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freddy

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révision bac- exo série C 1983 [Résolu]

Hello tutti belli,

encore un joli sujet de révision/préparation.

On considère des entiers a, b, c tels que :

PGCD(a,b) = 3 et PGCD(b, c) = 4. (I)

1◦ Montrer que a, b, c sont premiers entre eux dans leur ensemble.

2◦ On suppose dans cette question que a et c sont premiers entre eux. Montrer que l’on a la relation suivante :

abc = PPCM(a,b,c)PGCD(a,b)PGCD(b, c)PGCD(c,a)

. 3) On suppose dans cette question que abc = 12096, a, b, c vérifiant le système (I). Trouver tous les triplets
(a, b, c).

Bien entendu, on corrigera à la demande !

Dernière modification par freddy (01-07-2010 18:29:44)

freddy

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Re : révision bac- exo série C 1983 [Résolu]

'jour,

puisque [tex]3\wedge 4=1[/tex] alors a et c sont premiers entre eux.

Par  conséquent, a,b et c sont trois entiers premiers entre eux.

2 - On suppose que a et c sont premiers entre eux.

On sait que [tex]abc = b(ac)=b\times (a\vee c)\times (a\wedge c) =(b\vee ac)\times (b\wedge ac)[/tex]

et on sait que :

[tex](b\vee ac)=a\vee b\vee c[/tex] par construction, et que

[tex]b\wedge (ac)=(b\wedge a)\times (b\wedge c)[/tex] car a et c sont premiers entre eux, alors :

[tex]abc = (a\vee b\vee c)\times (a\wedge b)\times (b\wedge c)\times (c\wedge a)[/tex]

3 - Grâce au résultat précédent, on a [tex]12096=12\times 1008=12\times a'\times b'\times c'[/tex]

avec a', b' et c' premiers entre eux deux à deux.

En factorisant [tex]1008=3^2\times 2^4\times 7[/tex], on trouve : a'=9, b'=16 et c'=7.

On en déduit l'unique solution positive entière qui vérifie I : a=9, b = 48 et c = 28.

Dernière modification par freddy (01-07-2010 22:37:36)