x, y z et t : [tex]x^3,\;y^1,\;z^1,\;t^3[/tex]
[tex]2x^2yzt^2[/tex] 2 = 2 * 1 et présence de x, y z et t : [tex]x^2,\;y^1,\;z^1,\;t^2[/tex]

Bilan :
- Le facteur 2 est commun aux 4 produits de facteurs, donc on peut factoriser avec 2 (mais pas avec 4, ni 6 ni 8)
- les lettres x, y, z et t sont présentes dans les 4 produits, elles sont donc communes. Mais avec quel exposant ?
Forcément la puissance minimum "présente".
* Pour x ce sera 2 : ne pas oublier que dans x^3 je peux extraire x² --> x^3 = x² * x
* Pour y ce sera 1
* Pour z ce sera 1
* Pour t ce sera 1
- Le facteur commun est donc [tex]2x^2yzt[/tex]

Ça te va ?

@+

sassin · 19-08-2010 16:05:53

Donc si j'ai bien compris c'est :
[tex]6{x}^{3}{y}^{2}zt\,+\,8{x}^{2}{y}^{3}{z}^{2}t\,-\,4{x}^{3}yz{t}^{3}+\,2{x}^{2}yz{t}^{2}[/tex]
[tex]=6xyzt\,\left({x}^{2}y\right)\,+\,8xyzt\,\left(x{y}^{2}z\right)\,-\,4xyzt\,\left({x}^{2}{t}^{2}\right)\,+\,2xyzt\,\left(xt\right)[/tex]
[tex]=xyzt\,\left(6{x}^{2}y\,+\,8x{y}^{2}z\,-\,4{x}^{2}{t}^{2}+2xt\right)[/tex]
[tex]=2{x}^{2}yzt\,\left(3xy\,+\,4{y}^{2}z-\,2x{t}^{2}+t\right)[/tex]

Ps: Pour le polynôme du 3ème degré, j'avais pensé à le détourner comme ça :[tex]{\left(x-3\right)}^{3}=\,{\left(x-3\right)}^{2}\left(x-3\right)[/tex]. Est ce correct ?

Dernière modification par sassin (19-08-2010 16:06:35)

yoshi · 19-08-2010 16:26:55

Re,

Oui, c'est bon.
La factorisation est complète maintenant. On peut le savoir en contrôlant la parenthèse : aucune lettre n'est présente 4 fois, le PGCD de (3, 4, 2, 1) est 1.
Ce que thadrien avait voulu dire (tu le constates maintenant) tu avais trouvé xyzt comme facteur commun, c'était juste mais incomplet : le x étant encore présent 4 fois, dans certte parenthèse x étant encore un facteur commun, ce qui te menait à x²yzt...

Pour ton PS.
Ça ne te menait hélas nulle part :
[tex]16(3x-2)^2-25(x-3)^3=16(3x-2)^2-25(x-3)(x-3)^2[/tex]...
Et après ?
- Ce n'était toujours pas a² - b²,
- le (x - 3) n'était pas facteur commun.
Ton idée aurait été bonne dans ce cas :
[tex](x-3)(3x-2)^2-(x-3)^3=(x-3)(3x-2)^2-(x-3)(x-3)^2=(x-3)[(3x-2)^2-(x-3)^2][/tex]
Et dans ton crochet il yavait la forme a² - b² aisément factorisable...
J'appelle ça des factorisations à "tiroirs" ou gigognes : << Attention, une factorisation peut en cacher une autre... ! >>

Donc revenons à :
[tex]16(3x-2)^2-25(x-3)^2[/tex]
Ce n'est pas a² - b² non plus, mais ça y ressemble ! C'est 16a² - 25b² !!!
Comment vas-tu te débrouiller pour écrire : 16a² - 25b² = c² - d²...
Que sont c et d ?

@+

thadrien · 19-08-2010 17:39:00

Salut,

La méthode qui consiste à faire une première factorisation partielle puis à factoriser encore est encore est impérative à connaître et à maîtriser.

La 10) que j'ai donné en est un bon exemple.

sassin · 20-08-2010 15:38:55

ok thadrien. Bon alors la, c'est vraiment pas facile. En faisant comme tu as dit yoshi (16a² - 25b²) je vais essayer de proposer un début mais je ne suis vraiment pas sûr.

[tex]16{\left(3x\,-\,2\right)}^{2}\,-\,25{\left(x-3\right)}^{2}[/tex]
[tex]=\,\left(16\left(3x\,-\,2\right)\,+\,25\,\left(x-3\right)\right)\,\left(16\left(3x\,-\,2\right)\,-\,25\left(x\,-\,3\right)\right)[/tex]

Merci d'avance.

Dernière modification par sassin (20-08-2010 17:05:09)

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