Forum de mathématiques - Bibm@th.net

spike

Invité

[Résolu] Volume du tronc de cône de révolution

bonjours,j'ai un problème pour résoudre cette question.Pouvez vous m'aidez svp ?

déduire l'équation du volume du tronc de cone sachant que r est la petite base, R la grande base et h la hauteur.
Il faut pour cela utilisé les intégrales.

voici ce que j'ai deja fait:

y= mx+p
[tex]m=\frac{dx}{dy} [/tex]
[tex]m=\frac{R-r}{h}[/tex]

p: [tex]y=\,\frac{R-r}{h}\,x\,+\,p[/tex]  j'ai pris le point (h;R)
    [tex]r=\frac{R-r}{h}\,h\,+\,p[/tex]
    R= R-r+p
    p= r

donc on a [tex]y=\frac{R-r}{h}\,x\,+\,r[/tex]

on utilise la méthode d'intégration:

[tex]\int^{b}_{a}\pi \,{f}^{2}\left(x\right)\,dx\,=\,\int^{h}_{0}\pi {\left(\frac{R-r}{h}\,x\,+\,r\right)}^{2}dx[/tex]

voila,c'est ici que je cale car pas moyen d'arriver à la bonne réponse qui est [tex]\frac{1}{3}\pi h\left({R}^{2}+{r}^{2}+Rr\right)[/tex]

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : [Résolu] Volume du tronc de cône de révolution

Salut,

faut simplement se souvenir qu'une primitive de [tex] X^2[/tex] est [tex] \frac13X^3[/tex] !

Bb

spike

Invité

Re : [Résolu] Volume du tronc de cône de révolution

merci de ta réponse,mais je dois malheureusement avouer que je connais mes primitives. Le problème se situe surement à la première ligne du dévellopement car lorsque je remplace les x par h et que je sort les constante j'obtient un tissus de betise que j'ose même pas écire ici.

j'espère que l'und'entre vous pourra m'aider à avancer ne serais-ce que d'une étape ou deux.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : [Résolu] Volume du tronc de cône de révolution

Re,

[tex]\int^{h}_{0}\pi {\left(\frac{R-r}{h}\,x\,+\,r\right)}^{2}dx=\left[\frac13\frac{h\pi}{R-r}\left(\frac{R-r}{h}x+r\right)^3\right]^h_0=\frac13\frac{h\pi}{R-r}\left(R^3-r^3\right)[/tex]

et là, tu te souviens que [tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex], sauf erreur !

C'est bon ?

spike

Invité

Re : [Résolu] Volume du tronc de cône de révolution

merci infiniment,je n'avait pas penser à faire de manière aussi directe. Je fesait le double produit puis seulement mettais les crochets d'ou le problème.

Sache que tu me sauve d'un grosse crise de nerf. encore merci

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : [Résolu] Volume du tronc de cône de révolution

Re,

t'es le bienvenu !

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : [Résolu] Volume du tronc de cône de révolution

Re,

Maintenant que c'est fini, je prends la main (précision dédiée à quelqu'un qui se reconnaîtra : je n'interfère pas -et ne l'ai pas voulu- dans la résolution) mais pour expliciter un peu plus la façon dont notre ami est arrivé à son équation.
Ce soir, je dois avoir le cerveau lent après un après-midi de programmation entre Valentin et $and (instructif d'ailleurs son souci), j'ai eu beaucoup de mal à en comprendre le processus....

Bon...
On plante le décor (je n'apprends rien ni à spike, ni à freddy qui n'ont pas eu besoin de tout ça, bien sûr)
Dans un plan rapporté à un repère orthonormé [tex](O,\vec i,\vec j)[/tex] je place les points A, B et C de coordonnées A(h ; 0), B(h ; R) et C( 0 ; r) avec r, R, h positifs et r < R.
J'obtiens donc un trapèze rectangle OABC de grande base [AB], AB = R, de petite base [OC], OC =r et de hauteur [OA], OA = h.
Par rotation  dudit trapèze autour de l'axe (OA), on génère donc un tronc de cône de révolution.
Soit M un point de [BC]  de coordonnées [tex](x_M\;;\;y_M)[/tex].
On a [tex]0\leq x_M \leq h\text{ et }r\leq y_M\leq R[/tex].
Soit H le projeté orthogonal de M sur [OA] : par rotation autour de [OA], ce segment [MH] engendre un disque de centre H et de rayon HM =([tex]y_M[/tex].

Venons-en donc au fait.
Le volume de ce tronc de cône peut être considéré comme une succession en enfilade de disques de rayon [tex]y_M[/tex], pour M variant de façon continue entre C et B.
Il a donc calculé l'équation de la droite (CB) qui porte la génératrice [CB].
y = mx+p
Le coefficient directeur m s'obtient par [tex]m=\frac{R - r}{h - 0}[/tex]
L'équation s'écrit donc :
[tex]y = \frac{R - r}{h}x+p[/tex]
On va maintenant écrire que les coordonnées de C vérifient l'équation de la droite :
[tex]r = \frac{R - r}{h}\times 0+p[/tex]  et donc p = r..
D'où l'équation de (BC) :
[tex]y = \frac{R - r}{h}x+r[/tex]
L'aire d'un disque quelconque (semblable à celui de rayon [HM]) s'écrit donc :
[tex]f(x)=\pi\left( \frac{R - r}{h}x+r\right)^2[/tex]
Le volume du tronc de cône s'obtient par sommation de toutes les aires des disques pour x variant de 0 à h, soit :
[tex]\int_0^h\,f(x)\,dx[/tex]
donc encore par :
[tex]\int_0^h\,\pi\left( \frac{R - r}{h}x+r\right)^2\,dx[/tex]
Q.E.D

Quand en Term, on aborde ce genre de plaisanterie, il y a pas mal de points d'interrogations qui possent sous les crânes d'un certain nombre : c'est à eux que j'ai pensé...

@+

PS pour le plaisir, j'ai cherché à calculer le volume d'une sphère de rayon R par intégration : ça c'est révélé bien plus simple que celui-ci...

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : [Résolu] Volume du tronc de cône de révolution

RE,

La méthode employée par spike m'a quand même tarabusté : elle est ingénieuse, certes, mais quelle "débauche d'énergie" pour arriver à établir l'intégrale...
Que c'est donc "tordu" et compliqué ! Et c'est un spécialiste qui vous parle...;-)

Habitué donc, je me suis dit qu'on devait parvenir à nos fins plus simplement.
Sur le dessin ci-dessous, c'est le trapèze rectangle ABCD, par rotation autour de (AD) qui génère le tronc de cône.

Le volume est obtenu par empilement de disques de rayon [KN] et de centre K, K décrivant [AD].
Je pose DK =x, d'où CM=x et [tex]x\,\in\,[0\;;\;h][/tex].
Toute la question est donc d'exprimer KN en fonction de x (je suis sûr que freddy me voit venir)...
J'ai KM = r.
Quid de MN ?
Théorème de Thalès :
[tex]{CM \over CH}={MN \over HB}[/tex]  soit encore [tex]{x \over h}={MN \over R-r}[/tex], d'où il vient :  [tex]MN = {R- r \over h}x[/tex]
Donc le rayon KN du disque en question est :
[tex]KN = MN + KM =  {R- r \over h}x+r[/tex].
Et le tour est joué...

Bien plus, je suis prêt à prendre les paris que ce sera la solution donnée par le prof !

@+