Vous avez dit bizarre ?

nerosson · 16-05-2010 16:59:06

Bonjour à tous,

J'ai oublié le peu de maths que je savais, je ne devrais donc pas traîner mes guêtres sur ce site, car je risque de me rendre ridicule. Tant pis : ça ne sera pas la première fois.

J'ai trouvé un truc que j'ignorais et qui m'a paru curieux. Je vous le soumets à vous les matheux de haut vol. Vous allez sans doute me répondre que :
a) on le savait depuis longtemps,
b) ça n'a aucun intérêt,
c) tout le monde s'en fout,
d) je suis prié de retourner à la cuisine.

Voilà :
a) Je fais la liste des nombres entiers,
b) dessous je fais la liste de leurs carrés,
c) dessous, je fais la différence entre chacun de ces carrés et celui qui le précède : j'obtiens la liste complète des nombres impairs.

Démonstration :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43

Intéressé, je voudrais voir si j'obtiens quelque chose d' intéressant avec les cubes :comme la différence entre les cubes des entiers successifs ne me dit pas grand chose, je calcule les différences entre ces différences : j' obtiens un 6 et tous les multiples de 6.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832
1 7 19 37 61 91 127 169 217 271 331 397 469 547 631 721 817 919
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102

J'ai redécouvert l'Amérique ?

On s'amuse comme on peut : j'ai passé l' âge de faire des châteaux de sable.

Je sens que Yoshi va m'expliquer tout ça à grand renfort de fractions à triple étages bourrées de signes cabalistiques auxquels je ne comprendrai rien.

yoshi · 16-05-2010 17:46:46

Bonjour "chère vieille chose";

Expression affectueuse bien connue...
Bon soyons sérieux.
Pas d'étages, non Monsieur, non !
De signes cabalistiques pas plus... sauf si tu considères que désigner un entier quelconque par n et écruire ses puissances 2 ou 3 en font partie ?
Chi lo sa ?
Dunque... avanti !
Avanti ?
Chantons en choeur :
Avanti o popolo,
A la riscossa,
Bandiera rossa...
Mais je m'égare...

Soit n un nombre entier quelconque supérieur ou égal à n..
Son précédent s'écrit n-1, son suivant n+1....
J'établis donc, tout comme nero's son (veux-tu lâcher ces allumettes ? Tu vas finir comme ton "père"...) un ch'ti tableau :

n-1 n n+1
(n-1)^3 n^3 (n+1)^3
n^3 - (n-1)^3 (n+1)^3-n^3
(n+1)^3-n^3 -(n^3 - (n - 1)^3)

Je m'intéresse à la dernière expression, ta différence de différences :
[tex](n+1)^3-n^3 -(n^3 - (n - 1)^3) = (n+1)^3-n^3 - n^3 + (n - 1)^3 = (n+1)^3 - 2n^3 + (n - 1)^3[/tex] (1)

En classe de 2nde, on introduit notamment ces deux identités remarquables supplémentaires :
[tex](a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex]
[tex](a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3[/tex]

Muni d'icelles, je m'en vais donc développer l'expression finale de (1) :

[tex](n+1)^3 - 2n^3 + (n - 1)^3=n^3+3n^2+3n+1 - 2n^3 + n^3 -3n^2 + 3n - 1[/tex]
En réduisant, les cubes s'éliminent, les carrés s'en vont, les 1 aussi...
Donc :
[tex](n+1)^3-n^3 -(n^3 - (n - 1)^3) = 6n[/tex]

Ce qui concrètement signifie quoi ?

Que si je prend le nombre 25 (au hasard), la différence des différences [tex]26^3 - 25^3 - (25 ^3 - 24 ^3)[/tex] vaut 25 x 6 = 150.

Vérification :
24^3 = 13824 |
|> D1 = 15625 - 13824 = 1801 |
25^3 = 15625 | |> D2 - D1 = 1951 - 1801 = 150
|> D2 = 17576 - 15625 = 1951 |
26^3 = 17 576 |

Hey nerosson, j'ai prouvé que ta remarque était non seulement judicieuse mais toujours vraie...

Alors, heureux ?

@=

karlun · 16-05-2010 20:49:44

bonsoir ou bonjour c'est selon,

Sans le savoir (?) tu reprends la série que je développe (en cubes-uns). "du cube de cube à la pyramide de cube".

Moi j'ai pas découvert l'Amérique mais j'aime croire que j'ai peut-être inspiré...; et c'est bon pour le cœur et pour le corps et pour l'esprit.
Maître Yoshi a répondu (et vite) mais ce thème m'enchante.
J'm'y applique.

merci.

yoshi · 16-05-2010 20:55:57

Re,

Oui, j'ai vu...
Je voulais signaler ça à nerosson et puis j'ai fait autre chose, je l'ai zappé (pas nerosson, inzappable).
Merci d'avoir confirmé ce que j'ai entrevu...
Mais toi qui a une imagination fertile, tu vas bien arriver à faire un lien autre que le résultat sec : multiple de 6...

@+

thadrien · 16-05-2010 21:17:19

Salut,

@nerosson : bien trouvé ! Il ne reste plus qu'à généraliser à une puissance k quelconque.

Bis Bald.

nerosson · 17-05-2010 12:50:02

Salut à tous

Je suis content, content, content : personne ne m' a traité d'idiot. J'avais peur.

Karlun,

C'est sûrement vrai que mes reflexions sur les carrés et les cubes ont du venir, plus ou moins consciemment, de ton histoire de pyramides, mais par contre, les résultats auxquels j'ai abouti n'ont rien à voir avec tes étranges pyramides.

Dernière modification par nerosson (20-05-2010 14:35:25)

karlun · 19-05-2010 12:00:41

Salut honoré Nérosson,
salut à tous

Et si tu avais continué ces différences tu arrives à:

table des [tex]{n}^{3}[/tex]
n n
exp3

0    0 0    0 0 0
1    1    1    1 1 1
2    8    7    6 5 4
3    27    19    12 6 1
4    64    37    18 6 0
5    125    61    24 6 0
6    216    91    30 6 0
7    343    127    36 6 0
8    512    169    42 6 0
9    729    217    48 6 0
10    1000    271    54 6 0
11    1331    331    60 6 0
12    1728    397    66 6 0
13    2197    469    72 6 0

La table des 6 on l'a repère bien mais la suite: 1,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,...
Bizarre cette régularité qui au moins nous donne le 6 comme indice de la table ou comme les 6 faces du cube1.
Mais la colonne suivante: 1,4,1,0,0,0,0,0,0,...
Bizarre.

Si on prend [tex]{n}^{4}[/tex] en route vers la 4° dimension?

n n exp4

0 0    0 0 0 0 0
1 1    1 1 1 1 1
2 16    15 14 13 12 11
3 81    65 50 36 23 11
4 256    175 110 60 24 1
5 625    369 194 84 24 0
6 1296    671 302 108 24 0
7 2401    1105 434 132 24 0
8 4096    1695 590 156 24 0
9 6561    2465 770 180 24 0
10 10000 3439 974 204 24 0
11 14641 4641 1202 228 24 0
12 20736 6095 1454 252 24 0
13 28561 7825 1730 276 24 0

Table de 24 à partir du 4° terme. (ça me fait penser à une pyramide... hahahaha!) :-)
Bizarre bizarre.

A+

P.S.: Ouche! la prévisualisation des colonnes de chiffres (pourtant bien alignées lors de la rédaction) est difficile à lire. Mais bon!

karlun · 16-06-2010 10:16:55

Bonjour chers tous,

Yoshi a écrit :

Mais toi qui a une imagination fertile, tu vas bien arriver à faire un lien autre que le résultat sec : multiple de 6...

Outre le lien démontré du cube à la pyramide en coin (modulo6) à pattes d'éléphant(s) (manque les bananes))http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 777#p21777
Belle invitation à poursuivre. Merci . Y a 6 et puis 24 et puis...?

Yoshi a écrit :

Hey nerosson, j'ai prouvé que ta remarque était non seulement judicieuse mais toujours vraie...

Poursuivant donc vers d'autres puissances, je butte sur le "décollage".

En effet quelque soit la puissance de n , pour n=1 le résultat est toujours 1.

Yoshi a écrit :

n-1 n n+1
(n-1)^3 n^3 (n+1)^3
n^3 - (n-1)^3 (n+1)^3-n^3
(n+1)^3-n^3 -(n^3 - (n - 1)^3)

et ta conclusion:

[tex]\left(n+1{)}^{3}-2{n}^{3}+\left(n-1{)}^{3}=6n[/tex]

ne colle pas avec le tableau pour n=1; en effet, pour n=1 on obtient 1 (et pas 6) bigre!
Pour n=2 on obtient 6. Y a décalage.

Il est remarquable que la somme des colonnes des différences prolongées ne descend jamais en dessous de 0, d'où le terme de décollage; mais celui-ci démarre toujours de 0 à 1.

Comment traiter ce fait mathématiquement?

Pour ce qui est de la suite... chouettes cherchailles en vues.

à+-*/

yoshi · 16-06-2010 21:16:57

Re,

Vite fait, à la bourre jusqu'à samedi...

karlun a écrit :

et ta conclusion:
[tex](n+1{)}^{3}-2{n}^{3}+(n-1{)}^{3}=6n[/tex]
ne colle pas avec le tableau pour n = 1; en effet, pour n=1 on obtient 1 (et pas 6) bigre!

J'aurais cru qu'il ne t'aurait pas échappé que pour ma démo, j'avais choisi n avec un suivant n+1 et un précédent n-1 et que donc il fallait travailler avec n>=2
Tu ne peux pas prendre n = 1, parce que le précédent est 0...
Si tu tiens à partir de 1, on recommence :
[tex]S=[(n+2)^3- (n+1)^3]-[(n+1)^3-n^3]=(n+2)^3-2(n+1)^3+n^3[/tex]
Soit :
[tex]S=n^3+6n^2+12n+8- 2n^3-6n^2-6n-2+n^3=6n+6=6(n+1)[/tex]
Et maintenant si tu choisis n = 1, 6(n+1) = 12
Cette fois tu peux travailler avec n >= 1 et ses 2 suivants.

Pour n=2 on obtient 6. Y a décalage.

Heu.... Pour n = 2, 6n = 6 *2 = 12

1^3 = 1 |
|--> 8 - 1 = 7 |
2 ^3 = 8 | |--> 19 - 7 = 12
|--> 27 - 8 = 19 |
3^3 = 27 |

Si tu persistes à penser qu'il y a problème, aie l'obligeance de m'ouvrir les yeux : je ne vois pas. Ça arrive, des fois...

@+

karlun · 17-06-2010 16:39:43

Bonjour,

Yoshi a écrit :

J'aurais cru qu'il n en de t'aurait pas échappé que pour ma démo, j'avais choisi n avec un suivant n+1 et un précédent n-1 et que donc il fallait travailler avec n>=2

Heu oui! ça m'a échappé; mais je ne mettais pas du tout en doute la validité de ta démonstration.

Ma remarque portait davantage sur le tableau des différences de différences de différences de..., partant de [tex]{n}^{3}[/tex], qui, selon n ne coïncide pas avec le départ de la table de 6

Pour n=1 => 1
n=2 => 6
n=3 => 12
n=4 => 18

Yoshi a écrit :

Heu.... Pour n = 2, 6n = 6 *2 = 12

Sur le tableau: 12 correspond pour n=3.
Il n'y aurait aucun problème si pour n=1 => 6

Yoshi a écrit :

Si tu persistes à penser qu'il y a problème, aie l'obligeance de m'ouvrir les yeux : je ne vois pas. Ça arrive, des fois...

Pour ce qui est de "problème" j'aime assez m'y coller.

Et la suite? Heu...
"J'y retourne immédiatement"

à+-*/

yoshi · 17-06-2010 20:26:49

Re,

C'est à ce tableau de nerosson que tu fais allusion ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832
1 7 19 37 61 91 127 169 217 271 331 397 469 547 631 721 817 919
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102

Si oui, alors je ne suis pas d'accord avec sa présentation.
Pour moi, la bonne présentation est :

--

1       2          3          4          5          6            7    ... n

1       8         27         64         125        216          343   ... n^3

     7       19        37          61         91          127         ...  différences entre cubes 2 à 2

       12         18         24         30          36                ...

Peut être maintenant vois-tu pourquoi, je fais correspondre 30 à 5 ?
Si je pars de 5, je dois travailler avec 4^3 et 6^3 en dessous de 4 et 6,
puis 5^3-4^3 entre 4 et 5
puis 6^3 - 5^3 entre 5 et 6
Ce n'est que la différence de ces deux différences qui se retrouvera en dessous de 5...

@+

karlun · 20-06-2010 19:42:07

Bonsoir,

Y avait de la généralisation dans l'air; là il semble bien que j'y suis (sauf erreur évidemment).

(Et vive le tableur).

Les différences récurrentes au départ de n à la puissance p ( [tex]{n}^{p}[/tex] ) obéissent à une mise en équation se basant sur la somme des valeur absolues des facteurs multiplicatifs des puissances, somme multipliée par l'indice du nombre de "différences" exécutées. (woaw! ça c'est du blabla!) ;-)

Par exemple la 1° diff pour [tex]{n}^{9}[/tex] => [tex]{n}^{9}-{\left(n-1\right)}^{9}=\,9{n}^{8}-36{n}^{7}+84{n}^{6}-126{n}^{5}+126{n}^{4}-84{n}^{3}+36{n}^{2}-9n+1[/tex]

et (par ex.) sa 6° diff=
[tex]60480{n}^{3}-544320{n}^{2}+1723680n-1905120[/tex]

Bon, de là à en établir la démonstration...

Mais restent les anomalies bizarres auxquelles Maître Yoshi (que je remercie) s'est attaché à éclairer.

Le tableau de Neroson reflète bien la situation de terrain: pour n=2=> 6.

Le tableau de Yoshi nous laisse penser que pour n=1=> 6
pour n=5=> 30 soit 5*6=30

Mais sur le tableur et en équation il y a décalage.

1° différence: [tex]{n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}=\,3{n}^{2}-3n+1\,\,\,\,\,[/tex]

2° différence: [tex]\left({n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}\right)-\left({\left(n-1\right)}^{3}-{\left(\left(n-1\right)-{1}^{}\right)}^{3}\right)\,=\,6n-6[/tex]

=> pour n=1: 2° différence=0 et pas 6 et pas 1
=> pour n=2: 2° différence= 6 et pas 12
=> pour n=5: 2° différence= 24 et pas 30.

C'est ça qui est bizarre et que j'ai nommé, à l'occasion, "pattes d'éléphant(s)" ;-)

Y a quelque chose qui "bizarre" là dedans, j'y retourne immédiatement.

à +-*/

PS: Y a-t-il moyen de copier-coller un tableau? Si j'dois tout recopier...pfff! :-)

Dernière modification par karlun (21-06-2010 19:58:53)

yoshi · 24-06-2010 20:27:54

Bonsoir,

Je viens de découvrir (!) ta réponse...
Alors, encore une fois : vite fait.

Tu es têtu !!!
Je t'ai déjà dit (apparemment, tu n'as pas l'air de vouloir en tenir compte) et donc je recommence : tu dois comparer des différences comparables, ce qui n'est pas le cas avec :

1° différence: [tex]{n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}=\,3{n}^{2}-3n+1[/tex]
2° différence: [tex]\left({n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}\right)-\left({\left(n-1\right)}^{3}-{\left(\left(n-1\right)-{1}^{}\right)}^{3}\right)\,=\,6n-6[/tex]

Ta 1ere différence est celle de deux nombres, la 2e, elle, est composée de trois différences, à savoir la différence de deux différences...
Vouloir comparer par exemple a - b avec (c-a)-(a-b), c'est oublier le -2a et le +b (au lieu du -b) qui se mêlent aux calculs :
(c-a)-(a-b) = c-a-a+b= c -2a + b.
Tu compares une différence d1 avec une différence d3 = d2-d1. A quelle condition aura-t-on d3 = d1 ? Réponse, si d2 - d1 = d1, soit si d2 = 2d1...
Que je parte de n = 1 ou n = 2, les 3 cubes consécutifs que j'utilise sont les mêmes (par ex, dans les deux cas, les 3 premiers sont [tex]1^2,\; 2^3 \text{ et }3^3[/tex]), je change juste l'écriture en fonction de n desdits 3 cubes consécutifs pour une question de simplicité des calculs : étant, de nature, particulièrement paresseux, je préfère me simplifier les calculs quand j'en ai la possibilité.

Si après ça, tu devais persévérer à voir des anomalies là où il n'y en a pas, alors j'abandonnerai la partie parce que le dialogue de sourds, ça va un moment, mais ça finit par être lassant...

En ce qui concerne le début du post, je regarderai ça plus tard...

@+

Je ne t'ai pas envoyé un petit topo expliquant comment mettre une image sur le forum ?

yoshi · 25-06-2010 18:46:21

RE,

la somme des valeur absolues des facteurs multiplicatifs des puissances, somme multipliée par l'indice du nombre de "différences" exécutées. (woaw! ça c'est du blabla!) ;-)

Hein ???
Rien compris, et de plus je ne vois pas la moindre trace de valeur absolue dans les lignes de ton post qui suivent ledit blabla...

Qu'appelles-tu 6e différence ?
Ferais-tu d1, d2, d3, puis d4 = d2 - d1 et d5 = d3 - d2 puis d6 = d5 - d4 ?

Tu as généralisé quoi ?
Je pensais que tu allais nous montrer que comme d3, avec les [tex]n^3[/tex] est multiple de 3, alors d3, avec les [tex]n^9[/tex] est multiple de 18.
J'ai vérifié : ça a bien failli ! Hélas, ce n'est pas le cas :
[tex]\big[(n+1)^9-n^9\big]-\big [n^9 - (n - 1)^9\big ]=72n^7+252n^5+168n^3+18n[/tex]
Et 168 n'est pas multiple de 9...

@+

yoshi · 26-06-2010 11:29:34

Bonjour,

Très étrange...
J'ai tenté de voir pour quel k la différence [tex]\big[(n+1)^k-n^k\big]-\big[n^k-(n-1)^k\big][/tex] est multiple de 2k : généraliser, quoi ;-)
Il ne faut essayer avec k pair, ça ne peut pas coller : les 1 finaux s'ajoutent pour donner 2, au lieu de se soustraire à cause des puissances paires de -1...

Bon, j'avais tenté k=9 : ça coinçait et je m'étais arrêté là...
Hier soir, par acquit de conscience, j'ai testé 5 :
[tex]\big[(n+1)^5-n^5\big]-\big[n^5-(n-1)^5\big]=20n^3+10n=10(2n^3+n)[/tex]
ça colle... Bigre !
Alors, j'ai tenté 7...
[tex]\big[(n+1)^7-n^7\big]-\big[n^7-(n-1)^7\big]=42n^5+70n^3+14n=14(3n^5+5n^3+n)[/tex]
Diantre, diantre !!!...

Ce matin, je me suis coltiné k=11 :
[tex]\big[(n+1)^{11}-n^{11}\big]-\big[n^{11}-(n-1)^{11}\big]=110n^9+660n^7+924n^5+330n^3+22n=22(5n^9+30n^7+42n^5+15n^3+n)[/tex]
Boufre !
Le k=9 serait-il un vilain petit canard ?

Suite au prochain numéro...

@+

Pour tester k = 13, 15, 17, 19
Un petit triangle arithmétique de Pascal (issu d'une programmation en python), ça vous dit ?

    1     2     1

    1     3     3     1

    1     4     6     4     1

    1     5    10    10     5     1

    1     6    15    20    15     6     1

    1     7    21    35    35    21     7     1

    1     8    28    56    70    56    28     8     1

    1     9    36    84   126   126    84    36     9     1

    1    10    45   120   210   252   210   120    45    10     1

    1    11    55   165   330   462   462   330   165    55    11     1

    1    12    66   220   495   792   924   792   495   220    66    12     1

    1    13    78   286   715  1287  1716  1716  1287   715   286    78    13     1

    1    14    91   364  1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001   364    91    14     1

    1    15   105   455  1365  3003  5005  6435  6435  5005  3003  1365   455   105    15     1

    1    16   120   560  1820  4368  8008 11440 12870 11440  8008  4368  1820   560   120    16     1

    1    17   136   680  2380  6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376  6188  2380   680   136    17     1

    1    18   153   816  3060  8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564  8568  3060   816   153    18     1

    1    19   171   969  3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628  3876   969   171    19     1

PS2....
J'ai trouvé, il n'y a pas que 9... mais aussi 15, 25, 27, 33, 35, 39... Alors, alors ?
Hé ! Hé... Tiens, tiens, nerosson tu pourrais ptêt bin postuler à la médaille Fields..

nerosson · 26-06-2010 14:13:45

Salut à tous,

Mon cher Yoshi, il y a beau temps que j'ai décroché de cette discussion qui s'était envolée vers des sphères auxquelles je n'ai pas (ou plus) accès. Il y a beau temps que j'ai à peu près tout oublié, et puis peut-être que, comme le pense notre ami Freddy, je n'étais bon en maths que dans le cadre d' un programme spécialement conçu pour moi....

Pour la médaille Fields, finis le travail et demande-la pour toi ! :-))) moi, les merdailles....

yoshi · 26-06-2010 14:51:22

Ave,

Donc, tu ne vois pas pourquoi je pense que tu pourrais peut-être postuler à la médaille Fields ?
Dommage...
Parce que la "merdaille", elle est accompagnée d'un morceau de PQ en couleur avec un joli nombre de bonne longueur avec plein de zéros...
Je ne vais rien dire pour l'instant et voir si karlun (ou Golgup) trouve où je veux en venir...

@+

karlun · 28-06-2010 21:13:19

Salut à vous tous,
salut Maître Yoshi,

yoshi a écrit :

Donc :
[tex]{\left(n+1\right)}^{3}-{n}^{3}-\left({n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}\right)=6n[/tex]

et

Karlun a écrit :

1° différence: [tex]{n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}=\,3{n}^{2}-3n+1[/tex]
2° différence: [tex]\left({n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}\right)-\left({\left(n-1\right)}^{3}-{\left(\left(n-1\right)-1\right)}^{3}\right)=6n-6=6\left(n-1)[/tex]

C'est pas pareil il me semble.

L'observation de Nerosson repose sur cette deuxième formulation.
Il s'agit d'effectuer des différences successives et non de comparer le résultat de différences entre elles; par ex.:
d1-d3 ou toutes autres; seulement [tex]{n}^{p}-{\left(n-1\right)}^{p}\,et\,puis\,\,{\left(n-1\right)}^{p}-{\left(\left(n-1\right)-1\right)}^{p}[/tex]

C'est cette re-cherchaille que (je pense) avoir systématisée (généralisée)

J'ai bien peur que nous ne travaillions pas sur la même voie d'où les remarques, les observations (cf. le tableau de Nerosson) que j'ai pu émettre et que vous ne pouviez comprendre.

Yoshi a écrit :

Tu es têtu !!!
Je t'ai déjà dit (apparemment, tu n'as pas l'air de vouloir en tenir compte) et donc je recommence : tu dois comparer des différences comparables,(...)

C'est que je ne tiens pas à les comparer; je les calcule et c'est tout.
Alors au bout on arrive aux anomalies (bizarres) auxquelles j'essaie de vous rendre sensible.

Yoshi a écrit :

Si après ça, tu devais persévérer à voir des anomalies là où il n'y en a pas, alors j'abandonnerai la partie parce que le dialogue de sourds, ça va un moment, mais ça finit par être lassant...

Le sourd, l'aveugle?

Sans vouloir vous froisser, Cher Maître, j'ose croire que vous avez parcouru un peu vite les différents post et que vous avez, sans le vouloir, manqué un ou plusieurs aiguillages.
Une petite relecture?

Je manque de temps... Ah! que je voudrais...

A bientôt.

yoshi · 29-06-2010 09:27:15

Salut à toi cherchailleur (cherc 'h ailleurs ? Breton ?),

Post #1 :

nerosson a écrit :

Intéressé, je voudrais voir si j'obtiens quelque chose d' intéressant avec les cubes :comme la différence entre les cubes des entiers successifs ne me dit pas grand chose, je calcule les différences entre ces différences : j' obtiens un 6 et tous les multiples de 6.

Je ne fais rien d'autre, sauf que le 6 trouvé par nerosson, je l'ai mis hors-jeu (c'est un choix) parce qu'il fait intervenir le cube de 0...

Pourtant, dans mes formules rien ne m'empêche d'utiliser le 0 :
1ere méthode :
en partant de n nombre du milieu et avec n-1 et n+1, les 3 premiers nombres (n=1) sont 1, 0 et 2 : ma 1ere formule donne 6n = 6 x 1 = 6
2e méthode en partant de n 1er nombre et avec n+1 et n+2, les 3 premiers nombres (n = 0) sont encore 0, 1 et 2 et ma 2e formule donne 6(n+1) =6 x(0+1) = 6.
Même toi, avec 6(n-1), donc en partant de n 3e nombre et donc avec n-1 et n-2, les 3 premiers nombres (n = 2) sont encore 2, 1 et 0 et ta formule donne 6(n-1) =6 x(2 - 1) = 6.
On est bien d'accord, ton n minimum est 2 ? Parce qu'avec n = 1, n-1 =0 et n-2 = -1, ça fait désordre...(*)

karlun a écrit :

yoshi a écrit :
Donc :
[tex]{\left(n+1\right)}^{3}-{n}^{3}-\left({n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}\right)=6n[/tex]
et
Karlun a écrit :
1° différence: [tex]{n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}=\,3{n}^{2}-3n+1[/tex]
2° différence: [tex]\left({n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}\right)-\left({\left(n-1\right)}^{3}-{\left(\left(n-1\right)-1\right)}^{3}\right)=6n-6=6\left(n-1)[/tex]
C'est pas pareil il me semble.

Bin oui pour l'écriture littérale, c'est évident, et alors ?...
Je suis parti d'un nombre n quelconque, et pour me simplifier les calculs et la formulation du résultat, de son précédent et suivant immédiats : n-1 et n+1 ce qui fait que je pars que de n>=1...
Toi tu prends un nombre n et ses 2 précédents n-1 et n-2 ce qui fait que ta formule ne marche que pour n>=2.
Quelle importance ? Et pourquoi cette question ?
Et bien parce que :
Tes 3 premiers nombres avec n = 3 sont 3, 2 et 1.
Ta formule donne pour n = 3 : (3^3-2^3)-(2^3-1^3) = (27-8)-(8-1) = 12 = 6(3-1)...
Mes 3 premiers nombres avec n=2 sont 3, 2 et 1...
Ma formule donne pour n = 2 (3^3-2^3)-(2^3-1^3) = (27-8)-(8-1) = 12 = 6 x 2...
Il n'y a pas de contradiction.
Les deux sont justes, même avec une expression littérale différente... normal, on ne part pas du même nombre n, mais on utilise quand même les 3 mêmes nombres à chaque fois...
Et j'ai simplement fait remarquer que :

Karlun a écrit :

1° différence: [tex]{n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}=\,3{n}^{2}-3n+1[/tex]
2° différence: [tex]\left({n}^{3}-{\left(n-1\right)}^{3}\right)-\left({\left(n-1\right)}^{3}-{\left(\left(n-1\right)-1\right)}^{3}\right)=6n-6=6\left(n-1)[/tex]

Tes 1ere et 2e différences ne sont pas de même nature, la 1ere est est une différence simple de 2 nombres et la 2e est une différence composée : différence de 2 différences de 2 nombres...

Tu ne compares pas dis-tu, tu constates une anomalie... L'anomalie n'existe pas toute seule, mais rapport à d'autres résultats, mais pour la déceler, il faut bien comparer...
Mais, passons !
<< Tu vois la mouche là-haut ? >> disait l'aveugle à sa femme qui était sourde...
Tu peux constater que sur ta suggestion, j'ai nettoyé mes lunettes, consulté mon ophtalmo, et je ne suis guère plus avancé... Comme très probablement tu vas camper sur ta position, dans un souci d'apaisement je n'y reviendrai donc plus.
Si ce n'était pas le cas, je saurai faire amende honorable...

------------------------------------------------------------------------------------------------

Je m'en vais, par contre, faire un résumé de ce que je dis depuis ma 1ere réponse à nerosson et de ce que je viens de mettre en évidence.

Notations
Soient a^3, b^3 et c^3 les cubes de 3 nombres entiers (non nuls) consécutifs, rangés dans l'ordre croissant.
Soient d1 = b^3 - a ^3, d2 = c^3 - b^3 et d3 = d2 - d1

1. a) Si j'exprime en fonction de n >= 1 (domaine de définition) la différence d3, j'obtiens :
[tex]d_3=\big[(n+2)^3-(n+1)^3\big]-\big[(n+1)^3-n^3\big] = 6n+6=2\times 3\times(n+1)[/tex]
Donc pour n =1, je joue avec les cubes de 1 (1), 2 (8) et 3 (27) : d3 = (27-8)-(8-1) = 19 - 7 = 12 = 2 x 3 x (1+ 1)
Donc pour n =2, je joue avec les cubes de 2 (8), 3 (27) et 4 (64) : d3 = (64-27)-(27-8) = 37 - 19 = 18 = 2 x 3 x (2+ 1)

b) Si j'exprime en fonction de n >= 2 l(domaine de définition) la différence d3, j'obtiens :
[tex]d_3=\big[(n+1)^3-n^3\big]-\big[n^3-(n-1)^3\big] = 6n=2\times 3\times n[/tex]
Donc pour n =2, jouons avec les cubes de 1 (1), 2 (8) et 3 (27) : d3 = (27-8)-(8-1) = 19 - 7 = 12 = 2 x 3 x 2
Donc pour n =3, jouons avec les cubes de 2 (8), 3 (27) et 4 (64) : d3 = (64-27)-(27-8) = 37 - 19 = 18 = 2 x 3 x 3
Je travaille dans les 2 cas avec les 3 mêmes nombres, et j'obtiens donc avec mes exemples, les mêmes valeurs numériques pour d3.
Seule la représentation de d3 en fonction de n diffère selon que que je parte de n>=1 ou n>=2, mais c'est normal.
Et les valeurs numériques de d3 sont bien toujours multiples de 6 (2 x 3)

2. Sur ce, thadrien intervient :

Salut,
@nerosson : bien trouvé ! Il ne reste plus qu'à généraliser à une puissance k quelconque.
Bis Bald.

Généraliser quoi ? Mais, le fait qu'avec la puissance 3, on trouve les multiples de 6 (2 x 3), et que, avec la puissance k on va trouver les multiples de 2k...

3. Laquelle apostrophe titille un peu ma curiosité et te voyant tripoter les puissances pour k = 9, je me dis :
<< Tiens, si k = 3, d3 est multiple de 2 x 3, pour k = 9, d3 est-il bien multiple de 2 x 9 ? >>
C'est que j'ai cru que tu allais avoir montré...
Rien de tout cela (Au fait, je ne sais toujours pas ce que tu as généralisé). Bin, non..
Alors, j'ai testé moi...
Et, déception, non ! Bon, tant pis...

4. Mais la curiosité étant ce qu'elle est, n'est-ce pas...
Je reprends donc mon baluchon :
Tiens ! tiens ! si k = 7, alors d3 est multiple de 2 x 7... Ah ! Ah !
Tiens ! tiens ! si k = 5, alors d3 est multiple de 2 x 5... Oh ! Oh !
Pourquoi 9 joue-t-il les vilains petits canards ? Et j'arrête-là...

5. Bin non, je veux savoir... Je montre que
* Si k est pair, ça ne marche pas,
* Si k = 15, 21, 25, 27, ça ne marche pas non plus, d3 n'est pas multiple de 2k,
* Si k = 5, 7, 11, 13 , 17, 19, 23, 29, 31 ça marche, d3 est bien multiple de 2k...
Vois-tu quelle conclusion je veux tirer de ça ? Pourquoi nerosson pourrait être candidat à la médaille Fields ?
Marrant, hein ?
Cela dit, je n'ai qu'une présomption... Il me faut encore encore en établir la preuve, quelle que soit la puissance k...
Et ça, c'est une autre paire de manches, ce sera ch... au possible, il va me falloir jouer avec les expressions littérales des [tex]C_p^k[/tex], coefficients du binôme de Newton. J'attends d'en avoir le courage...

@+

(*) Si je résume :
1. Pour [tex]n \in\;[0 ; +\infty[[/tex], n est le premier nombre des 3 et ses suivants sont n+1 et n+2 :
d3 = 6n+6 = 6(n+1)
2. Pour [tex]n \in\;[1 ; +\infty[[/tex], n est le nombre central des 3, les autres n-1 et n+1 :
d3 = 6n
3. Pour [tex]n \in\;[2 ; +\infty[[/tex], n étant le dernier nombre des 3, les précédents n-1 et n-2 :
d3 = 6n-6 = 6(n-1)

Supposons les nombres 11, 12 et 13
Formule n° 1 : n = 11 et d3 = 6(11 + 1) = 72 (n+1 = 12 et n+2 = 13)
Formule n° 2 : n = 12 et d3 = 6 x 12 = 72 (n-1 = 11 et n+1 = 13)
Formule n° 3 : n = 13 et d3 = 6 x (13 - 1) = 72 (n-1 = 12 et n-2 = 11)

Ton pseudo-décalage vient donc d'une mauvaise utilisation de ta formule bâtie sur n, n-1, n-2, tu peux le voir ci-dessus avec 11, 12, 13 les 3 formules donnent le même résultat, parce que pour obtenir les nombres 11, 12 ,13 :
* dans ta formule, on doit prendre n = 13 |
* dans ma formule n°1, alors n = 11 |> 3 nombres ==> 3 départs possibles
* dans ma formule n°2, alors n = 12 |

De même que si je je dis : la somme des 3 nombres impairs consécutifs est 45, quels sont ces 3 nombres ?
Je peux résoudre 3 équations différentes (tout dépend le nombre de référence) :
n premier nombre : n + n + 2 + n + 4 = 45 ==> n = 13, donc les autres n + 2 = 15 et n + 4 = 17
n nombre du milieu : n - 2 + n + n + 2 = 45 ==> n = 15, donc les autres n - 2 = 13 et n + 2 = 17
n dernier nombre : n - 4 + n - 2 + n = 45 ==> n = 17, donc les autres n - 4 = 13 et n - 2 = 15
On trouve bien les 3 nombres...

Ça y est, j'ai été clair ?...

karlun · 30-06-2010 09:38:21

Bonjour,

Woaw! quel beau travail.

Yoshi a écrit :

On est bien d'accord, ton n minimum est 2 ? Parce qu'avec n = 1, n-1 =0 et n-2 = -1, ça fait désordre...(*)

et puis tu développes les domaines respectifs des différentes approches.

Et tes cherchailles (qui trouve cherche) t'amène à une suite de nombres premiers. Pauvre Nerosson lui qui les vomit.

Merci, j'en apprends beaucoup et je me délecte de toute tes "observailles".

Mais,
(et là tu me vois venir... alors tu prends tes jambes à ton cou... "Ah non qu'il cherch-ailleurs!")

Karlun a écrit :

Et si tu avais continué ces différences tu arrives à:
table des
n exp3
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
2 8 7 6 5 4
3 27 19 12 6 1
4 64 37 18 6 0
5 125 61 24 6 0
6 216 91 30 6 0
7 343 127 36 6 0
8 512 169 42 6 0
9 729 217 48 6 0
10 1000 271 54 6 0
11 1331 331 60 6 0
12 1728 397 66 6 0
13 2197 469 72 6 0

La table des 6 on l'a repère bien mais la suite: 1,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,...
Mais la colonne suivante: 1,4,1,0,0,0,0,0,0,...

Et pour [tex]{n}^{4}[/tex]

Karlun a écrit :

n n exp4

0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
2 16 15 14 13 12 11
3 81 65 50 36 23 11
4 256 175 110 60 24 1
5 625 369 194 84 24 0
6 1296 671 302 108 24 0
7 2401 1105 434 132 24 0
8 4096 1695 590 156 24 0
9 6561 2465 770 180 24 0
10 10000 3439 974 204 24 0
11 14641 4641 1202 228 24 0
12 20736 6095 1454 252 24 0
13 28561 7825 1730 276 24 0

Table de 24 à partir du 4° terme.

Ces opérations de soustraction successives sont seulement "mécaniques" et ne se soucient pas de domaine de validité.
Pour [tex]{n}^{3}[/tex]
1-0=1 et ça toujours
8-1=7 ; 7-1=6 ; 6-1=5 ; 5-1=4 ; 4-1=3 ; ...
27-8=19 ; 19-7=12 ; 12-6=6 ; 6-5=1 ; 1-4=-3 ; -3-3=-6 ; ...

Mettre en équation ces différences récurrentes nous indique la limite de leur domaine de validité.

Karlun a écrit :

Il est remarquable que la somme des colonnes des différences prolongées ne descend jamais en dessous de 0, d'où le terme de décollage; mais celui-ci démarre toujours de 0 à 1.
Comment traiter ce fait mathématiquement?

C'est la confrontation du "mécanique" à la mise en forme (formule) mathématique qui me pousse à investiguer davantage.

Alors je me suis coltiné des feuilles et des feuilles de mise en équation et puis j'ai trouvé des récurrences me poussant à chercher une systématisation.

Pour toutes les puissances on tombe, après plusieurs différences de différences, sur une table de multiplication:
Par ex.:
pour [tex]{n}^{5}[/tex] , après 4 diff. =120 et à partir du 4° terme
pour [tex]{n}^{6}[/tex] , après 5 diff. =720 et à partir du 5° terme
pour [tex]{n}^{7}[/tex] , après 6 diff. =5040 et à partir du 6° terme
pour [tex]{n}^{8}[/tex] , après 7 diff. =40320 et à partir du 7° terme

Je vais essayer de rendre compte de la systématisation de la mise en formule des différences de différences de...

Mais là le temps me presse.

Suite à+-*/

karlun · 30-06-2010 12:44:25

Re,

Gnralisation de la mise en forme (mathmatique) des diffrences de diffrences de diff.. partant de [tex]{n}^{k}[/tex].

Je dois bien avouer que si j'ai trouvé une méthode pour généraliser la mise en équation des diff de diff de diff en partant de n^k c'est en tâtonnant, en comparant beaucoup aussi.

Alors quand

Karlun a écrit :

C'est que je ne tiens pas les comparer; je les calcule et c'est tout.

il se fourrait le doigt dans l'oeil restant sourd toute les remarques du bon Maître.

C'est pas commode d'expliquer et pardon pour la lourdeur.

Partons de la 1 diff.: soit [tex]{n}^{k}-{\left(n-1\right)}^{k}[/tex]

Ex: pour [tex]{n}^{4}\,\,=>\,\,{n}^{4}-{\left(n-1\right)}^{4}=\,4{n}^{3}-6{n}^{2}+4n-1[/tex]
pour [tex]{n}^{5}\,\,=>\,\,{n}^{5}-{\left(n-1\right)}^{5}=\,5{n}^{4}-10{n}^{3}+10{n}^{2}-5n+1[/tex]

Aprs moult mise en formule de la sorte (pour [tex]{n}^{6};\,{n}^{7};\,{n}^{8};\,{n}^{...}[/tex], je trouve (ou elles me trouvent) une relation entre les lignes (selon les diffrentes puissances) reprenant les coefficients des formulations successives.

Voici le tableau illustrant ce que j'avance.

La ligne 202 reprend les coéfficients de l'équation 1ère difff pour [tex]{n}^{5}[/tex].
Chaque coéfficient vaut la somme du coéfficients au dessus (en valeur absolue) (ligne 201) avec son voisin de droite (en valeur absolue) (ligne 201).

Ainsi: [tex]{n}^{6}-{\left(n-1\right)}^{6}=\,\left(5+1\right){n}^{5}-\,\left(5+10\right){n}^{4}+\left(10+10\right){n}^{3}-\left(10+5\right){n}^{2}+\left(5+1\right)n\,\,-1\,\,=\,\,6{n}^{5}-15{n}^{4}+20{n}^{3}-15{n}^{2}+6n-1[/tex]
Et c'est pareil pour [tex]{n}^{7};\,{n}^{8};\,{n}^{...}[/tex]

A partir de la 2° différence:
On sait déj que pour [tex]{n}^{3}\,\,=>\,\,2°\,diff=\,\,6n-6[/tex]
J'ai calculé pour [tex]{n}^{4}\,=>\,\,\left(4{n}^{3}-6{n}^{2}+4n-1\right)-\left(4{\left(n-1\right)}^{3}-6{\left(n-1\right)}^{2}+4\left(n-1\right)-1\right)\,=\,12{n}^{2}-24n+14[/tex]

et pour [tex]{n}^{5}\,\,=>\,\,2°\,diff.=\,\,20{n}^{3}-60{n}^{2}+70n-30[/tex].

Bon et l je cale.
C'est en comparant (bin oui ça m'arrive) le tableau (pour n^3) de cette deuxième diff avec celui de la 1° diff. que je remarque:
14/1=14
24/4=6
12/6=2
C'est en comparant le tableau (pour n^4) de cette deuxième diff avec celui de la 1° diff. que je remarque:
30/1=30
70/5=14
60/10=6
20/10=2
Ah ah! intéressant.
Où trouver encore cette suite: 2;6;14;30;...?

J'observe que la somme de la valeur absolue des coefficients de chacune des formules de la première diff. pour n^k donne un résultat approché:
n=1
n^2=3
n^3=7
n^4=15
n^5=31
Mais alors pour passer 2;6;14;30;... il suffit de faire *2 (2 comme la deuxième différence)

Eh! Zut mes lettres accentuées semblent ne plus être reconnues...
Vite, vite...

Pff!!! et c'est long pour expliquer.
Vite donc.
Il y aura des signes (en alternance) respecter...
Le tableau reprenant la première différence sera la référence pour tous les autres puisque les calculs s'y appuieront.

Oserais-je vous laisser sur cette piste pour découvrir la suite l'aide du tableau ci dessus?
Et si on veut on peut y revenir une autre fois.
Mieux vaut sauver déj ceci.

A+-*/

yoshi · 30-06-2010 13:58:19

Re,

Je ne suis pas sûr de voir où tu veux en venir...
Si c'est ce que je crois, alors
1. Va voir http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … inome.html
2. Ces coefficients désignés normativement par [tex]C_n^k[/tex] sont :
* pour n = 2 --> 1 2 1
* pour n = 3 --> 1 3 3 1
* pour n = 4 --> 1 4 6 4 1
Cas du dernier exemple : ils permettent de développer (a+b)^4 en un clin d'oeil : [tex](a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4[/tex] et si c'est (a-b)^4, il suffit de mettre un - au lieu de + pour les puissances impaires de b.
3. Le dénommé Blaise Pascal (XVIIe s je crois), inventeur de la brouette et de la 1ere machine à calculer, mit au point un calcul en triangle connu depuis sous le nom de "Triangle arithmétique de Pascal".
On commence par 1 (et on suppose qu'à sa droite il y a un zéro qu'on n'écrit pas.
On commence par une colonne de 1 :
1
1
1
1
1
1
1
Puis à partir de la 2e ligne et du 2e nombre, on écrit la somme du nombre placé au dessus et de celui juste à sa gauche :
1
1 1 (le 2e 1 c'est 0 + 1)
Et on continue :
1
1 1
1 2 1 (2 = 1 + 1, 1 = 0 + 1)
1 3 3 1 (3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, 1 = 0 + 1)
1 4 6 4 1 (4 = 3 + 1, 6 = 3 + 3, 4 = 1 + 3, 1 = 0 + 1)
Je te l'offre, calculé en Python, jusqu'à 19 :

    1

    1     1

    1     2     1

    1     3     3     1

    1     4     6     4     1

    1     5    10    10     5     1

    1     6    15    20    15     6     1

    1     7    21    35    35    21     7     1

    1     8    28    56    70    56    28     8     1

    1     9    36    84   126   126    84    36     9     1

    1    10    45   120   210   252   210   120    45    10     1

    1    11    55   165   330   462   462   330   165    55    11     1

    1    12    66   220   495   792   924   792   495   220    66    12     1

    1    13    78   286   715  1287  1716  1716  1287   715   286    78    13     1

    1    14    91   364  1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001   364    91    14     1

    1    15   105   455  1365  3003  5005  6435  6435  5005  3003  1365   455   105    15     1

    1    16   120   560  1820  4368  8008 11440 12870 11440  8008  4368  1820   560   120    16     1

    1    17   136   680  2380  6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376  6188  2380   680   136    17     1

    1    18   153   816  3060  8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564  8568  3060   816   153    18     1

    1    19   171   969  3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628  3876   969   171    19     1

C'est ça que tu as redécouvert ? Alors, bravo ! (réincarnation ?)

Je ne sais pas d'où vient ton problème d'accent : avec FireFox, j'ai passé en revue les différents encodages proposés, rien n'y a fait.
On dirait des messages en console DOS copiés/collés sous Windows...
Qu'as-tu changé depuis ton dernier message ? Serais-tu passé sous Mac ? As-tu choisi dans windows un clavier non francophone ?

J'avoue, je n'ai pas eu le courage d'aller plus loin dans tes analyses n'ayant pas compris du premier coup à quoi tu voulais arriver, tes "accents" ne m'y ont pas aidé...
Essayons d'appeler un chat un chat...
Qu'est-ce qui se "cache" exactement chez toi sous l'appellation 2e différence ?

Un point de langage : il y a des égalités, des formules en fonction de n, mais pas d'équations...
Une équation est une "égalité" (conditionnelle) comprenant une ou plusieurs inconnues et qui possède (ou pas) une ou plusieurs solutions : ce n'est pas le cas.
Je suis désolé, mais plus de 40 ans de maths de "haut" niveau m'ont conditionné et je sursaute, perturbé (je sais, il m'en faut peu), chaque fois que je lis équation...
[Mode parenthèse ON]
C'est la même réaction que j'ai en écoutant parfois le JT d'une chaîne française où une certaine présentatrice s'obstine à faire des liens entre les sujets présentés.
Exemple fictif (mais du même type) :
Attentat suicide à Jalabad... Bla bla bla...
le porte-parole des talibans Zabiullah Mujahid a précisé que six kamikazes avaient tué 32 soldat afghans et étrangers à l'aéroport...
J'ajoute que ... les salaires des fonctionnaires seront gelés en 2011....bla bla...
A chaque fois je sursaute en me demandant où le rapport entre les 2 infos...
[Mode parenthèse OFF]

@+

PS
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ascal.html ptet plus clair...

karlun · 01-07-2010 16:53:42

Bons chauds jours,

Merci aussi pour la patience de Maître Yoshi.

1) Une formule OK! pas une équation. Merci de m'en faire apprendre toujours +-*/.

2) Si triangle il y a c'est dans la présentation des séries de formules.
Les nombres repris sont les coefficients des puissances (ou pas) de k.

A première vue pas de rapport avec le triangle de Pascal.
(Merci tout de même)
Juste l'observation de ce décrit plus avant qui permet une généralisation.
On pourrait dire que ce qui diffère du triangle de Pascal c'est les têtes de colonne qui ici sont incrémentées de 1.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

et chez moi:

1
1 2
1 3 3
1 4 6 4
1 5 10 10 5

3) les différences:
Posons n^k
1ère diff.= n^k – (n-1)^k = a n^(k-1)-b n^(k-2)+c n^(k-...) +/- p n -/+ q

2ème diff.= (a n^(k-1)-b n^(k-2)+c n^(k-...) +/- p n -/+ q) – (cette même formule où l'on remplace n par (n-1)

Et ainsi de suite.

4) Ce premier triangle pour la 1ère diff. règlera tous ceux des diff. suivantes moyennant les petites opérations déjà, en partie, décrites ci avant.

Je sais pas vous, mais je trouve ça pas banal.

Oserais-je vous avouer ma surprise mêlée de satisfaction quant je perçus la solution; une sorte de vertige d'émotion; mathémotioné.

5) Ces différences répétées mécaniquement pour n^3 sont à la base de la transformation d'un cube en une pyramide à pattes d'éléphant(s) (les anomalies bizarres du début des séries que je ne sais toujours pas comment les traiter (en général) mathématiquement (mais c'est pas grave)).

6) Il y a dé-compositions, (comme dans tout y compris nous) on la trouve et on cherche à en savoir plus, moins, fois, divisé.
7) pour les anomalies des lettres accentuées elles sont apparues suite au chargement du tableau.

A +-*/

Dernière modification par karlun (01-07-2010 17:04:26)

yoshi · 01-07-2010 17:45:52

Re,

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
et chez moi:
1
1 2
1 3 3
1 4 6 4
1 5 10 10 5

Oui, j'avais vu... Mais si ! C'est bien la "même chose" ô réincarnation de Blaise Pascal... puisque le mécanisme est le même ainsi que les coeff, ce n'est plus un hasard...
Si je reprends ça :

karlun a écrit :

1 3 3 1
1 4 6 4 1
et chez moi:
1
1 2
1 3 3
1 4 6 4
1 5 10 10 5

C'est normal qu'il n'y ait pas le 1 final...
Si je développe (n-1)^5 les coefficients sont :
1n^5-5n^4+10n^3-10n^2+5n-1
Et quand j'écris n^5 - (n-1)^5, j'écris en fait :
5n^4-10n^3+10n^2-5n + 1
La disparition de l'un des 1 (hein ? l'un des huns ? qui ça ? Attila ?) vient de l'élimination mécanique des n^5 par soustraction, mais tu peux constater, mon cher Blaise, qu'au départ il y a bien utilisation du triangle de Pascal pour les coeff...
En outre, ce qui précède tend à prouver que ton petit triangle s'écrit en fait pour k = 6 :
(1)
(1) 1
(1) 2 1
(1) 3 3 1
(1) 4 6 4 1
(1) 5 10 10 5 1
(1) 6 15 20 20 6 1

avec un - , cette fois, pour les puissances paires de n :
[tex]6n^5-15n^4+20n^3-15n^2+6n -1[/tex]
C'est bien ce que tu écris là :

Dans son post # 21, karlun a écrit :

[tex]{n}^{6}-{\left(n-1\right)}^{6}=\,\left(5+1\right){n}^{5}-\,\left(5+10\right){n}^{4}+\left(10+10\right){n}^{3}-\left(10+5\right){n}^{2}+\left(5+1\right)n\,\,-1\,\,=\,\,6{n}^{5}-15{n}^{4}+20{n}^{3}-15{n}^{2}+6n-1[/tex]

Désolé d'être aussi ch... mais là tu embrouilles tout avec +/_ p n -/+ q qui arrivent là comme un cheveu sur la soupe...

1ère diff.= n^k – (n-1)^k = a n^(k-1)-b n^(k-2)+c n^(k-...) +/- p n -/+ q
2ème diff.= (a n^(k-1)-b n^(k-2)+c n^(k-...) +/- p n -/+ q) –

Je vais appeler d1 ta 1ere différence et d2 la 2e :
[tex]d_1 = n^k-(n-1)^k[/tex] est parfait, pas la peine d'en rajouter...
Parce que là :
[tex]d_2 = (a n^{(k-1)}-b n^{(k-2)}+c n^{(k-...)} +/- p\; n -/+ q) –[/tex] ça devient imbuvable, et la chaleur m'anesthésiant, je ne vois toujours pas de définition claire de ce que tu désignes par 2e différence...
Tes pattes de mouche là : +/- p n -/+ q) – correspondent à quoi ?
Est-ce que d2 correspondrait à :
[tex]d_2=\big[n^k-(n-1)^k\big]-\big[(n-1)^k-(n-2)^k\big][/tex] différence de différences ou différence de 2e niveau... ?

Parce que là, je ne suis plus...
Peux-tu me dire en 2 (allez, 3) lignes où tu veux en venir ?

Moi, je vais le faire pour ce que je pense avoir découvert :

Si [tex](n+1)^k-2n^k+(n-1)^k[/tex] avec n>=1 est un multiple de 2k, alors k est un nombre premier
Constat indépendant de n...

@+

karlun · 01-07-2010 18:57:18

Bon à chaud.

l'innocent et le Maître.

Cher Maître, vous êtes sévère.

Yoshi a écrit :

La disparition de l'un des 1 (hein ? l'un des huns ? qui ça ? Attila ?)

Réponse: KARLUN

Pour prendre ton ton... es-tu interprète ou compositeur?
...

Yoshi a écrit :

ça devient imbuvable, et la chaleur m'anesthésiant, je ne vois toujours pas de définition claire de ce que tu désignes par 2e différence...
Tes pattes de mouche là : +/- p n -/+ q) – correspondent à quoi

première diff puissance 1 => + pour le dernier terme
2 => - pour le dernier terme
impaire =>+ pour le dernier terme
paire =>- pour le dernier terme

Et ça tu n'avais pas vu?
Question de code sans doute... j'ai bcp à apprendre.

Là y a bug.

Yoshi a écrit :

(1) 5 10 10 5 1
(1) 6 15 20 20 6 1
avec un - , cette fois, pour les puissances paires de n :

Yoshi a écrit :

Désolé d'être aussi ch... mais là tu embrouilles tout avec +/_ p n -/+ q qui arrivent là comme un cheveu sur la soupe...

C'est que j'ai pas calculé si p était paire ou impaire? Bof! Pour moi c'était selon....

Yoshi a écrit :

ça devient imbuvable, et la chaleur m'anesthésiant, je ne vois toujours pas de définition claire de ce que tu désignes par 2e différence...
Tes pattes de mouche là : +/- p n -/+ q) – correspondent à quoi

Ais-je écrit seulement "(a n^(k-1)-b n^(k-2)+c n^(k-...) +/- p n -/+ q)"
ou bien:

Karlun a écrit :

2ème diff.= " (a n^(k-1)-b n^(k-2)+c n^(k-...) +/- p n -/+ q) – (cette même formule où l'on remplace n par (n-1)
Et ainsi de suite."

Yoshi a écrit :

"Si avec n>=1 est un multiple de 2k, alors k est un nombre premier
Constat indépendant de n..."

Qui trouve cherche... on est d'accord. "YES!" (pour une fois) ;-)

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