Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Léa

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changement de variable

Bonjour, voici un exercice sur lequel j'ai des doutes:
soit P la fonction definie par P(x,y)=(x+y,[tex]x\times {e}^{y}[/tex]) pour x et y reels
determinez deux ouverts U et V pour que P soit un changement de variable (P de U dans V)

mon cours impose que:
1)P ait des derivees partielles continues, ceci n'influe pas il me semble sur le choix de U et V
2)pour tout element de U le determinant de la jacobienne soit non nul, ceci ici implique que x ne vaille pas 1
3)que P soit une bijection, la je bloque :
je pose x+y=a, [tex]x\times {e}^{y}[/tex]  =b, le seul truc que j'arrive a deduire est que b et x doivent avoir le meme signe et etre non nul mais a part ca je vois vraiment pas, quelqu'un peut-il m'aider?

merci

Léa

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Re : changement de variable

re,
en fait en reessayant je me trouve face à problème il me semble assez simple mais dont j'ai oublié la méthode :
je pose le système u=x+y, v= [tex]x\times {e}^{y }[/tex]  comment puis-je déduire x et y en fonction de u et v?
merci

Fred

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Re : changement de variable

Bonsoir,

  En fait, tu ne peux pas trouver une solution s'écrivant avec des fonctions "faciles" de ce système.
Mais voici comment tu peux procéder. Tu as très bien remarquer que x ne peut pas être égal à 1.
Il est donc naturel de poser :
[tex]U=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x>1\}[/tex]
Dans ce cas, on remarque que [tex]x+y[/tex] peut être un réel arbitraire, tandis que [tex]xe^{y}[/tex] est toujours strictement positif.
On pose donc :
[tex]V=\{(a,b)\in\mathbb R^2;\ b>0\}[/tex]
et on va prouver que P est une bijection de U sur V. D'abord, on a bien [tex]P(U)\subset V[/tex]. De plus, prenons un couple [tex](a,b)\in V[/tex], on cherche [tex](x,y)\in U[/tex] tel que
[tex]x+y=a\textrm{ et }xe^y=b[/tex].
On en déduit [tex]x=be^{-y}[/tex] et la première équation devient
[tex]y+be^{-y}=a[/tex]

On étudie alors la fonction [tex]f(y)=y+be^{-y}[/tex] définie sur [tex]\mathbb R[/tex].
Elle est continue, strictement croissante, de limite -oo en -oo et +oo en +oo.
Ainsi, elle réalise une bijection de [tex]\mathbb R[/tex] sur [tex]\mathbb R[/tex].
On en déduit qu'il existe un unique y tel que f(y)=a. De plus, on a [tex]x=be^{-y}[/tex],
et donc le système admet bien une unique solution.

Fred.

Léa

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Re : changement de variable

Bonsoir,
Merci beaucoup, c'est vraiment super clair (j'avais choisi le même U ^^).
Juste une question ce qui te permet de déduire "ainsi elle réalise une bijection" c'est une forme généralisée du théorème des valeurs intermédiaire? a t-il un nom?  (je comprends la déduction, cela me parait logique, je cherche juste comment l'appeler)

merci bcp!