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maria

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Fonction carré , Probabilités : unions et intersections [Résolu]

Bonjour ,
j'ai essayé de faire deux exercices mais je ne sais pas s'ils sont correct
Voici le premier exercice : Comparer sans aucun calcul et en justifiant à l'aide de propriétés de la fonction carré : 1:  les nombres (1+racine de 3)² et (la fraction -12/7)²
           2: les nombres 5 et (2.7)² sachant que racine de 5 égal environ à 2.2

1: (la fraction -12/7)² est égal à (la fraction (12/7)² par symétrie de la représentation graphique de la fonction carré
  (-12/7)² est inférieur à (1+racine de 3)² car la fonction carré est decroissante sur ] - l'infini ; 0 ]

2: racine de 5 est inférieur à 2.7
    5 est inférieur à (2.7)² car la fonction carré est croissante sur [0 ; + l'infini [

Exercice 2 : Voici l'énoncé : En informatique , un octet est une suite de huit chiffres tous égaux à 0 ou 1 . Par exemple , 10100101 et 00111001 sont des octets

  1. Combien peut on former d'octets ?
  2. On écrit au hasard un octet
        a) Calculez la probabilité de chacun des événements
             A : " Les duex premiers chiffres sont égaux à 1 "
             B : " Le dernier chiffre est égal à 0 "
        b) Calculez la probabilité de l'événement A inter B
        c) En déduire la probabilité de l'événement A union B

1. On peut former 256 octets ( j'ai fait un tableau à 2 entrées ayant chacune 4 chiffres puis j'ai obtenu 16*16=256 mais je ne sais pas si c'est ce qu'il fallait faire )
2a) p(A) = 64/256 =1/4
       p(B) = 128/256 = 1/2
   b) p (A inter B) = 32/256 =1/8
   c) p (A union B) = p(A) + p(B) - p(A inter B )
                           = (64/256) + (128/256) - (32/256)
                           = 160/256

Merci d'avance pour votre aide

Dernière modification par maria (23-05-2010 15:25:27)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Fonction carré , Probabilités : unions et intersections [Résolu]

Bonjour Maria,

Exercice 1
1. "Symétrie de la représentation graphique de la fonction carré" : symétrie tout seul, ça ne veut rien dire.   
     Symétrie par rapport à quoi ? Je dirais plutôt que la fonction carré est une fonction paire : f(-x)=f(x).
     Donc (-12/7)² = (12/7)²
2. Je vais t'inviter à réfléchir à l'affirmation suivante :
    [tex]\left({-22 \over 7}\right)^2 < (1 + \sqrt 3)²[/tex] parce que la fonction carré est décroissante sur ]-oo ; 0]
     Sans calculs, est-elle juste ou fausse et pourquoi ? Histoire de voir comment tu interprètes tes affirmations.
     Peut-être d'ailleurs là aussi t'a-t-on donné des valeurs approchées. Sinon, sans calcul, pour l'instant, je ne vois pas.
     La deuxième affirmation me paraît incomplète, on ne voit pas le lien de cause à effet
     [tex]5 =(\sqrt 5)^2[/tex] c'est la définition.
     Donc on doit comparer [tex]\(\sqrt 5)^2 \text{ et } (2,7)^2[/tex], donc [tex]2,2^2 \text{ et } 2,7^2[/tex].
     Puisque 2,2 < 2,7 et que la fonction carré est croissante sur [0 ; +oo[, alors  (2,2)^2 < (2,7)^2.
     Donc [tex](\sqrt 5)^2 < 2,7^2 c'est à dire 5 < 2,7²...

Exercice 2
1. 2^8 = 256.
    Il y a 2 solutions pour le 1er chiffre. Pour chacune de ces 2 solutions, il y a 2 solutions pour le 2e chiffre soit 2 * 2.
    Pour chacune de ces 2 *2  solutions, il y a 2 solutions pour le 3e chiffre soit 2 * 2 * 2... et ainsi de suite, d'où 2^8.
2. a) Les deux premiers chiffres étant fixés, seuls les 6 autres peuvent varier ce qui me laisse 2^6 = 64 solutions.
    p(A)=64/256 = 1/4 d'accord.
    Le dernier chiffre est égal à 0, j'ai donc 2^7 = 128 solutions pour compléter l'octet. 128/256 = 1/2
    On peut voir aussi ça comme ça : combien y a-t-il de possibilités d'écrire le dernier chiffre ? R : 2 (0 ou 1)
    Combien ai-je donc de chances en tirant 1 octet au hasard qu'il se termine par 1 zéro ? R : 1/2
    b) P(A inter B) : les 2 premiers chiffres étant fixés à 1 et le dernier à 0, ça me laisse 5 chiffres à choisir...
    Donc 2^5 = 32 solutions. donc 32/256 = 1/8
c) ok aussi

@+

maria

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Re : Fonction carré , Probabilités : unions et intersections [Résolu]

Bonjour ,
Merci pour votre aide , mais je  ne sais pas comment répondre à votre question . Je n'ai pas eu de valeurs approchées pour comparer les nombres (-12/7)² et (1+racine de 3)²

yoshi

Modo Ferox

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Re : Fonction carré , Probabilités : unions et intersections [Résolu]

Re,

Tu n'as pas eu de valeurs approchées ?
Diantre...
Ce que je voulais pointer du doigt, c'est que même, si [tex]-\frac{12}{7}<1+\sqrt 3[/tex], ce raisonnement (pas la conclusion) serait faux parce qu'alors pour la même raison, on en déduirait que :
[tex]\left({-22 \over 7}\right)^2 < (1 + \sqrt 3)²[/tex]
Or, là c'est faux !
En effet :
[tex]\left({-22 \over 7}\right)^2\approx 9,877...[/tex] et [tex](1 + \sqrt 3)²\approx 7,46...[/tex].
Ok !

Donc revenons-en à ton exercice, on t'a d'abord demandé de justifier que  [tex]\left(-\frac{12}{7}\right)^2=\left(\frac{12}{7}\right)^2[/tex]
Pour moi, ce n'est pas anodin...
Et donc pour comparer [tex]\left(-\frac{12}{7}\right)^2 \text{ et } (1+\sqrt 3)^2[/tex], je comparerais :
[tex]\left(\frac{12}{7}\right)^2 \text{ et } (1+\sqrt 3)^2[/tex]
Puisque la fonction est croissante sur [0 ; +oo[, cela revient en fait à comparer :

[tex]\frac{12}{7} \text{ et } 1+\sqrt 3 [/tex], tous deux positifs qui sont dans le même ordre que leur carré...

Mais sans calculs et sans valeurs approchées données, je ne vois pas pour l'instant...

Il y a éventuellement ce qui suit :
Supposons que[tex]\frac{12}{7}< 1+\sqrt 3 [/tex]  alors on en conclut que [tex]12 < 7(1+\sqrt 3) [/tex]
Pour montrer que c'est vrai, je peux écrire que
12 < 14  soit 12 < 7 x 2, soit 12 12 < 7(1 + 1)
Or 1 < 3, donc [tex]\sqrt (1^2) < \sqrt(3^2)[/tex] et donc  [tex]\sqrt 1 < \sqrt 3[/tex]
et alors je peux écrire que [tex]7(1 + 1) < 7(1+\sqrt 3)[/tex]
Et j'en déduis qu'on a bien [tex] 12 < 7(1+\sqrt 3)[/tex], c'est à dire enfin effectivement [tex]\frac{12}{7}< 1+\sqrt 3 [/tex]

Maintenant toute la question est de savoir si remplacer 14 par 7 x 2 puis 2 par 1 + 1) pour écrire 7(1 + 1) est considéré comme du calcul...

D'un côté non, ce sont les tables d'addition et de multiplication et j'ai trouvé une méthode,
D'un autre côté oui, parce que ces égalités 14 = 7 x 2 et 2 = 1 + 1 sont bien le résultat de calculs... Et alors comme je l'ai déjà dit, je ne vois pas la méthode...

Ô vous qui passez par là, Fred, freddy, Galdinx, JJ, Roro et autres... qu'en pensez-vous ?

@+

Fred

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Re : Fonction carré , Probabilités : unions et intersections [Résolu]

Bonsoir,

  Je pense que dire que 12/7 est plus petit que 2,et dire que [tex]1+\sqrt 3[/tex] est plus grand que 2, ce n'est pas vraiment du calcul....!

Fred.

freddy

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Re : Fonction carré , Probabilités : unions et intersections [Résolu]

Salut,

je pense que [tex]\frac{12}{7}=1+\frac57 < 1+\sqrt{3}\;\text{car}\;\frac57 < 1 < \sqrt{3} [/tex], sans calcul.

Bb

yoshi

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Re : Fonction carré , Probabilités : unions et intersections [Résolu]

Bonjour,

Je vois que mes petits camarades n'ont pas de solution miracle et qu'ils sont devant la même conclusion que moi : << Ce n'est pas vraiment >> du calcul a dit Fred.

Alors je vais légèrement simplifier ma solution à partir de ce qu'a dit Fred et expliciter davantage ce qu'a dit freddy ; après, tu fais ton choix...
Dans les 2 cas, ils ont passé, pour moi, sous silence la justification de  [tex] 2 <1+ \sqrt 3[/tex] est-ce que c'est si évident que ça ? Est-ce que c'est un résultat acquis ? je ne crois pas...

Méthode 1 :
12 < 14 donc [tex]\frac{12}{7}<\frac{14}{7}[/tex] donc  [tex]\frac{12}{7}<2[/tex]
Or 2 = 1 + 1.
Donc [tex]\frac{12}{7}< 1+1[/tex]
Comparons maintenant maintenant  1 + 1 et [tex]1 + \sqrt 3[/tex]

| On a [tex]1 < \sqrt 3[/tex]... mais pourquoi ?
| Je pars de 1 < 3. Or [tex]1 =(\sqrt 1)^2 \text{  et  } 3=(\sqrt 3)^2}[/tex]
| Donc  [tex](\sqrt 1)^2 <{(\sqrt 3)^2}[/tex]
| Sur [0 ; +oo[ la fonction carré est croissante, donc on a
| [tex]\sqrt 1 < \sqrt 3[/tex], soit [tex] 1 < \sqrt 3[/tex]
| Et par conséquent [tex]1+1 < 1+\sqrt 3[/tex]

D'où [tex]\left\frac{12}{7}<1+1<1+\sqrt 3[/tex] donc  [tex]\frac{12}{7}<1+\sqrt 3[/tex]
Alors [tex]\left(\frac{12}{7}\right)^2<(1+\sqrt 3)^2[/tex].

Méthode 2
[tex]\frac{12}{7}=\frac{7+5}{7}=1+\frac{5}{7}[/tex]
Or [tex]\frac{5}{7}<1[/tex]
Donc :
[tex]1+\frac{5}{7}<1+1[/tex]

(Et je reprends ce que j'ai dit précédemment pour [tex]1+1<1+\sqrt 3[/tex])
| On a [tex]1 < \sqrt 3[/tex]... mais pourquoi ?
| je pars de 1 < 3. Or [tex]1 =(\sqrt 1)^2 \text{  et  } 3=(\sqrt 3)^2}[/tex]
| Donc  [tex](\sqrt 1)^2 <{(\sqrt 3)^2}[/tex]
| Sur [0 ; +oo[ la fonction carré est croissante, donc on a
| [tex]\sqrt 1 < \sqrt 3[/tex], soit [tex] 1 < \sqrt 3[/tex]
| Et par conséquent [tex]1+1 < 1+\sqrt 3[/tex]

D'où [tex]\left\frac{12}{7}<1+1<1+\sqrt 3[/tex] donc  [tex]\frac{12}{7}<1+\sqrt 3[/tex]
Alors [tex]\left(\frac{12}{7}\right)^2<(1+\sqrt 3)^2[/tex].

Le prof a dit d'utiliser les propriétés de la fonction carré, mais  si on utilise aussi les propriétés de la fonction racine carrée (peut-être est-ce ce que sous-entend le duo Fred/freddy), alors on peut prouver que  [tex] 1 < \sqrt 3[/tex] plus rapidement :

| [tex] 1<3[/tex] et comme la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +oo[, alors on peut écrire :
| [tex]\sqrt 1 < \sqrt 3[/tex],
| donc encore [tex]1 < \sqrt 3[/tex]
| et enfin [tex]1+1<1+\sqrt 3[/tex]

@+

maria

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Re : Fonction carré , Probabilités : unions et intersections [Résolu]

Bonjour , merci  pour votre aide