Du cube à la pyramide.

yoshi · 19-05-2010 10:46:43

Re,

Post #7

Je crois être clair: les n cubes-uns de la base ne se rajoutent à la pyramide (de cubes-uns) qu’à la première couche pour autant qu’on édifie la pyramide de la bonne manière.
Vous en déduisez donc qu’elle sera triangulaire.

Soyons donc précis.
Tu construis donc une pyramide à base triangulaire, Oui/Non ?
Si elle est à base triangulaire, est-elle composée d'étages qui sont des hyper-cubes (des cubes de cube1), Oui/Non ?
Si oui, cela signifie que seule la base est triangulaire, et que les étages au-dessus sont des hyper-cubes (des cubes de cube1), Oui/Non ?

Pour lever toute ambigüité, dans le cas d'une de tes pyramides, peux-tu donner, de bas en haut, le nombre de cubes1 composant chaque étage ?

Ainsi, voici deux exemples de construction de pyramides avec des hypercubes (soit des cubes de cube1) différentes de la tienne :
Exemple 1
N° de l'étage nombre de cubes1 de l'étage
1 1^3 = 1 (soit 1 cube1)
2 2^3 = 8 (soit 1 hypercube de 2 cubes1 de côté)
3 3^3 = 27 (soit 1 hypercube de 3 cubes1 de côté)
4 4^3 = 64 (soit 1 hypercube de 4 cubes1 de côté)
5 5^3 = 125 (soit 1 hypercube de 5 cubes1 de côté)

Ce qui me fait pour 5 "étages" 1+8+27+64+125 = (1+2+3+4+5)² = 15² = 225 cubes1 utilisés

Exemple 2
N° de l'étage nombre de cubes1 de l'étage
1 1^3 = 1 (soit 1 cube1)
2 3^3 = 27 (soit 1 hypercube de 3 cubes1 de côté)
3 5^3 = 125 (soit 1 hypercube de 5 cubes1 de côté)
4 7^3 = 343 (soit 1 hypercube de 7 cubes1 de côté)
5 9^3 = 729 (soit 1 hypercube de 5 cubes1 de côté)

Ce qui me fait pour 5 "étages" 1+27+125+343+729 = 1225 cubes1 utilisés...

Vois-tu ce que j'attends (rien d'autre) : une réponse -sans digressions- à chaque question posée dans cette réponse ?

A partir de là on va probablement se comprendre...

@+

karlun · 19-05-2010 10:58:00

Bonjour,

Oui c'est exact que la formule doit s'écrire: [tex]\sum^{n}_{k=1}\left(1+\sum^{k}_{i=1}6\left(i-1\right)\right)={n}^{3}[/tex]
En plus cette édification en pyramide (si obscure) le montre à l'évidence.

Comment ais-je pu établir l'équivalence de cet édifice ("pyramidale à patte d'éléphant") avec sa transformation en cube: [tex]{n}^{3}[/tex] si je n'avais cette méthode d'édification "jardin d'enfant" ( c'est mon niveau veuillez m'en excuser).

"Concentrons-nous sur la suite.
C'est ta méthode de construction des pyramides que je n'arrive pas à suivre" annonçait Yoshi.

Peut-être comme ceci?
Le point d'arrivée: [tex]\sum^{n}_{k=1}\left(1+\sum^{k}_{i=1}6\left(i-1\right)\right)={n}^{3}[/tex]

a) première étape: partons de [tex]\left(1+\sum^{k}_{i=1}6\left(i-1\right)\right)[/tex]

Appliquons simplement la formule:

Pour n=1 => [tex]\left(1+\sum^{1}_{i=1}6\left(i-1\right)\right)[/tex]
Première ligne => je pose sur la table 1 cube1 (ou 1 morceau de sucre par exemple) (Vous fâchez pas c'est mon niveau) => total de la ligne=1 cube1

Pour n=2 => [tex]\left(1+\sum^{2}_{i=1}6\left(i-1\right)\right)[/tex]
2° ligne => en dessous de la 1° ligne je pose sur la table 1 cube1 et à côté de celui-ci 6 cube1 (empilés verticalement).
=> total de la ligne=7cube1

Pour n=3 => [tex]\left(1+\sum^{3}_{i=1}6\left(i-1\right)\right)[/tex]
3° ligne => en dessous de la 2° ligne je pose sur la table 1 cube1 et à côté de celui-ci 6 cube1 (empilés verticalement) et encore à côté 12 cube1 (empilés verticalement). => total de la ligne=21cube1

Pour n=4 => [tex]\left(1+\sum^{4}_{i=1}6\left(i-1\right)\right)[/tex]
4° ligne => en dessous de la 3° ligne je pose sur la table 1 cube1 et à côté de celui-ci 6 cube1 (empilés verticalement)et encore à côté 12 cube1 (empilés verticalement) et encore à côté 18 cube1 (empilés verticalement). => total de la ligne=37cube1

b) deuxième étape: soit simplement la [tex]\sum^{4}_{1}[/tex] des lignes de cube1 ci-dessus détaillées: 1°ligne+2°ligne+3°ligne+4°ligne.

Résultat: 64 cube1 = [tex]{4}^{3}[/tex]= un cube de 4 cube1 d'arête.

La base de la pyramide est de 1+2+3+4+...= [tex]\sum^{n}_{1}[/tex] des n premiers entiers. Pour n=4=>[tex]\sum^{n}_{1}[/tex]=10.

Si c'est pas une mise en image d'une équation alors ... Pffffffff! J'dois pas être doué.

A bientôt peut-être.

yoshi · 19-05-2010 11:09:33

Re,

Je lis tout ça, mais je ne te garantis rien...
Je souhaiterais que tu n'ailles pas des formules vers tes constructions (ça, c'est de mon point de vue, une mauvaise option), mais de tes constructions vers LA formule.
Tu as donc 2 options :
* Soit tu fournis une image de ta pyramide niveau 5
* Soit tu réponds point par point au questions (élémentaires) posées dans le post immédiatement avant le tien, soit le #26. J'ai une très très grande préférence, pour cette 2e option.

Merci...

@+

karlun · 19-05-2010 11:15:08

'lut

1) oui la base est triangulaire et formée de cube1 (donc triangle à créneaux)
2)Non ce ne sont pas des hypercubes ce sont des piles de 6 cube1 (ou de 1 cube 1 (patte d'éléphant).
3)Non. tous les étages sont à base triangulaire et se réduisant plus on monte haut (d'où l'image d'une pyramide qui, dans le cas ou n est déterminé, se terminera par un dernière pile de 6 cube1).

Voilà.
A+

yoshi · 19-05-2010 12:16:33

Re,

Pour lever toute ambigüité, dans le cas d'une de tes pyramides, peux-tu donner, de bas en haut, le nombre de cubes1 composant chaque étage ?
Ainsi, voici deux exemples de construction de pyramides avec des hypercubes (soit des cubes de cube1) différentes de la tienne :
Exemple 1
N° de l'étage nombre de cubes1 de l'étage
1 1^3 = 1 (soit 1 cube1)
2 2^3 = 8 (soit 1 hypercube de 2 cubes1 de côté)
3 3^3 = 27 (soit 1 hypercube de 3 cubes1 de côté)
4 4^3 = 64 (soit 1 hypercube de 4 cubes1 de côté)
5 5^3 = 125 (soit 1 hypercube de 5 cubes1 de côté)
Ce qui me fait pour 5 "étages" 1+8+27+64+125 = (1+2+3+4+5)² = 15² = 225 cubes1 utilisés
Exemple 2
N° de l'étage nombre de cubes1 de l'étage
1 1^3 = 1 (soit 1 cube1)
2 3^3 = 27 (soit 1 hypercube de 3 cubes1 de côté)
3 5^3 = 125 (soit 1 hypercube de 5 cubes1 de côté)
4 7^3 = 343 (soit 1 hypercube de 7 cubes1 de côté)
5 9^3 = 729 (soit 1 hypercube de 5 cubes1 de côté)
Ce qui me fait pour 5 "étages" 1+27+125+343+729 = 1225 cubes1 utilisés...

J'attendais la même chose pour toi avec 5 étages...
Bon, il semblerait donc que j'avais tort, je vais tenter de faire un dessin en suivant tes explications (en vue de face et pas en perspective (je vais donc dessiner des carrés)....

J'attends tes commentaires/rectificatifs...

@+

karlun · 19-05-2010 12:33:08

Salut,

OK! on se rapproche.

C'est presque juste sauf que moi je travaille en plan.

ligne 1: Je pose un cube 1

Ligne 2: Je pose un cube et à côté (vue en plan pour rappel) 6 cubes empilés verticalement (donc en plan je ne vois que deux cubes sur cette ligne 2

1 ligne 1
1 6 ligne 2

Pareil pour les autres lignes:

1
1 6
1 6 12
1 6 12 18
1 6 12 18 24

La base est donc triangulaire et = [tex]\sum^{n}_{1}n[/tex] (réponse à la question... ouf!)

Ah +!

PS: les lignes pour moi sont comme quand on écrit: de gauche à droite et de haut en bas .

yoshi · 19-05-2010 12:58:42

Re,

Ça doit donc être ça :

Si oui, alors, je ne te conseille pas :
1. De guider un automobiliste perdu : prends plutôt le volant et rentre à pied, tu gagneras du temps
2. D'être prof un jour, tu serais la première défenestration de personnalité depuis celle connue sous le nom de "Défenestration de Prague".
Si oui, donc, en un mot comme en 100, ce dessin n'aurait pas grand chose à voir avec tes explications...

@+

PS,

Je découvre ton post : non ça n'a pas l'air d'être ça... pourtant 3 niveaux et 27 cubes....
Là, je n'ai plus de temps, je reprends à mon retour et je vais relire ton dernier post

nerosson · 19-05-2010 14:06:14

Salut, Karlun, Salut, Yoshi,

Je crois que Yoshi et moi, nous sommes sur la même longueur d'ondes. Bien entendu, je ne parle pas de ses formules magiques, que je saute (pour moi, c'est du grec) mais du reste.

Nous savons ce que c'est qu'un cube 1 : c'est un pavé (souvenir de 68, Yoshi ? J'ai connu un officier de C.R.S à qui son gendre avait offert, je ne sais plus à quelle occasion, un pavé). Nous comprenons aussi comment tu fabriques des gros cubes avec des cubes 1, ayant deux, trois, ou n d'arête et dont le volume est n au cube.

Par contre, en ce qui me concerne, je croyais avoir au départ une idée de la manière dont tu fabriquais une pyramide : c'était simple et rationnel : une couche de un cube 1, une deuxième couche de quatre cubes 1, une troisième couche de neuf cubes 1, une quatrième couche de 16 cubes 1, etc...

Je croyais aussi que la question était : comment construire ainsi une pyramide dont le nombre de cubes 1 serait égal à n au cube, c'est à dire qu'avec tous ses pavés on pourrait reconstruire un cube parfait, de n de côté. C'est d'ailleurs sur ces bases que j'ai pu aboutir à la conclusion citée plus haut que, parmi les cent pyramides ayant pour côté de 1 à 100, aucune ne remplissait la condition posée.

Maintenant, je ne sais plus où on en est.

Le Petit Prince disait à Saint-Ex : "dessine-moi un mouton".

Moi, je ne veux pas de mouton (j'ai encore sur l'estomac une histoire de chèvre où j'avais raison à cent pour cent et où tout le monde m'est tombé dessus), alors je te dis "dessine moi une pyramide", telle que tu la conçois, avec le détail des pavés.

Et j'ajoute "Ne t'énerve pas" : c'est une recommandation qui ne me parait pas superflue. Reste zen !

PS : lorsque j'ai rédigé ce post, je n'avais pas vu les nombreux posts de la page 2, ce qui fait qu'il est peut être là comme un cheveu sur la soupe. Excuses.

Re P.S. Je vois que Yoshi a écrit : "prends plutôt le volant et rentre à pied, tu gagneras du temps". Original, comme idée : je n'avais encore jamais vu un piéton avec un volant à la main (ou autour du cou).

Dernière modification par nerosson (19-05-2010 14:20:04)

karlun · 19-05-2010 14:22:53

Bonjour,

J'ose croire que maître Yoshi est sur la bonne piste.

J'aimerais pouvoir comme lui proposer un dessin de cubes mais j'sais pas comment il fait.
peut-être aura-t-il l'amabilité de me transmettre la manière à suivre.

Faute de dessins, je vous engage à suivre les dernières instructions post #27 et #31.

Non seulement c'est l'application exemplaire de la formule corrigée par Yoshi mais aussi la manière de poser chacun des cubes1

Si j'ai été précis à en être bête (lors de messages antérieurs) c'est que j'avais l'impression de tourner en bourrique (ou en souris pour le(s) chat(s)).

Eh c'est pas facile de vous indiquer la route rien qu'en mots d'autant que vous n'avez pas de carte.

A+

yoshi · 19-05-2010 16:10:51

Re,

C'est presque juste sauf que moi je travaille en plan.

Ça veut dire quoi "en plan" ? A plat ?
Là, où moi, j'empile les pyramides (je ne vais ajouter en hauteur, ce serait une "plaie au nasme", et ça doit faire mal), toi tu fais des files de cubes à plat sur ta table ?

@+

karlun · 19-05-2010 16:23:57

Re solu?

En plan veut dire vu de haut, vu d'avion si tu veux.
En plan veut dire comme si tu lisais un plan ou une carte géographique.

Donc un cube1= une surface1 vue de haut (vue en plan) => je note: 1
6 cubes empilés verticalement vus de haut = une surface1. => je note: 6

Si j'indique 1 6 12 => vu du haut on ne voit que 3 surfaces1 et pourtant la première colonne=1
la 2° =6
la 3° =12

OK?

yoshi · 19-05-2010 17:02:43

Re,

Hmmmm...
En vue de dessus, ce serait-y ça ?

Chaque carré, représentant une pile en vue de dessus (c'est la terminologie correcte. En dessin technique, il y a 6 représentations possibles : vue de face, vue de gauche -à droite de la vue de face, vue dessous au dessus de la vue de face, vue de dessus au dessous de la vue de face : placements sur une feuille de dessin ou un plan de technicien), dans le carré, j'ai inscrit le nombre de cubes qu'est censée contenir la pile...
J'ai bon ?

@+

PS
Je vois au moment de poster mes modifs (le temps de faire mes petits dessins, avec la barre d'outils de dessin de mon traitement de textes) que ça l'air de correspondre à ce que tu racontes. Donc je coupe et je poste au dessous.
Donc, maintenant, quoi de plus ?
A part que j'ai montré que ça faisait bien n^3 ?

Heu... Base triangulaire... hein ... !?
Pyramide... bof ! bof !

karlun · 19-05-2010 17:29:05

'lut

Bon tu y es. (enfin!)

(Pour la terminologie merci de m'instruire mais lire un plan pour moi c'est pas trop lire "en vue dessus". Passons)

"Heu... Base triangulaire... hein ... !?
Pyramide... bof ! bof !"

Explique ce qui ne va pas?

Des piles de 6 à la pile de 24 de ton dessin c'est une pyramide de cube1.
Les piles de 1 cube1 sont cet évasement (pattes d'éléphant(s)) annoncé.
(Là je m'attends à un grand ricanement).

Pour ce qui est de la base que tu as dessinée je ne vois pas comment tu ne peux reconnaître le triangle.

Je te renvois (si tu veux bien) aux méthodes conduisant à la résolution de la somme de la somme des n premiers entiers. Pour moi cela à été résolu via une pyramide plus régulière; mais comment y suis-je arrivé?.

Ton bof! bof! ? j'aime assez.
Oserais-tu relire toutes les interventions et corriger les erreurs?
Non, non un peu marre.

Bon plan... eh! j'veux dire bonne "vue dessus" .

PS: La somme de la somme des n 1° entiers... je n'ai vu qu'une seule proposition; y en aurait-il si peu? non il y a la mienne. hihihihi! J'en espère d'autres.

Dernière modification par karlun (19-05-2010 17:35:43)

yoshi · 19-05-2010 17:42:41

Re,

En dessin technique, muni, de sa feuille de dessin dûment scotchée sur sa planche à dessin, muni de son Té, de sa règle, de ses équerres, de son compas et voire de son rapporteur, le "dessinateur industriel" (comme on disait de mon temps) va, pour représenter une pièce, user de plusieurs représentations planes qui sont celles que je t'ai indiquées.
Et le mot plan ne faisait pas allusion aux plans des villes (encore que ce sont bien des gigantesques - pour la superficie couverte - vues de dessus) mais de plans industriels...

De même que tu parles de Pyramide non lissée, il aurait été judicieux de parler de triangle non lissé...
Mais passons...

Moi, ricaner ? Le Geai ricane... ;-) (En fait, il cajole -avec un j-)

@+

karlun · 19-05-2010 17:59:05

'jour,

"Sniark ! Sniark !... Ricanement sadique.." qu'il disait.

L'architecte fait des plans. Il m'arrive de faire de bons plans, ou de laisser en plan ou encore...

Pour être sérieux: le matheux doit pouvoir accepter que l'amateur ne possède pas son jargon; non?

La logique devrait traverser ces difficultés. (j'suis du niveau bac à sable n'empêche qu'on y édifie des pyramides et même des châteaux en Espagne.)

A- que?

'soir.

Dernière modification par karlun (19-05-2010 18:40:59)

yoshi · 19-05-2010 18:18:16

RE,

Pour être sérieux: le matheux doit pouvoir accepter que l'amateur ne possède pas son jargon; non?

Certes, certes, mais ce n'est pas du jargon de matheux mais technologique.
En outre les anciens disaient << Errare humanum est... ! >>
C'est marrant, on a tendance à oublier la suite (car il y en a une) :
<< ...sed perseverare diabolicum ! >>
Et les supposés habités par le diable finissaient au bûcher ! ;-)
Heu... non, ce n'est pas drôle !

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 19-05-2010 10:46:43

Re : Du cube à la pyramide.

#27 19-05-2010 10:58:00

Re : Du cube à la pyramide.

#28 19-05-2010 11:09:33

Re : Du cube à la pyramide.

#29 19-05-2010 11:15:08

Re : Du cube à la pyramide.

#30 19-05-2010 12:16:33

Re : Du cube à la pyramide.

#31 19-05-2010 12:33:08

Re : Du cube à la pyramide.

#32 19-05-2010 12:58:42

Re : Du cube à la pyramide.

#33 19-05-2010 14:06:14

Re : Du cube à la pyramide.

#34 19-05-2010 14:22:53

Re : Du cube à la pyramide.

#35 19-05-2010 16:10:51

Re : Du cube à la pyramide.

#36 19-05-2010 16:23:57

Re : Du cube à la pyramide.

#37 19-05-2010 17:02:43

Re : Du cube à la pyramide.

#38 19-05-2010 17:29:05

Re : Du cube à la pyramide.

#39 19-05-2010 17:42:41

Re : Du cube à la pyramide.

#40 19-05-2010 17:59:05

Re : Du cube à la pyramide.

#41 19-05-2010 18:18:16

Re : Du cube à la pyramide.

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