Enigme : Un jeu de dés un peu spécial

yoshi · 02-08-2010 15:50:41

Bonjour à tous,

Le jeu de dés
Lors d'une récente visite chez M. et Mme Crumble, j'ai eu l'occasion d'observer une petite fille surdouée jouant toute seule à un jeu de dés qu'elle avait elle-même inventé. A chaque fois, elle jetait deux dés sur le tapis. D'habitude, on calcule le résultat en additionnant les points présentés sur les faces mais, dans le cas présent, le résultat s'obtenait en multipliant les deux chiffres affichés sur les dés. Ainsi, avec un 3 et un 2, ou un 6 et un 1, on obtenait 6. Et avec deux 5, le résultat était 25.
Voici ce dont je me souviens au sujet des résultats obtenus par la fillette à ce jeu :
- Le résultat obtenu au second lancer de dés se trouvait être supérieur de 5 à celui du premier lancer.
- Le résultat du troisième lancer était inférieur de 6 à celui du deuxième.
- Le résultat du quatrième lancer était supérieur de 11 à celui du troisième.
- Le résultat du cinquième lancer était inférieur de 8 à celui du quatrième.

Pouvez-vous me rappeler les résultats de chacun de ses cinq lancers ?

@+

Golgup · 02-08-2010 20:07:33

NON!!

La réponse était dans le nom de monsieur: 5 et 2 puis 3 et 5 puis 3 et 3 puis 5 et 4 puis 6 et 2

yoshi · 02-08-2010 20:26:42

Re,

Si !!!

C'était de l'humour ? :° est-il un smiley connu ? Pas par moi...

Il y a des jours comme ça où je suis particulièrement irrité par ce type d'intervention "terroriste" : elles ne font pas avancer le "débat", contrairement à ce qui est demandé par nos Règles, alors je sors ma paire de ciseaux, et tel Anastasie, je tranche...

Si tu voulais bien, cher Golgup, détailler le cheminement de ta pensée ?

@+

L'autre moi · 02-08-2010 20:57:38

Cachez son IP !!!

[EDIT]par Yoshi

C'est fait. Merci

golgup2 · 02-08-2010 21:17:50

J'ai résolu un peu au hasard le système en essayant de trouver des facteurs plus petits que 7

Golgup · 03-08-2010 11:38:43

hi

c'était la repose que t'avais en tête yoshi?

yoshi · 03-08-2010 11:52:37

Hey,

Je n'y avais même pas réfléchi. J'ai retrouvé ça, hier dans l'un de mes dossiers en faisant le ménage sur mon HD.
Vais-je devoir y réfléchir ?
Bon, il ne doit pas y avoir 2 solutions possibles.
Quel a été ton raisonnement (si Golgup2, ce n'est pas toi) ?

@+

Golgup · 03-08-2010 12:04:57

Si il n'y a pas 2 solutions possibles alors M**DE! je suis vachement chanceux!!

golgup2

yoshi · 03-08-2010 13:44:50

Salut Golgup,

Voici la S.A.P (Solution Assistée par Python) :
1. Les seuls résultats différents poosibles avec le produit des numéros affichés lors du lancer des 2 dés, sont :
Avec Python, au prompt >>> j'écris :
>>> L=[a*b for a in range(1,7) for b in range(1,7)]
>>> L
[1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 15, 15, 16, 18, 18, 20, 20, 24, 24, 25, 30, 30, 36]
2. Il y a des doublons (normal) que je vais virer :
>>> L = list(set(L))
>>> L
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36]
Seuls tirages possibles.

3. Les infos sur les résultats a, b, c, d et e des lancers sont :
b = a +5
c = b – 6
d = c + 11
e = d - 8

4. J'ajoute membre à membre :
b + c + d + e = a + b + c + d + 2, soit e = a + 2

5. c = b – 6 et b = a + 5 d'où c = a-1.

6. d = c + 11 d'où d = a+10

7. a+10, a+5, a+2, a-1 doivent donc être présents dans les tirages, ce qui ne me laisse plus que a = 10.
>>> L1=[x for x in L if (x-1 in L and x+2 in L and x+5 in L and x+10 in L)]
>>> L1
[10]
CQFD
Ce qui était compactable en 3 lignes :

>>> L = list(set([a*b for a in range(1,7) for b in range(1,7)]))
>>> L1 = [x for x in L if (x-1 in L and x+2 in L and x+5 in L and x+10 in L)]
>>> L1
[10]
>>>

Bon, on pouvait faire ce même travail "à la main", mais ça va plus vite avec Python avec la définition des listes en compréhension, qui permet de construire la liste en extension (i.e. composée de tous ses éléments).

Alors, Golgup ?

freddy, autre méthode que l'élimination ?

@+

Golgup · 03-08-2010 21:44:22

hi!

Je n'ai qu'une question: au nombre de combien s'élève les ensembles a,b,c,d,e (a,b,c,d et e < 37) vérifiant les équations ci dessus? (5+a=b 6+c=b 11+c=d 8+e=d)?

yoshi · 03-08-2010 22:02:30

Re,

Bin, curieuse question...
Ces équations se ramènent à b = a + 5, c = a - 1, d = a + 10 et e = a + 2 ; a, b, d et e devant appartenir à l'ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36}, on en déduit qu'un seul a répond à ces questions : a = 10. La réponse {a, b, c, d, e} est donc unique...

Maintenant si tu veux savoir de combien de façons on peut choisir (au hasard total), a, b, c, d, e parmi les 18 jets possibles, il s'agit de [tex]A_5^{18} =1.028.160[/tex]
Si tu as totalement travaillé au hasard, tu avais 1 chance sur 1028160 de trouver (freddy, notre maître es probas, ou qui que ce soit d'autre, je ne dis pas de bêtises ?)... !!!

C'est ça que tu veux savoir ?
Les écritures Python t'ont laissé froid ?

@+

Golgup · 03-08-2010 22:10:27

re

non, j'ai compris les écritures python. Ma question estait de savoir combien de couple (a,b,c,d,e) d'entiers (n'appartenant pas que au 18 jets) inférieurs ou égal a 36 vérifiaient 5+a=b et 6+c=b et 11+c=d et 8+e=d. Merci

Dernière modification par Golgup (03-08-2010 22:12:24)

Golgup · 03-08-2010 22:45:21

Ok 1/34 chance si je me suis pas trompé, donc j'ai quand même eu beaucoup d'chance

++

freddy · 04-08-2010 10:54:42

Salut !

J'ai fait à la main, avec encadrements restrictifs successifs. Tous les produits suivants doivent être divisibles par 2, 3 et/ou 5.

T1 : ab
T2 : ab+5
T3 : ab-1
T4 : ab+10
T5 : ab+2

Par T4, on déduit que [tex] ab \leq 26[/tex] ; par T3, on déduit que [tex]ab > 1[/tex]

On a alors un premier résultat : [tex]1 \leq a \leq 4\; et\; 2 \leq b \leq 6[/tex]

Ensuite, par T5, on voit que ab ne peut pas être égal à 24 (car 26 est impossible). Donc ab est au plus égal à 20, et donc b au plus égal à 5.

En appliquant T3 à partir de ab = 20, on voit que 20 n'est pas possible (car 19 n'existe pas), 18 itou, 16 irait bien, car 15=3x5 mais T2 ne va plus, 15 ne convient pas car 14 est impossible, idem pour 12.

Convient ab= 10 = 2x5 qui donne ensuite 25, puis 9, puis 20 et enfin 12.

9 ne convient pas à cause de T2 et T4 ; et ainsi de suite.

Donc une seule solution : 2x5 ; 3x5 ; 3x3 ; 4x5 ; 3x4 ou 2x6.

Dernière modification par freddy (04-08-2010 11:07:36)

yoshi · 04-08-2010 11:23:08

Re,

ok ! Procédure par élimination aussi...
Et concernant la proba demandée par Golgup ?

@+

freddy · 04-08-2010 15:20:13

Re,

pour la probabilité, deux analyses possibles dans le même cadre expérimental.

On considère qu'une main innocente tire successivement et sans remise 5 boules dans une urne opaque qui en contient 36 numérotées de 1 à 36 et parfaitement indiscernable au toucher.

De deux choses l'une :

1) soit on veut que les boules tirées dans l'ordre a, b, c d et e respectent les 4 équations ordonnées de Golgup, alors la proba est égale à [tex]\frac{(36-5)!}{36!}=\frac{1}{1.402.410.240}[/tex] ;

2) soit on accepte que les numéros des 5 boules tirées au hasard puissent résoudre les équations sans respecter l'ordre des équations, et on réduit un peu la part de chance. La probabilité ci dessus est multipliée par 5! = 120 et devient [tex]= \frac{1}{11.686.752}[/tex].

Maintenant, la probabilité qu'avait Golgup de trouver en calculant "à la main" était très proche de 100 % puisque le pb n'admet qu'une solution et que l'ami n'a pas le QI d'une huître !

yoshi · 04-08-2010 17:10:08

Re,

Intéressant, mais ne peut-on pas dire que les 5 tirages soient à choisir parmi 18 et non 36, puisqu'il n'y a que 18 tirages différents possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36.
Serait-ce une erreur que d'éliminer les tirages redondants ? Et en quoi, je fausse ainsi l'expérience ?

@+

Golgup · 04-08-2010 17:26:13

hi

je me suis peu être mal exprimé;

Pour tous entiers appartenant à [1;36] , combien ya t-il d'ensemble d'entiers (a,b,c,d,e) vérifiant 5+a=b et 6+c=b et 11+c=d et 8+e=d ?

Et bien soit 5+a=6+c et 11+c=8+e
donc 5+a=6+8+e-11

5+a=e+3 donc e=a+2

donc combien existe t-il de couple e,a [tex]\in [/tex] [1;36] vérifiant cette dernière équation?? Facile : 33 (et non 34, désolé)

Ainsi, comme il n'existe qu'un seul tel ensemble ayant au moins 2 facteurs plus petit ou égal à 6, j'avais 1/33 chances de tomber sur le bon ensemble.

@+

freddy · 05-08-2010 09:42:23

yoshi a écrit :

Re,
Intéressant, mais ne peut-on pas dire que les 5 tirages soient à choisir parmi 18 et non 36, puisqu'il n'y a que 18 tirages différents possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36.
Serait-ce une erreur que d'éliminer les tirages redondants ? Et en quoi, je fausse ainsi l'expérience ?
@+

Salut,
je suis le roi des c ...

Tu as raison, il faut réduire l'espace des résultats individuels comme tu le fais, il n'y a que 18 numéros possibles.

Il eût fallu tenir compte de la redondance de certains résultats si on avait voulu reproduire les conditions exactes de tirages (avec remise) de la jeune surdouée, mais comme on cherche une solution ET que tous les 5 nombres cherchés sont différents (d'où les tirages sans remise), je suis d'accord avec toi.

De fait les calculs donnent :

si obligation de trouver dans l'ordre et du premier coup : [tex]\frac{(18-5)!}{18!}=\frac{1}{1.028.160}[/tex]

sinon : [tex]\frac{5!(18-5)!}{18!}=\frac{1}{8.568}[/tex], ce qui est beaucoup plus réaliste.

@Golgup : oups, je ne comprends pas bien ton raisonnement !

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Enigme : Un jeu de dés un peu spécial

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