Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 13-06-2010 17:02:36
- Léa
- Membre
- Inscription : 12-06-2010
- Messages : 20
espace mesurable
Bonjour à tous,
je bloque sur plusieurs exercices de mon cours d'intégration, je vous en soumet un:
Soit A un ensemble inclu dans R, A1=A intersection [-1,1] , A2=A privé de A1.
On sait que A1 et A2 ne sont pas mesurable selon Lebesgue.
1) A peut-il être mesurable?
2) est-il possible que [tex]{m}_{e}\left(A\right)={m}_{e}\left(A1\right)+{m}_{e}\left(A2\right)[/tex]
(je nore [tex]{m}_{e}[/tex] la mesure extèrieure
A mon avis pour la 1 c'est oui mais en fait c'est juste une intuition...
si quelqu'un peut m'aider ça serait super.
Hors ligne
#3 14-06-2010 20:06:54
- Léa
- Membre
- Inscription : 12-06-2010
- Messages : 20
Re : espace mesurable
Bonsoir,
question 1: l'intersection de deux mesurable est un mesurable donc A ne peut être mesurable (c'est il me semble vrai pour la mesure extérieure mais cela l'est-il aussi pour la mesure "normale"?)
question 2:
la mesure extérieure s'acquitte des propriétés de la mesure, donc quand m(A1)<+oo :
comme A1 est inclus dans A : (*) [tex]{m}_{e}(A/A1)={m}_{e}(A)-{m}_{e}(A1) => {m}_{e}(A2)={m}_{e}(A)-{m}_{e}(A1) => {m}_{e}(A)={m}_{e}(A1)+{m}_{e}(A2)[/tex]
(*)= propriété du cours pour la mesure et donc pour la mesure extérieure (?)
qu'en pensez vous?
merci
Léa
Dernière modification par Léa (14-06-2010 20:08:03)
Hors ligne
#4 14-06-2010 20:32:54
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : espace mesurable
Bonsoir,
question 1: l'intersection de deux mesurable est un mesurable donc A ne peut être mesurable (c'est il me semble vrai pour la mesure extérieure mais cela l'est-il aussi pour la mesure "normale"?)
C'est pas vraiment une propriété de la mesure, c'est une propriété des ensembles mesurables.
question 2:
la mesure extérieure s'acquitte des propriétés de la mesure, donc quand m(A1)<+oo :comme A1 est inclus dans A : (*) [tex]{m}_{e}(A/A1)={m}_{e}(A)-{m}_{e}(A1) => {m}_{e}(A2)={m}_{e}(A)-{m}_{e}(A1) => {m}_{e}(A)={m}_{e}(A1)+{m}_{e}(A2)[/tex]
(*)= propriété du cours pour la mesure et donc pour la mesure extérieure (?)
qu'en pensez vous?
que du bien, mais je ne peux pas te garantir que c'est juste!
F.
Hors ligne
#6 14-06-2010 22:23:02
- Léa
- Membre
- Inscription : 12-06-2010
- Messages : 20
Re : espace mesurable
La propriété du cours n'est-elle pas vraie sous l'hypothèse que la mesure (extérieure) de [tex]A[/tex] soit finie?
Ah euh ben non je viens de reregarder et ils ne donnent la condition que pour A1, mais c'est vrai que si ce n'est pas le cas ça ne fonctionne pas.
Du coup faudrait que je le rajoute?
Hors ligne
#8 15-06-2010 11:36:55
- Gustave
- Membre
- Inscription : 31-12-2009
- Messages : 36
Re : espace mesurable
Salut,
Un truc me dérange : on dit d'un côté que A1 et A2 ne sont pas mesurables, et de l'autre côté, on établit une relation avec leurs mesures ?????
Oui, les mesures extérieures sont définies sur toutes les parties d'un ensemble (ici [tex]\mathbb R[/tex]. Une mesure extérieure sur [tex]X[/tex] est une application [tex]m[/tex] de [tex]\mathcal P\left(X\right)[/tex] dans [tex]\overline{\mathbb R}_+[/tex] telle que [tex]m\left(\emptyset\right) =0[/tex], croissante (c'est-à-dire que [tex]A\subset B[/tex] implique [tex]m\left(A\right)\leq m\left(B\right)[/tex] et [tex]\sigma[/tex] sous-additive i.e. pour une famille dénombrable [tex]\left(A_n\right)_{n\in \mathbb N}\subset X[/tex] on a [tex]m\left(\bigcup_{n\in\mathbb N}A_n\right)\leq \sum_{n\in \mathbb N}m\left(A_n\right)[/tex].
C'est en fait la terminologie qui est trompeuse.
Hors ligne
#9 15-06-2010 12:17:02
- Léa
- Membre
- Inscription : 12-06-2010
- Messages : 20
Re : espace mesurable
salut,
j'ai été voir le prof ce matin et je vous soumet donc les "réponses"
la 1 est juste
la 2 est fausse car la relation n'est vrai que pour les medibles, par contre comme [-1,1] est medible on peut utiliser Caratheodory :
me(A)=me([tex]A\cap {\left[-1,1\right]}) + me(A\cap {\left[-1,1\right]}^{c}[/tex])
ce qui donne directement le résultat (easy ;-) )
merci à tous de vous être penché sur le problème
Hors ligne
Pages : 1