Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Sujet Bac Lille AAA9... Oui, mais que sont les A ???

Bonjour à tous,

Je suis tombé sur un sujet de Bac très intéressant qui fait écho (dans le problème) à des préoccupations récentes de Léa, Chipp, à mon travail de programmation sur les approximations de Pi... et à la discussion en cours sur les niveaux comparés des Bacs d'antan par rapport à ceux d'aujourd'hui.
Ne voulant pas être en reste avec freddy, je vous offre le sujet et de plus in extenso parce que je le juge assez représentatif d'une année de Terminale Maths, par contre je ne vous donne pas l'année et je vous pose cette colle : 1969, 1979, 1989, 1999, 2009 ? Réponse argumentée, S.V.P... ;-)

Si quelqu'un est intéressé, une correction pourra être donnée de ce sujet et si vous voulez vous faire plaisir, n'hésitez pas !

A vot' bon coeur, m'sieus-dames !

------------------------------------------------------------------------------------------
Lille  AAA9

EXERCICE I (4 points)
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal [tex](O\;;\;\vec{u}\;;\;\vec{v})[/tex]. On notera A le point d'affixe -1+2i et B le point d'affixe 2-i.
1. Déterminer et représenter dans le plan P l'ensemble E1 des points M de P d'affixe z = x + iy tels que :
   [tex]z^2-(1-2i)^2 = \bar z^2 - (1+2i)^2[/tex]
   où [tex]\bar z[/tex] désigne le conjugué de z. Vérifier que A et B appartiennent à E1.
2. Déterminer et représenter dans le plan P l'ensemble E2 des points M de P d'affixe z = x + iy tels que :
    [tex](z-(1+i))(\bar z -(1-i))=5[/tex]
    Vérifier que A et B appartiennent à E2.

EXERCICE II (4 points)
Soit ABC un triangle isocèle du plan tel que AB = AC. On note I  le milieu de [BC] et on donne AI = 4a et BC = 2a, où a est un réel strictement positif. L'unité de longueur dans le plan étant le centimètre, on prendra a = 2 pour la figure demandée au 1.
On note G le barycentre du système {(A,2), (B,1), (C,1)}.
1. En utilisant le point G déterminer l'ensemble des points M du plan tels que :
   [tex]||2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=||2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||[/tex].
   Faire une figure où l'on représentera le triangle ABC et l'ensemble E.
2. k étant un nombre réel, déterminer l'ensemble des points M du plan tels que       
   [tex]2MA^2+MB^2+MC^2=ka^2[/tex].
   On discutera selon les valeurs de k.

PROBLÈME (12 points)
                                                       PARTIE I
On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormal [tex](O\;;\;\vec{i}\;;\;\vec{j})[/tex], le cercle [tex]\Gamma[/tex] de centre O et de rayon 1. Soit A le point de coordonnées (1,0) et A' le point de coordonnées (-1,0).
1. Par tout point H du segment [AA'], distinct de A et A', on mène la perpendiculaire [tex]\Delta[/tex] à la droite (AA').
    La droite [tex]\Delta[/tex] coupe le cercle [tex]\Gamma[/tex]  en M et M'. On pose [tex]\overline{OH}=x[/tex].
    Calculer en fonction de x l'aire du triangle AMM'.
2. Soit f la fonction numérique définie sur [-1 ; +1] par :
    [tex]f(x)=(1 - x)\sqrt{1-x^2}[/tex]
    et soit C sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.
    a) Étudier la dérivabilité de f en -1 et +1.
        En déduire les tangentes à la courbe C aux points d'abscisses -1 et +1
    b) Dresser le tableau de variations de f ; on y précisera f(0).
    c) Tracer la courbe C
    d) Montrer que le triangle AMM' d'aire maximale est équilatéral.
4. Justifier que l'équation [tex]f(x) = 1[/tex] admet exactement deux solutions [tex]\alpha \text{ et }\beta  (\alpha<\beta)[/tex].
    Déterminer [tex]\beta[/tex] et donner, en la justifiant, une valeur décimale approchée par défaut à  [tex]10^{-3}[/tex] près de [tex]\alpha[/tex]

                                                        PARTIE 2

Etude des intégrales [tex]I_n[/tex] définies pour n entier naturel non nul par :
          [tex]I_n=\int_0^1\;(1-x^n)\sqrt{1-x^2}\;dx[/tex]
On pose :
          [tex]J_0=\int_0^1\;\sqrt{1-x^2}\;dx[/tex]
et pour n entier naturel non nul :
          [tex]J_n=\int_0^1\;x^n\sqrt{1-x^2}\;dx[/tex]
1.En utilisant des considérations d'aires, justifier que [tex]J_0={\pi \over 4}[/tex].
2. a) Calculer [tex]J_1[/tex]
    b) En déduire la valeur de [tex]I_1[/tex] et donner une interprétation géométrique du résultat trouvé.
3. a) Étudier le sens de variation de la suite [tex](J_n)_{n\,\in\,\N^*}[/tex]
    b) En déduire que les suites [tex](J_n)_{n\,\in\,\N^*}\text{ et }(I_n)_{n\,\in\,\N^*}[/tex] convergent.
4. a) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul , on a :
        [tex]0\leq J_n\leq\int_0^1\;x^n\;dx[/tex]
    b) En déduire [tex]\lim_{n \to +\infty}J_n \text{ puis }\lim_{n \to +\infty}I_n[/tex]

                                                        PARTIE 3

Déterminatiion de la valeur exacte de [tex]J_n[/tex] en fonction de n.
1. a) Démontrer que la fonction v définie sur [0 ; 1] par :
        [tex]v(x)={-}{1 \over 3}(1-x^2)\sqrt{1-x^2}[/tex],
        a pour fonction dérivée sur [0 ; 1[, v' telle que [tex]v'(x)=x\sqrt{1-x^2}[/tex].
       On admet que ce résulat reste vrai sur [0 ; 1].
    b) A l'aide d'une intégration par parties faisant intervenir la fonction v, démontrer que pour tout entier naturel [tex]n\geq 3[/tex], on a :
        [tex](n+2)J_n=(n-1)J_{n-2}[/tex]
        Vérifier que cette formule est encore valable pour n = 2.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout p entier naturel non nul, on a :
    [tex]J_{2p}=\frac{1\times 3 \times \cdots\times(2p-1)}{4 \times 6 \times \cdots\times(2p+2)}\times {\pi \over 4}[/tex]
    et
    [tex]J_{2p+1}=\frac{2\times 4 \times \cdots\times 2p}{3 \times 5 \times \cdots\times(2p+3)}[/tex]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

@+

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Sujet Bac Lille AAA9... Oui, mais que sont les A ???

Salut,

à la simple lecture des trois énoncés,  je dis sans prendre trop de risque que ça sent bon la cuvée 1989, quoique ça pourrait même être un sujet de 1979 (où à partir de la réforme du programme de TC de 1971)

Bon, je vais faire les parties qui ml'intéressent dès que j'aurai un peu de temps.

Yoshi, on you !

Bb

Domi

Membre

Inscription : 12-05-2009

Messages : 35

Re : Sujet Bac Lille AAA9... Oui, mais que sont les A ???

A vue de nez, c'est pas du 2009, la géom vectorielle et les barycentres sont passés de mode au bac. Mais ça peut être plausible jusqu'à 2005 => je dirais 1999…
Voilà ma maigre contribution, j'ai fait le corrigé de l'exo II ( un sasfépu donc…)
Dispo ici
et aussi le fichier géogebra (je sais, ici c'est une provocation. Je suis désolé, le prenez pas mal, mais c'est mon standard depuis des lustres, alors…).
Pour la question 2, j'ai fait analytique, c'est pas beau mais au vu du résultat, j'ai des doutes sur une autre méthode.
Toute remarque ou correction de mes éventuelles bêtises bienvenues, évidemment.

Modife le 25 juin…
Le sujet n'intéresse pas grand monde, visiblement.
J'ai joint le corrigé de l'exo I : les géniteurs du sujet n'ont pas eu une imagination débordante, et les 2 questions sont trop similaires à mon goût : on a tout bon ou tout faux à cet exo !
voir le pdf ici

J'ai aussi l'impression que mon fichier géogebra est foireux… (on t'avait prévenu diront les esprits chagrins !)
=> si qq'un pouvait tester…

Et aussi : qq'un a trouvé une solution vectorielle à la question 2 de l'exo II ?

Dernière modification par Domi (25-06-2010 15:05:35)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Sujet Bac Lille AAA9... Oui, mais que sont les A ???

Re,

non Domi, tu te trompes, nous sommes intéressés, mais nous devons laisser un peu de temps au temps.

Yoshi a modifié les années proposées : alors sans plus aucune hésitation, je dirais 1989.

En effet, outre les deux exo assez typique pour ramasser rapidement les 8 points d'office, le problème est assez typique dans son enchaînement logique où il faut plus vérifier qu'arriver à un résultat inconnu d'avance.

On démarre sur une question puis on se branche sur un sujet qu'on élargi de plus en plus sans pour autant chercher à désespérer le candidat.

Pour 1979, je trouve que le sujet est trop téléphoné, il y a trop de réponses à vérifier. Les questions auraient plutôt été du genre : trouver une relation entre ... et ... . Généraliser et conclure !

1999 et au delà : non, le problème est trop compact et les parties sont liées enre elles.

1969 : les exos sont trop simples. En particulier, il y a trop de question sur la partie "complexe" et le second exo. aurait été plus orienté arithmétique. Mais bon, à l'époque, je regardais plutôt les jolies jeunes filles à l'ombre des lauriers en fleur ...

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Sujet Bac Lille AAA9... Oui, mais que sont les A ???

Bonsoir,

Et la palme revient à.... freddy !
  ...1989...
Cette épreuve était destinée aux séries C et E.
Cela dit, un TS d'aujourd'hui pourrait faire ce sujet : c'était pour illustrer mon propos affirmant qu'à quelques variantes près, les sujets de maths avaient peu évolué sinon dans la présentation et l'écriture...

D'autre part, je viens de récupérer 120 pages de sujets démarrant à 1967 (un fichier .pdf) ! Avis aux amateurs...

Pour cette épreuve, je vais tâcher de me pencher dessus...
Pour l'instant, j'ai d'autres chats à fouetter.

Pour la différence de sévérité de la notation : en 1967, dans mon centre d'examen 90 candidats (j'en étais) sur 330 avaient eu le droit d'essayer de ne pas se faire étendre à l'oral obligatoire...
Ça faisait pas lourd et ça servait à quoi ?
Soit le sujet était trop dur (plombant le résultat de l'écrit de ce Bac) et alors les auteurs du sujet (et ceux qui l'avaient retenu) avaient réussi leur coup (mais quel intérêt ?) ou alors les consignes de correction étaient particulièrement vachardes et une fois encore, pourquoi ?

@+