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Léa

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fonction mesurble, convergence de serie

Bonjour à tous,
je suis en train d'arriver à la fin de mes fiches d'exo d'intégration mais j'ai encore quelques blocages, je vous en soumet un :

soit f une fonction : [0,1]->[0,+oo[ une fonction mesurable
on considères les ensembles :  [tex]{A}_{k}={\,x\in \left[0,1\right]\,:\,k-1\leq f\left(x\right)<k}[/tex]
prouver que f est integrable si y seulement si  [tex]\sum^{oo}_{k=1}k\,m\left({A}_{k}\right)[/tex] converge.

J'ai déjà fait le sens droite->gauche en utilisant le théorème de convergence dominée, par contre la réciproque (si f est integrable alors la somme converge) je bloque.

Avez vous une idée?

merci bien

Léa

Léa

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Re : fonction mesurble, convergence de serie

Re,
est ce que je peut faire quelque chose avec la fonction g=f+1 et dont l'intégrale majore la somme?

merci

thadrien

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Re : fonction mesurble, convergence de serie

Salut,

Démonstration du sens "si f est integrable alors la somme converge". Ta série est une série à termes positifs. Donc elle converge si et seulement si les sommes partielles sont majorées. Comme ta fonction est intégrable, son intégrale est un majorant des sommes partielles.

Léa

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Re : fonction mesurble, convergence de serie

salut,
ok, j'ai majoré les sommes partielles par g=f+1
merci bcp!