Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

yoshi · 02-08-2010 20:37:53

Bonsoir à tous,

Simple.
On vous donne deux verres. Le premier contient 50 cuillerées de lait et le second 50 cuillerées d'eau. Prenez une cuillerée de lait et mélangez-la dans l'eau. A présent, prenez une cuillerée du mélange eau/lait obtenu et mélangez-la dans le verre de lait.
Y a t-il plus d'eau dans le premier verre ou plus de lait dans le second verre ?

Pas de réponse sèche SVP, ou alors en pseudo "spoiler" en incorporant le code couleur DEDFDF :
[ color=DEDFDF] votre texte [/color ] sans les espaces dans les crochets...
On relit alors le texte en sélectionnant la ou les lignes à la souris...

@+

freddy · 03-08-2010 00:19:31

Salut,

que ceux qui ne veulent pas connaître la réponse ne "lisent" pas ce qui suit.
[Texte caché]

Après le premier transfert, on a 49 c de lait et 50 c d'eau + 1 c de lait.

Ensuite, après le second transfert, on a dans le lait :

49 + 1/51 c de lait + 50/51 c d'eau

et dans l'eau :

50-50/51=49+1/51 c d'eau et 1-1/51=50/51 c de lait.

[Fin Texte Caché]

nerosson · 03-08-2010 16:16:22

Salut, Yoshi, salut, Freddy,

primo : je n'ai pas lu la prestation de Freddy,

ca parait "évident" comme ne dirait pas Golgup.

Après le premier transfert, le deuxième verre contient 51 cuillerées d'un mélange compose à 50 cinquante et unièmes de lait; Après le deuxième transfert, il n'y a plus que 50 cuillerées, mais les proportions sont inchangées.

Après le deuxième transfert, le premier verre contient :
a) 49 cuillerées d'eau
b) 50 cinquante et uniémes de cuillerée de lait,
c) 1 cinquante et unième d'eau.

Je cherche la quantité d'eau du premier verre, évaluée en cinquante et unièmes de cuillerée:
49 x 51 = 2499 auquel j'ajoute un cinquante et unième : 2499 + 1 = 2500 cinquante et unièmes de cuillerées d'eau.

Je cherche la quantité de lait du deuxième verre.
50 fois 50 cinquante et unièmes de cuillerée de lait lait soit 2500 cinquante et unièmes de cuillerée de lait;

En priant le ciel que je ne me sois pas mélangé les pinceaux dans tout ça, je trouve les mêmes quantités

Dernière modification par nerosson (03-08-2010 17:34:19)

evaristos · 08-08-2010 15:42:31

Bonjour à tous

les réponses semblent dépendre des quantités d'eau et de lait alors qu'il n'en est rien!
En effet, on s'intéresse uniquement à la quantité v d'eau du second verre que l'on va déposer dans le lait du premier; cette quantité est (dirait la palisse), en volume, la même que celle de lait resté dans le second puisqu'elle la remplace exactement.
Question subsidiaire: on recommence l'opération. comparer sans calcul les volumes d'eau dans le premier verre et de lait dans le second.
Curieusement les quantités d'eau et de lait dans un verre, après n opérations font appel à un binôme de newton (1+x)^n , en appelant x, le quotient y/V , y est le volume de la petite cuillère et V le volume commun dans les 2 verres.
La concentration en lait du premier verre diminue; pour quelles valeurs de y et de n atteint-elle 1/2?

Bon calcul

Dernière modification par evaristos (09-08-2010 15:00:38)

freddy · 09-08-2010 09:58:03

Salut evaristos,

j'ai dû me déconcentrer, mais c'est quoi "v" : constante ou variable fonction de n ?

Merci d'avance.

evaristos · 09-08-2010 14:47:22

bonjour Freddy

Effectivement j'ai fait une erreur sur la valeur de x qui désigne en fait le quotient de y/V , y désignant le volume constant de la petite cuillère, v le volume variable d'eau que l'on peut évaluer par exemple en fonction de x et V la quantité commune de lait et d'eau dans les 2 verres au départ.

La seconde question est donc :pour quelles valeurs de y et de n la concentration atteint -elle 1/2?

J'espère que c'est clair maintenant

Bye

Evaristos

PS Je vais essayer de corriger ma première intervention.

Dernière modification par evaristos (09-08-2010 14:57:08)

freddy · 12-08-2010 10:33:02

freddy a écrit :

Salut,
que ceux qui ne veulent pas connaître la réponse ne "lisent" pas ce qui suit.
Après le premier transfert, on a 49 c de lait et 50 c d'eau + 1 c de lait.
Ensuite, après le second transfert, on a dans le lait :
49 + 1/51 c de lait + 50/51 c d'eau
et dans l'eau :
50-50/51=49+1/51 c d'eau et 1-1/51=50/51 c de lait.

Tout calcul fait on a :

Dans le débit de lait:

[tex]\frac{49\times 51+1}{51}=\frac{5{0}^{2}}{51}[/tex] L et [tex]\frac{50}{51}[/tex] d'eau

et dans le débit de l'eau :

[tex]50\times \left(1-\frac{1}{51}\right)=\frac{5{0}^{2}}{51}[/tex] d'H2O et [tex]\frac{50}{51}[/tex] de lait.

Dans les deux cas, on vérifie bien que le volume de chaque contenant est égal à [tex]\frac{50}{51}\times \left(50+1\right)=50[/tex]

Dernière modification par freddy (12-08-2010 10:51:59)

freddy · 13-08-2010 21:41:11

Re,

ce que montre le résultat ci-dessus est qu'il suffit d'observer ce qui se passe dans l'un des deux pots pour en déduire ce qui se passe dans l'autre, en symétrisant les appellations seulement.

Pour répondre à la question de notre ami, voilà comment procéder.

Tout d'abord, on ramène la quantité Q (volume initial de lait ou d'eau) en nombre de volume y > 0 constant de chaque échange. Du coup, on a [tex]V=\frac{Q}{y}[/tex] et 1.

Dans le premier pot (le lait pex), on définit [tex]{x}_{0}=V\,et\,{y}_{0}=0[/tex] les quantités initiales.

Ensuite, on se convainc rapidement (humm ...) que les deux opérations de transfert (du pot au lait vers l'eau, puis de l'eau vers Perrine) donnent le système linéaire suivant :

[tex] \begin{cases} {x}_{n+1}=\left({x}_{n}+{y}_{n}\times \frac{1}{V}\right)\times \frac{V}{1+V} \\ {y}_{n+1}=\left({y}_{n}+{x}_{n}\times \frac{1}{V}\right)\times \frac{V}{1+V} \end{cases} [/tex]

[tex]\forall \,n\,\geq \,0[/tex]

A chaque étape, on vérifie que [tex]{x}_{n}+{y}_{n}=V[/tex] de lait

En effet, en n > 0, nous avons [tex]{x}_{n}[/tex] de lait et [tex] {y}_{n}[/tex] d'eau.

Ensuite, on ajoute une unité du mélange de l'autre pot, soit [tex]\frac{{y}_{n}}{V}[/tex] de lait et [tex]\frac{{x}_{n}}{V}[/tex] d'eau. Le volume total est passé à V+1.

On retranche ensuite une unité de ce pot, à savoir [tex]\left({x}_{n}+\frac{{y}_{n}}{V}\right)\times \frac{1}{1+V}[/tex] de lait et [tex]\left({y}_{n}+\frac{{x}_{n}}{V}\right)\times \frac{1}{1+V}[/tex] d'eau.

Au total on a dans le pot au lait :

[tex]{x}_{n+1}={x}_{n}+\frac{{y}_{n}}{V}-\frac{{x}_{n}+\frac{{y}_{n}}{V}}{1+V}[/tex] de lait et

[tex]{y}_{n+1}={y}_{n}+\frac{{x}_{n}}{V}-\frac{{y}_{n}+\frac{{x}_{n}}{V}}{1+V}[/tex] d'eau

On déduit que la première suite est positive décroissante, donc convergente vers L, tandis que la seconde est croissante et majorée, donc convergente vers [tex]K=V-L[/tex].

On déduit que les limites K et L vérifient :

[tex]L=\left(L+\frac{V-L}{V}\right)\times \frac{V}{1+V}[/tex] et [tex]K=V-L[/tex]

Le résultat donne [tex]K=L=\frac{V}{2}[/tex]

Donc le résultat exact est [tex]n=+\infty [/tex]

Bb

Dernière modification par freddy (15-08-2010 22:25:33)

évaristos · 15-08-2010 23:59:35

Bonjour à tous

Bravo Freddy pour ton travail sur le sujet.

Malgré cela, tu as oublié (peut-être? ) que toute suite pour converger doit être strictement monotone et bornée.

Or malheureusement les tiennes ne le sont (strictement ) pas dans un seul cas (ce qui bien sûr n'enlève pas

grand chose à ton travail remarquable ): c'est quand V=1 ou V = y , et donc que l'on vide le verre entièrement

de son lait .

Je te laisse le soin de le démontrer et de compléter ta conclusion.

Bon travail

Evaristos

freddy · 16-08-2010 10:06:23

Salut et bien vu, l'aveugle !

En effet, dans le contexte, je n'avais pas imaginé un seul instant que V puisse être égal à 1.

Mais tu as raison, en toute rigueur, il faut poser V > 1 en plus de y > 0.

Voilà jeune homme.

Ah oui, j'aurais préféré que tu réservasses tes félicitations pour le jour, fort lointain voire inexistant, où j'arriverais à démontrer la conjecture de Goldbach ou bien celle de Syracuse ... (tu apprécieras le conditionnel qui n'est pas de pure forme).

En outre, il reste sur le site quelques sujets non encore résolus.

Bien à toi !

[color=40A497]PS : je dois à la vérité de dire que j'avais croisé ce joli sujet un jour de 1983, quand je donnais des petits cours à des TC pour mettre un peu plus d'épinards dans mon beurre. J'avais lu rapidement le sujet sur un livre de Tc que je ne retrouve plus, cherchais à le résoudre mentalement à toute vitesse pour voir si je pouvais le lancer mon élève dessus, et je dois avouer que dès le départ, si j'entrevoyais bien la réponse, je m'emm... à y répondre avec rigueur.

Aujourd'hui, je ne cache pas une petite joie intérieure d'avoir repris le pb pour, grâce à yoshi et à toi, le conduire jusqu'à on terme. Voilà, tu sais tout ! ...

Par contre, je "cale " encore un peu sur le pb du chef de gare de yoshi. Mais comme disait l'autre dans Palace : "un jour, je l'aurai, un jour ..."[/color]

Bb

Dernière modification par freddy (16-08-2010 13:20:59)

freddy · 17-08-2010 06:53:42

Re,

et si V=1, alors n=1 !

freddy · 17-08-2010 15:05:24

Re,

on pourrait être intéressé par le nombre de mélange qu'il faut faire pour atteindre un seuil de saturation supérieur à 50 %.

Compte tenu des éléments ci dessus évoqués, on détermine la relation suivante :

[tex]x_n=\frac{p^n-1}{p-1}\times \frac{p+1}{2}+p^n\times V,\;\tex{avec}\;0 \leq p=\frac{V-1}{V+1}<1[/tex]

Bb

nerosson · 17-08-2010 16:14:49

Salut à tous,

En lisant toutes ces savantes exégèses, j'ai une fois de plus l'impression d'être le petit merdeux qui s'est fourvoyé dans un amphithéâtre de l'Académie des sciences.

Je voudrais tout de même faire timidement observer que, dans une intervention du 03/08/10 à 17:16:22, j'ai fourni, dans un style digne du certificat d'études très, très primaires une réponse qui, me semble-t-il, était juste ?

Je sais, un de ces jours on m'invitera, comme disait Marie de Médicis à Louis XIII, à "aller m'ébattre ailleurs"....

yoshi · 17-08-2010 17:32:04

Re,

Allons, allons nerosson ! Bon, je te promets que dorénavant, si tu réponds bien à une énigme, je le signalerai et t'en féliciterai urbi et orbi !
Oui, c'était juste ! Bravo !
De même Bravissimo d'avoir trouvé certains cryptagrammes (ou cryptarithmes)... Mea culpa, mea maxima culpa : j'aurais dû le faire avant..
Les posts qui ont suivi l'énigme initiale, en étaient donc une prolongation, à un niveau au dessus, et dont la résolution a procuré un plaisir intellectuel certain à quelques uns... Et les méthodes "Certificat d'études" y sont devenues inopérantes : je t'ai pourtant toujours dit que l'arithmétique a ses limites...
Faut pas le prendre mal, jeune-homme !

Est-ce que je m'en vais vais rouspéter après thadrien pour sa réponse savante ('système NP-complet', qu'il a dit...) à l'énigme posée par Evaristos ? Non, j'en ris tout seul...
Je n'ai pas la moindre idée du début du commencement d'une lueur sur ce que ça pourrait vouloir dire...
Pour moi, ça ne fait absolument pas avancer le schmilblick... Pour lui, si, probablement !
Tant mieux, c'est bien...

@+

nerosson · 17-08-2010 18:20:01

Salut, Yoshi,

C'est toujours un plaisir de te lire !

freddy · 18-08-2010 21:18:55

Re,

j'enfonce encore un clou ... On a :

[tex]\begin{cases} x_1=\frac{V}{1+V}\times V \\ y_1=\frac{V}{1+V}\end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases} x_2=\frac{V}{(1+V)^2}\times (V^2+1) \\ y_2=\frac{V}{(1+V)^2}\times 2V \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases} x_3=\frac{V}{(1+V)^3}\times (V^3+3V) \\ y_3=\frac{V}{(1+V)^3}\times (3V^2+1) \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases} x_4=\frac{V}{(1+V)^4}\times (V^4+6V^2+1) \\ y_4=\frac{V}{(1+V)^4}\times (4V^3+4V) \end{cases}[/tex]

and so on ...

et on retrouve le développement du binôme signalé par notre ami.

Bb

jpp · 01-01-2011 19:22:48

bonsoir

apres cent mille opérations les verres auront toujours 50 cuillerees chacun .
maintenant il suffit de se dire la quantite de lait n existant plus dans le premier verre remplace automatiquement la quantite d eau du second verre qui a migre dans le premier. donc on aura toujours
la proportion
EAU LAIT
----- = -----
LAIT EAU

Dernière modification par jpp (01-01-2011 19:30:41)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 02-08-2010 20:37:53

Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#2 03-08-2010 00:19:31

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#3 03-08-2010 16:16:22

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#4 08-08-2010 15:42:31

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#5 09-08-2010 09:58:03

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#6 09-08-2010 14:47:22

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#7 12-08-2010 10:33:02

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#8 13-08-2010 21:41:11

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#9 15-08-2010 23:59:35

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#10 16-08-2010 10:06:23

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#11 17-08-2010 06:53:42

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#12 17-08-2010 15:05:24

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#13 17-08-2010 16:14:49

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#14 17-08-2010 17:32:04

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#15 17-08-2010 18:20:01

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#16 18-08-2010 21:18:55

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

#17 01-01-2011 19:22:48

Re : Enigme : Vous en reprendrez bien une cuiller ?

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