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TermS 46

Invité

[Résolu] Equa diffs (DM T°S )

Tout d'abord, bonjour à tous !!
alors voilà le problème : Le prof de maths vient de nous balancer un DM, je cite "On a pas fait la lecon, mais vu qu'on est en retard, ca vous permettra de prendre de l'avance".
Ce qui me manque pour ce Dm, c'est juste un démo à faire. J'y ai pas mal réfléchi, j'ai aussi cherché dans mon bouquin, mais la démo est proposée en... exercice non-corrigé.
C'est donc à vos ésprits affutés que je me remet ! J'ai pensé à faire cette démo par l'absurde, mais ca ne m'a pas mené à grand chose...
Voila donc la bète :
"
Prérequis : on admet que l'équation y'=ay a une infinité de solutions, toutes de la forme [tex]y\,=\,C{\,e}^{ax}[/tex] où C est une constante réelle quelconque.
Démontrer l'existence et l'unicité de la solution f de l'équa diff (A) telle que f(0) = 0
"

Voila voila, j'espère avoir de bonnes réponses =)
Ce DM est à rendre lundi, donc ca urge pas trop, mais c'est pas non plus à délaisser !
Merci d'avance à tous !

freddy

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Re : [Résolu] Equa diffs (DM T°S )

Salut,

bon, si ce n'est pas trop urgent, on a encore le temps de te faire réfléchir.

Alors, question : pourquoi dit-on que l'équation différentielle y'=ay admet une infinité de solutions ? Quel élément permet de générer cette infinité ?

Une piste : si f et g sont deux solutions distinctes de A, en quoi diffèrent elles ?

Si tu trouves la réponse à la question ci-dessus, tu as la réponse à la question de ton DM.

Remarque : je pense que ton prof. n'a pas tord de traiter le sujet de cette manière si tu as fait auparavant du calcul intégral.

Bis bald

TermS 46

Invité

Re : [Résolu] Equa diffs (DM T°S )

Alors, question : pourquoi dit-on que l'équation différentielle y'=ay admet une infinité de solutions ? Quel élément permet de générer cette infinité ?
Une piste : si f et g sont deux solutions distinctes de A, en quoi diffèrent elles ?

Alors alors, eh bien, il me semble que vu que ces solutions sont  y = C e^{ax} et que C n'est fixé que par la condition f(tel truc) = constante, alors on peut dire que c'est sur ce C que diffèrent les deux f et g que tu mentionnait, et c'est donc ce même C qui génère l'infinité de solutions de notre equa diff. J'ai vu juste ?

Remarque : je pense que ton prof. n'a pas tord de traiter le sujet de cette manière si tu as fait auparavant du calcul intégral.

En effet, on a bien fait le calcul intégral et tout le tralala avant, mais c'est quand même pas trop la même chose, même si on reste dans des maths analytiques...

freddy

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Re : [Résolu] Equa diffs (DM T°S )

Re,

OK, c'est la constante C qui génère toutes les solutions.

Donc, pour que la solution f (qui existe ?) soit telle que f(0)=0 => ?

PS : quand tu as fait du calcul intégral, as tu vu la notion de primitive ?

TermS 46

Invité

Re : [Résolu] Equa diffs (DM T°S )

Alors juste, j'avais zappé, mais l'équa diff (A) c'est y' = ay +b

Donc, pour que la solution f (qui existe ?) soit telle que f(0)=0 => ?

Eh bien, il faut que f(0) = C e^{ax0}-(b/a) = 0   <=>   C * 1 - (b/a) = 0   <=>    C = b/a

Mais je vois pas trop ou ca me mène vu le peu de "Prérequis" que j'ai ...

PS : quand tu as fait du calcul intégral, as tu vu la notion de primitive ?

Ouais ouais, pas de problème là dessus ^^

Mercure

Invité

Re : [Résolu] Equa diffs (DM T°S )

Bonjour

La fonction exponentielle ne s'annule jamais..
Donc une seule possibilité pour la constante;  pour avoir f(0) = 0  ..
Freddy t'a indiqué toutes les pistes

freddy

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Re : [Résolu] Equa diffs (DM T°S )

Salut,

donc l'équa. diff. est à résoudre est linéaire à coefficient constant : [tex]y'=ay+b[/tex], avec a et b non nuls.

On déduit que la solution générale est de la forme :[tex]y=Ce^{ax}-\frac{b}{a}[/tex].

On souhaite que la courbe de la solution passe par l'origine (point de coordonnées  : x= 0 et y=0)  soit [tex]C=\frac{b}{a}[/tex].

Donc la solution recherchée est [tex]f(x)=\frac{b}{a}(e^{ax}-1)[/tex]

Bb

PS  : une piste http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quat … 27ordre_un

franklino

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Re : [Résolu] Equa diffs (DM T°S )

Bonjour

Il faut préciser Mercure, que la fonction exponentielle ne s’annule jamais dans |R,  mais oui dans |R barre = [-∞ ; +∞]

Nous connaissons que les solutions de l’équation différentielle (A) sont de la forme C eax – b/a où C est un réel.
Supposons qu’il existe deux fonctions f et  g solutions de (A) ie
f(x)= C1 eax – b/a  et g(x)= C2eax – b/a    telles que f(0)=g(0)=0.

Montrons que f=g  ie C1=C2.

                           Alors on a :

f’(x) – af(x) – b = 0    et g’(x) – ag(x) – b = 0
ie   f’(x) – af(x) – b = g’(x) – ag(x) – b
ie   (f’ – g’)(x) – a(f – g)(x) = 0
ie   (f’ – g’) (0) = 0  car   f(0) = g(0) = 0
ie    a (C1 - C2) = 0    car  f’(x) = a C1 eax     et  g’(x) = a C2eax
ie      C1 = C2

D’où    f = g  et en conséquence, il existe donc une unique fonction f solution de (A) telle que f(0) = 0.

TermS 46

Invité

Re : [Résolu] Equa diffs (DM T°S )

En fait j'ai trouvé : le plus "dur" était de prouver que les solutions de y' = ay +b étaient f = C e^{ax} - -b/a) , car on ne le savait pas, contrairement à ce que vous disiez, Mercure et Franklino ( on ne savait juste que les solutions de y' = ay étaient C e^{ax} ).
En suite, après avoir prouvé ceci, il suffisait de prouver, en quelque lignes, que f(0) = 0  => C est unique => unicité de la solution.
Donc voila, ce thread peut être fermé, un très grand merci à tous pour toutes vos pistes !
=D