Du cube à la pyramide.

karlun · 13-05-2010 22:46:13

Bonjour (ou bonsoir c'est selon).

Je me lance.
Enfonce-je des portes ouvertes? veuillez m'en excuser.
J'ai tellement à apprendre.
Une porte; l'entrée est logique et obéit aux lois de la 3D.
J'avance.
Transformation du cube en pyramide.
Quelles lois, quelles syntaxes ?
Pyramide pattes d'éléphant(s) car traînent quelques n termes-solutions.
Pyramide de cubes car s'impose l'unité:
-le cube 1
-la surface 1
-l'arête 1
Base 1. Car l'un!
Hi, hi, hi, hi!
et l'n qui l'anime.
Encore un peu de calculs élémentaires, je crois que je peux y arriver.

Quelle est la base de la pyramide (de cubes 1) dont le volume équivaut à n au cube?

J'y retourne immédiatement.

Dernière modification par karlun (14-05-2010 07:24:37)

yoshi · 14-05-2010 12:01:01

Bien le bonjour,

Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris, m'enfin voilà...
Cube de côté n : volume [tex]n^3[/tex]
Pyramide à base carrée de côté n et de hauteur n : volume [tex]\frac{n^3}{3}[/tex]
Donc hauteur de la pyramide de à base carrée de côté n pour avoir un volume [tex]n^3[/tex] : 3n.

Maintenant, si par Pyramide, tu n'entends pas pyramide lisse (comme en Géométrie), mais pyramide composée de plaques carrées (de cubes) empilées, alors là...
Je vais tester ça avec Python, puis tenterait d'exprimer la solution du nombre d'étages x tel que :
[tex]\frac{2x^3+3x^2+x}{6}=n^3[/tex]

@+
D'après Python :
d'un nombre d'étages 1 à un nombre d'étages 20 000 000, une seule solution i = n = 1...

D'après la "calculatrice" WxMaxima :

A vos souhaits...

nerosson · 14-05-2010 12:45:22

Salut à tous,

Miracle ! Pour une fois, j'ai un avantage sur Yoshi ! !

Lui, il n'est pas sûr (d'avoir tout compris)

Moi, je suis sûr (de n'avoir rien compris) :-)

yoshi · 14-05-2010 13:14:41

Re,

Petite explication, alors.
Pour une pyramide à 1 étage : 1 cube.
Pour une pyramide à 2 étages : 5 cubes (1 + 4).
Pour une pyramide à 3 étages : 14 cubes (1 + 4 + 9).
Pour une pyramide à 4 étages : 30 cubes (1 + 4 + 9 + 16).
...............................................................
Pour une pyramide à x étages : 30 cubes (1 + 4 + 9 + 16+...+ x²).

Et [tex]1 + 4 + 9 + 16 +...\cdots + x^2=\frac{2x^3+3x^2+x}{6}[/tex]
A côté un cube comportant [tex]n^3[/tex] cubes de côté 1.

Si j'ai combien compris ce que veut karlun, il cherche à savoir quel est le nombre d'étages x pour que sa pyramide comporte le même de cubes de côté 1 que son "gros cube" qui en contient lui [tex]n^3[/tex].
D'où l'équation donnée dans mon post :
[tex]\frac{2x^3+3x^2+x}{6}=n^3[/tex]
dont j'ai donné les solutions en fonction de n...
Il semble que la seule solution soit lorsque n = 1.
Et dans ce cas, évidement, x = 1, il n'y a qu'un seul cube...

@+

karlun · 14-05-2010 13:24:34

‘lut,

(Je ne parviens pas à insérer une équation, mon serveur « internet explorer a cessé de fonctionner » finit par se déconnecter. Que faire?)

Aaaaah…

Il s’agit bien de Cubes-Uns empilés les uns aux autres.

Un cube composé de Cubes-Uns est démonté et reconstruit sous forme de pyramide (de Cubes-Uns) à pattes d’éléphant(s). La pyramide a une base formée de Cube(s)-Un(s) auquel(s) s’ajoute n Cube-Un (les pattes d’éléphant(s)).
Donc à la base s’ajoute n cube(s)-un(s) qu’on dispose(nt) comme on veut.
Pour vous mettre sur la piste, la base est…?

Le lissage de cette pyramide et l’ajout de ses pattes) est l’objectif suivant afin, qu’en volume stricte, on arrive à n Cube-un exposant trois.

…tchoum

Merci Yoshi pour ton terrible travail. Au vu de celui-ci, dois-je vous mettre d’avantage sur la piste ?

La solution est beaucoup plus simple je crois. Et fait la monstration de l’application d’une « formule » (de là mon intérêt)

Mathimagement-vôtre.

PS: Pour le lissage ce serait une erreur. Ce,déclaré plus haut est faut.

Dernière modification par karlun (14-05-2010 15:06:30)

yoshi · 14-05-2010 13:29:29

Re,

Merci Yoshi pour ton terrible travail. Au vu de celui-ci, dois-je vous mettre d’avantage sur la piste ?

Bin, si ce n'est pas ça que tu veux, camarade, va falloir être un peu plus explicite sur ton histoire de "pattes d'éléphant" (que j'avais zappée, à tort semble-t-il) : c'est la seule aide dont j'ai besoin vois-tu...

Pour ton problème d'Internet Explorer, puis-je te conseiller d'installer et de plus utiliser que FireFox :
http://www.mozilla-europe.org/fr/firefox/
qui, lui respecte à plus de 90% les standards du Web (taux de respect attendu du futur IE9 : 55 % !!!).

@+

karlun · 14-05-2010 13:52:22

R’lut

Je crois être clair: les n cubes-uns de la base ne se rajoutent à la pyramide (de cubes-uns) qu’à la première couche pour autant qu’on édifie la pyramide de la bonne manière.
Vous en déduisez donc qu’elle sera triangulaire.
La manière de compter les couches n’est pas celle de l’édification.

couche 1 : 1
couche 1+ couche 2 : 8
couche 1+ couche 2+couche 3: 27
couche 1+ couche 2+couche 3 + couche 4 : 64
Etc.

K1

PS.Avec firefox ça va mieux; merci mais c'est pas le top.
Ah oui j'ai pigé: pas d'accent.
Essai:
[tex]{n}^{3}=\,une\,certaine\,pyramide\,à\,patte\,d'éléphants.[/tex]
[tex]{n}^{3}=\,une\,pyramide\,a\,pattes\,d\,elephants[/tex]

Dernière modification par karlun (14-05-2010 14:03:30)

yoshi · 14-05-2010 15:35:12

Re,

Je crois être clair: les n cubes-uns de la base ne se rajoutent à la pyramide (de cubes-uns) qu’à la première couche pour autant qu’on édifie la pyramide de la bonne manière.

Bin non, désolé c'est pas clair pour moi, je dois être bouché...
D'autant que si ton objectif est que ta pyramide finale soit lissée, si tu n'ajoutes des pattes d"éléphant qu'à la base, ça ne va pas le faire, tu vas terminer, avec un tronc de pyramide et des plaques carrées.
Pour obtenir une pyramide pointue et lisse ;
* Avec un cube1, je dois poser un demi-cube taillé à 45° (donc une prisme droit à base triangulaire rectangle et isocèle de côté 1 et de hauteur 1, un contre chaque face...
* Après il y a les coins : ce sont eux-mêmes des pyramides à base carrée de côté 1, dont 2 faces latérales sont perpendiculaires au plan de base et de hauteur 1, soit 1/3 cube1.
Enfin je dois, tout au sommet, poser une pyramide régulière de base carrée :

Calcul de la hauteur de cette pyramide régulière terminale.
Je veux que les points S,A, B soient alignés.On va faire ça à la trigo...
Valeur de la tangente de l'angle ABH.
BH = longueur diagonale carré de coté 1 = [tex]\sqrt 2[/tex]
AH =1
[tex]\tan \alpha = {AH \over BH}={1\over \sqrt 2}={\sqrt 2 \over 2}[/tex]
J'appelle O le centre de la base de la pyramide supérieure.
[tex]{SO \over OA}=\frac{SO}{\frac{\sqrt 2}{2}}=\frac{2SO}{\sqrt 2}=SO\sqrt 2[/tex]
(OA est une demi-diagonale de carré1)
Or SO/OA et donc [tex]SO\sqrt 2[/tex] n'est rien d'autre que [tex]\tan \alpha[/tex] puisqu'on veut S, A, B en prolongement.
donc SO = 1/2 et le volume de cette pyramide est 1/3(1*1*1/2) = 1/6 de cube1.
Ça allait sans dire, ça va encore mieux en le disant...

Donc volume d'une pyramide lissée de base initiale 1 cube 1 :
Sa base est donc maintenant un carré de 3 sur 3 et sa hauteur 3/2, soit en cubes1 1/3(3 * 3 * 3/2) = 4,5 cubes1...

Si je prends une pyramide à plateaux comme les mayas, avec une base de 2 sur 2, pour en faire une pyramide égyptienne par rajout, je dois chercher quel type de tronc de pyramide égyptienne je dois mettre dessous pour obtenir un alignement, S, A, B, C...
Sa base supérieure doit coïncider à la base de ma pyramide calculée précédente soit 2 x 2, sa base inférieure va donc devoir être élargie à 4 * 4.
Volume tronc de pyramide 1/3( 4 * 4 * (2+1/2))= 1/3 (4 * 4 * 5/2) = 40/3
Volume de la Pyramide finale (du Louvre ?) 40/3 + 9/2 = 107/6 cubes1
Voilà ce qui prouve qu'on ne se comprend pas sur ta notion de pattes d'éléphant : maintenant, on va pouvoir débattre sainement.

@+

PS pour taper du texte,
1. Il vaut mieux le faire en dehors de LaTeX,
2. Quitte à utiliser LateX, alors le faire comme ça :
[tex]{n}^{3}=\text{ une certaine pyramide à patte d'éléphants.}[/tex]
Avec ce codage : \text{ une certaine pyramide à patte d'éléphants.} ;-)

karlun · 14-05-2010 16:07:39

Cher Yoshi,

Au départ je ne parlais pas de lissage. J'ai eu tort de rajouter que le lissage j'allais l'entreprendre.(Je l'ai indiquer en PS après coup) c'était une erreur.
Mais, si ça peut vous intéresser je vous dirai volontiers à quoi ce lissage m'a servi dans l'exposé de la solution à "Somme de la somme des n premiers entiers". (Comment faire ce lien en bleu qui y renvoi directement?)

Ici en l'occurrence, c'est l'inverse.

Des Cubes-uns rien que des Cubes-Uns qu'on compte simplement par couche.
Il se fait que, ce montage, pris dans le bon sens équivaut à la table des cubes des n premiers entiers.

Ton approche semble n'être que trop géométrique.

J'insiste donc sur l'objet distingué: le Cube-Un.

Il débouchera sur une équivalence entre: [tex]\sum^{n}_{1}\left(\sum^{n}_{1}\left(6\left(n-1\right)+1\right)\right)={n}^{3}[/tex]

C'est dingue non?
Enfin si je ne me trompe.
Et si tel j'apprendrai.

Kzéro?

yoshi · 14-05-2010 17:34:16

Re,

Donc, tu ne veux pas t'expliquer plus avant... ?
Je fais encore une tentative pour faire avancer le schmilblick:

karlun a écrit :

Des Cubes-uns rien que des Cubes-Uns qu'on compte simplement par couche.
Il se fait que, ce montage, pris dans le bon sens équivaut à la table des cubes des n premiers entiers.
Ton approche semble n'être que trop géométrique.
J'insiste donc sur l'objet distingué: le Cube-Un.

Et moi, je t'avais écrit :

Maintenant, si par Pyramide, tu n'entends pas pyramide lisse (comme en Géométrie), mais pyramide composée de plaques carrées (de cubes) empilées, alors là...
Je vais tester ça avec Python, puis tenterait d'exprimer la solution du nombre d'étages x tel que :
[tex]\frac{2x^3+3x^2+x}{6}=n^3[/tex]

J'en reviens donc à une question simple :
tes cubes sont empilés en couches, elles ont quelle forme tes couches ?
Allez une deuxième pour la route : chaque couche est épaisse d'un 1 cube1. Oui/Non ?
Et enfin :
Si je prends des couches carrées (ce que tu n'as jamais infirmé ou confirmé), je trouve en partant du sommet :
1 --> 4 --> 9 --> 16...
Oui/non ?

Ne te laisse pas embarquer par ton enthousiasme, réponds seulement aux questions.

@+

PS
Idée :à moins que tes couches ne soient pas des plaques carrées mais aussi des cubes, donc :
1 -->8 --> 27 --> 64 ce qui correspondrait à ta somme de cubes... C'est ça ?
T'aurais pu le dire, dans ce cas, hein...
J'aurais pas passé 3 plombes à essayer de démêler l'écheveau.
Et dans ce cas, bizarrerie (pyramide à n étages successifs de cubes) :
[tex]1 + 2^3 + 3^3 +\cdots+n^3 = (1+2+3+\cdots+n)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]

PS2
Désolé, c'est ma formation qui m'a dressé à ne pas utiliser ce genre de compilation d'exemples en guise d'explication. Je me suis concentré sur ton texte, pas là-dessus :

karlun a écrit :

couche 1 : 1
couche 1+ couche 2 : 8
couche 1+ couche 2+couche 3: 27
couche 1+ couche 2+couche 3 + couche 4 : 64
Etc.

Et d'ailleurs, couche 1 + couche 2 = 1 + 8 = 9 =3²
couche 1 + couche 2 + couche 3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6²
(couche 1+ couche 2+couche 3) + couche 4 = 36 + 64 = 100 = 10²
PS3
J'avais cherché si on pouvait former un "hyper-cube" avec tous les cubes1 de ta Pyramide aztèque...
Je viens de modifier mon programme Python en conséquence pour chercher, cette fois, x le nombre d'étages tel que :
[tex]\left[\frac{x(x+1)}{2}\right]^2=n^3[/tex]
Réponse : néant !
Jusqu'à 1 000 000 000 étages pas d'autre solution que x = n = 1

Dernière modification par yoshi (14-05-2010 18:05:37)

karlun · 14-05-2010 18:48:46

Ben oui!

mais l'espace se fiche des plombes car "qui trouve cherche".

Cher Yoshi,

Désolé de te mettre dans une situation qui te pèse.

Voici la solution qui illustre où je veux en venir.

Tu prends un paquet de sucres en morceaux (ou autre chose qui ressemble à un cube)

Rang 1: tu poses 1
Tu comptes: 1
Rang 2: tu poses 6 et à côté 1
Tu comptes: 8
Rang 3 tu poses 12 et puis 6 et puis 1
Tu comptes: 27
rang 4 tu posesz 18 et puis 12 et puis6 et puis 1
Tu comptes: 64
etc.

(j'dois y aller mais réponds moi s'il te plait)

bon soir.

K?

yoshi · 14-05-2010 19:07:53

Re,

Ben, oui!

Bin, oui, quoi ?

C'est bon, j'ai trouvé ?
Mais, alors pourquoi en rajouter ? Tu cherches quoi ? A noyer tes interlocuteurs ?
Dans ce cas, gagné !!!
Parce que là :

Rang 1: tu poses 1
Tu comptes: 1
Rang 2: tu poses 6 et à côté 1
Tu comptes: 8
Rang 3 tu poses 12 et puis 6 et puis 1
Tu comptes: 27
rang 4 tu poses 18 et puis 12 et puis6 et puis 1
Tu comptes: 64
etc.

j'ai carrément la tête dans le... sac.
Je n'ai pas sous les yeux tes tripatouillages. Je construis des pyramides moi môssieu (pas toi ?), d'ailleurs dans une vie antérieure, j'étais mathématicien maya, moi... ;-)
Rideau !
Bon, je ne comprends strictement plus rien : je pose 6 et à coté 1
6 quoi, 1 quoi ?
Et tu arrives à 8.... ????

Bon, j'abandonne (probablement au moins jusqu'à demain soir : demain, pas là)...
Tu perds ton temps avec moi -et je te le fais à la manière de nerosson : mon cerveau n'est probablement plus assez alerte pour te suivre :-( )

@+

PS : une adresse internet se loge entre les deux balises : [ url]....[/url ] (sans les espaces dans les balises).

karlun · 14-05-2010 20:20:41

Bon jour autres

Là il s'énerve?

Eclairez nous, nous qui nous empêtrons dans un brouillard à deux.

Il a pas dû trouver son paquet de sucre en morceaux.

J'ose penser que les manips sont pas son truc.

Rang 1: tu poses 1 morceau de sucre (mds)
Tu comptes: 1(mds)
Rang 2(derrière ou devant) tu poses 6(mds);tu les empiles verticalement (pyramide oblige) et à côté 1(mds)verticalement.
Tu comptes: 8(mds)=Somme du rang un et du rang deux: 6+1+1=8
Rang 3: tu poses 12(mds)verticalement et puis 6(mds)verticalement et puis 1(mds)
Tu comptes: 27(mds)=12+6+1+6+1+1=27
rang 4 tu poses 18(mds) et puis 12(mds) et puis6(mds) et puis 1(mds)
Tu comptes: 64(mds)=18+12+6+1+12+6+1+6+1+1=64
etc.

Je sais pas comment être plus clair.

Comment vous transmettre un dessin illustrant tout ceci; le l'ai là devant les yeux et c'est d'une limpidité...

Mal-mathillustré-vôtre

yoshi · 14-05-2010 20:33:50

Re,

Maintenant, je m'énerve :

J'ose penser que les manips sont pas son truc.

un rien condescendant, ce karlun...
Alors, chacun son tour :
J'ose penser que les explications claires et limpides ne sont pas son truc...

Je ne sais plus qui a écrit :

Ce qui conçoit bien s'énonce clairement
Et les mots pour le dire arrivent aisément.

A un de ces jours...

@+

karlun · 15-05-2010 09:48:36

Bonjour à tous,

Je ne cherche de poux à personne; veuillez pardonner mon impertinence.
J'étais animé d'un ton humoristique.

Voici une version plus claire ;-)

n=1 1
n=2 1 6
n=3 1 6 12
n=4 1 6 12 18
n=5 1 6 12 18 24
n=6 1 6 12 18 24 30

Ligne (L) L1 = 1 = [tex]{1}^{3}[/tex]

L 1+ L2= 8 = [tex]{2}^{3}[/tex]

L1+L2+L3= 27 = [tex]{3}^{3}[/tex]

.........

L= [tex]\sum^{n}_{1}6\left(n-1\right)+1[/tex]

[tex]{n}^{3}[/tex]=[tex]\sum^{n}_{1}\left(\sum^{n}_{1}\left(6\left(n-1\right)+1\right)\right)[/tex]

Quelle est la base de la pyramide (de cubes 1) dont le volume équivaut à n au cube?

C'est [tex]\sum^{n}_{1}n[/tex] (entres autres?)

Sur un tableau je pourrai vous montrer la démarche suivie.

Comment puis insérer un tableau s.v.p.?

Mais ce sera pour demain (ou ce soir) beau temps oblige.

Respectueusement vôtre ;-)

P.S. Cher Yoshi accepte toutes mes excuses mais je n'avais pas vu que tu avais rajouté des P.S. 2 et 3 dans une de tes interventions si bien que je n'ai pas compris les raisons de ton agacement; tu étais sur la bonne piste mais je ne pouvais pas le savoir sauf à relire toute les interventions. Je prends bonnes notes.
Loin de moi l'idée d'enquiquiner qui que ce soit. :-)

Dernière modification par karlun (16-05-2010 10:11:37)

yoshi · 16-05-2010 14:50:08

Bonjour,

Dernier effort...

les n cubes-uns de la base ne se rajoutent à la pyramide (de cubes-uns) qu’à la première couche pour autant qu’on édifie la pyramide de la bonne manière.
Vous en déduisez donc qu’elle sera triangulaire.
La manière de compter les couches n’est pas celle de l’édification.
couche 1 : 1
couche 1+ couche 2 : 8
couche 1+ couche 2+couche 3: 27
couche 1+ couche 2+couche 3 + couche 4 : 64
Etc.

Elle sera triangulaire : qui ça "elle" ? La base de la pyramide ? Et quelle pyramide (singulier) puisque tu fais des petits tas...

Rang 1: tu poses 1
Tu comptes: 1
Rang 2: tu poses 6 et à côté 1
Tu comptes: 8
Rang 3 tu poses 12 et puis 6 et puis 1
Tu comptes: 27
rang 4 tu posesz 18 et puis 12 et puis6 et puis 1
Tu comptes: 64
etc.

Rang 1, Rang 2 etc ? Ces rangs correspondent à quoi ?

Rang 1: tu poses 1 morceau de sucre (mds)
Tu comptes: 1(mds)
Rang 2(derrière ou devant) tu poses 6(mds);tu les empiles verticalement (pyramide oblige) et à côté 1(mds)verticalement.
Tu comptes: 8(mds)=Somme du rang un et du rang deux: 6+1+1=8
Rang 3: tu poses 12(mds)verticalement et puis 6(mds)verticalement et puis 1(mds)
Tu comptes: 27(mds)=12+6+1+6+1+1=27
rang 4 tu poses 18(mds) et puis 12(mds) et puis6(mds) et puis 1(mds)
Tu comptes: 64(mds)=18+12+6+1+12+6+1+6+1+1=64
etc.

Même question.
Tu entreprends un montage dont on ne sait à quelle logique il obéit.
Rang 2(derrière ou devant) tu poses... derrière ou devant quoi ? le rang ? le rang ? quel rang ? C'est quoi un rang chez toi ?

Voici une version plus claire ;-)
n=1 1
n=2 1 6
n=3 1 6 12
n=4 1 6 12 18
n=5 1 6 12 18 24
n=6 1 6 12 18 24 30
Ligne (L) L1 = 1 = [tex]1^3[/tex]
L 1+ L2= 8 = [tex]2^3[/tex]
L1+L2+L3= 27 = [tex]3^3[/tex]

Même motif, même punition.
Si tu dis que c'est plus clair, parce que la présentation est plus épurée : c'est exact, on y voit plus clair, mais ça n'améliore pas ma compréhension de ton procédé.
A quoi correspond n = 2. Tu écris 1 6... Bon, why not ? 1 + 6 = 7... Et alors ? Tiens 3 + 4 = 7... Magnifique non ?
Après je vois Ligne (L) ... ok ! Ligne de quoi ? Construite comment ?
L1 + L2...
Il y a donc une ligne constituée des lignes L1 et L2... Comment ? Ça constitue une autre ligne ?
Je croyais que tu faisais des empilements ?

[tex]{n}^{3}[/tex]=[tex]\sum^{n}_{1}\left(\sum^{n}_{1}\left(6\left(n-1\right)+1\right)\right)[/tex]

En quoi cette formule est-elle si extraordinaire ?
Je t'avais signalé :
[tex]\sum_{i=1}^n\;i^3 = (1+2+3...+n)^2[/tex]
Ca ne t'a pas surpris, alors que moi si, même si j'ai découvert que j'avais réinventé la roue...

Que cherches-tu, enfin ? Tu penses être détenteur d'une grande découverte mathématique, et tu veux qu'on la vérifie avant que tu ne tentes de postuler à la médaille Fields ? ;-)

J'ai essayé de t'envoyer un mél avec 2 comptes différents expliquant comment mettre une image sur BibM@th : il me sont revenus... Adresse fausse ?

@+

karlun · 16-05-2010 19:57:16

Salut à tous,

Merci Yoshi,
J’ai essayé de m’envoyer un mél: maintenant ça fonctionne; excuses!

Au sujet de l’empilement des cubes liés à la somme de la somme des n premiers entiers tu signalais qu’en six pages format pdf tu avais rédigé une explication accessible; pourrais-je en prendre connaissance?

C'est que dans ma trousse je ne trouve que +,-,/,*. (C'est avec cela qu'on croit souvent inventer l'eau chaude. Moi j'avais choisi les portes ouvertes à enfoncer.)

Donc

« Que cherches-tu, enfin ? Tu penses être détenteur d'une grande découverte mathématique, et tu veux qu'on la vérifie avant que tu ne tentes de postuler à la médaille Fields ? ;-) »

Encore une fois, cher maître (:-), dans ma trousse je ne trouve que +,-,/ et *; alors une médaille? Pourquoi? Pour avoir eu le plaisir de communiquer mes quelques petites réflexions m‘empêchant de, seul, m’avancer au risque de divaguer? (C’est-ce que tu me laisses entendre et je t'en remercie)

Est-il donc si évident que [tex]\sum^{n}_{1}\left(\sum^{n}_{1}6\left(n-1\right)+1\right)={n}^{3}[/tex]

Voici la démarche suivie et voici ce qui est venu sous mes yeux:
(Ce tableau s’est construit de droite à gauche.)

colonne4 colonne colonne2 colonne1
n 6(n-1) Somme ((6(n-1)+1) Somme(somme((6(n-1)+1))
1 0 1 1
2 6 7 8
3 12 19 27
4 18 37 64
5 24 61 125
6 30 91 216

Bon c’est pas clair (comme tu me le diras c’est sûr).

Ce tableau s’est construit de droite à gauche.
C1: Partir du cube de n: 1,8,27,64,125,…
C2: 8-1=7 (colonne 1, ligne 2)-(colonne 1,ligne 1)
27-8=19
64-27=37
125-64=61
216-91=91
C3: 7-1=6 (colonne 2, ligne 2)-(colonne 2,ligne 1)
19-7=12
37-19=18
61-37=24
91-61=30

C’est à ma grande surprise que je suis tombé sur la table de six (sauf le zéro) (2° colonne)
(D’où l’ajustement (6(n-1)) (2°colonne))

6 quoi? Sont-ce les 6 faces du cube-un (ça c‘est la recherche qui m‘occupe pour le moment)?

ReDonc je tombe dans un espace fait de somme de somme (en partant de gauche à droite) et j’arrive au cube (3D).
Ça me semble à poursuivre et peut-être à en faire objet de discutions.

La transposition en pyramide de cubes-uns s’impose de suite (c‘est-ce qui m‘a guidé lors de la résolution de la somme de la somme des n premiers entiers).

Un cube est un cube de un de côté. 1= 1cube-un, 2=2cube-un; 3=3cube-un; etc

La base de la pyramide est triangulaire (triangle à créneaux vu en plan), de base [tex]\sum^{n}_{1}n[/tex] et de hauteur 6 (cf: colonne 3) mais dont le premier terme est 0; on ajuste par la formule 6(n-1)+1 pour que l’on arrive à démarrer avec 7 (2° colonne).

Donc il suffit d’empiler (pas édifier (car certains n’aiment pas):-)) des cubes-uns selon le rythme:
1 6*0+1
1+1*6 6*1+1
1+1*6+2*6 ……….
1+1*6+2*6+3*6
1+1*6+2*6+3*6+4*6 = 3n(n-1)+1

C’est la somme de tous les cubes-uns qui nous intéresse pour arriver à n au cube= [tex]\sum^{n}_{1}\sum^{n}_{1}6\left(n-1\right)+1[/tex]

La pyramide de cubes-uns ne ressemble pas à celle d'Égypte ou à celle des Mayas.

Elle est en coin comme ci-dessus (au moins sa base est visible) les chiffres représentant la hauteur des empilements de cubes-uns)

la première couche sera, selon n, le nombre de cubes-uns posés au sol = [tex]\sum^{n}_{1}n[/tex]

(J'ai à dire aussi sur cette aventure qui ressemble à une sorte de rite d'initiation mais est-ce le lieu?)

Modestement et empiriquement vôtre.

nerosson · 17-05-2010 13:54:59

Salut,

Attention, voilà encore Candide qui s'amène avec ses gros sabots.

J'ai lu tout votre blabla et j'ai rien compris. Alors, je fous tout à la poubelle (allez vous faire voir avec vos pattes d'éléphants !) et je décide de repartir à zéro et de revenir à la question de base de Karlun :

"Quelle est la base de la pyramide (de cubes 1) dont le volume équivaut à n au cube ?"

Ca, si on m'aide, je crois que j'ai une chance de comprendre.

Alors, Karlun, voudrais-tu préciser à l'homme de Néanderthal que je suis ce que représente le "n" ?

Je me trompe peut-être, mais j'ai l'impression que, de même que certains ont cherché la quadrature du cercle, Karlun cherche la "cubature" de la pyramide (une pyramide à degrés comme celle qu'a fait Imhotep).

karlun · 17-05-2010 20:18:27

Bonsoir à tous,
Honorable Nerosson, bonsoir.

précis, précis je dois être précis.

je travaille avec des cubes d'arête 1. Pour matérialisé mon propos je pense à un cube d'1 [tex]c{m}^{3}[/tex] (disons un peu comme un morceau de sucre qui serait cubique (car les vrais ne le sont pas beaucoup)).

je joins ces cubes1 (1[tex]c{m}^{3}[/tex]) les uns aux autres.

Toutes les formes sont possibles et notamment celle du cube.
Il est fait au moyen de:

-1 cube1:
formé par ce même et seul cube1 =>arête du cube=1 => n=1

-8 cube1
soit 4 cube1 (assemblés en forme de carré vu en plan (2X2)) +une 2°couche de 4 cube1 (2X2) posée sur la première verticalement. =>arête du cube=2=>n=2

-27 cube1
soit 9 cube1 (assemblés en forme de carré vu en plan (3X3)) +une 2°couche de 9 cube1 posée sur la première verticalement. +une 3°couche de 9 cube1 posée sur la 2° verticalement. =>arête du cube=3 =>n=3.

n=1=> [tex]{1}^{3}=1[/tex]
n=2=> [tex]{2}^{3}=8[/tex]
n=3=> [tex]{3}^{3}=27[/tex]

Est-ce clair?

Mettons que je choisisse n=3:

j'aurai un cube de 3 d'arête comptant 27 cube1.

Comment arriver à démonter ce cube (n=3 =>formé d'un cube formé de 27 cube1 (3 cube1 d'arête))
et le remonter en forme de pyramide (composée de 27 cube1 soit [tex]{n}^{3}={3}^{3}=27 [/tex] )?

Cette pyramide: quelle forme? d'Egypte, des Mayas?
quelle base? triangulaire, carrée, ...
Mais en tous cas elle ne sera pas lisse. (elle est exclusivement formée de cube1 empilé et/ou joint les uns aux autres.

Je signale qu'elle est un peu spéciale pour ce qui concerne sa base. C'est une pyramide normale sauf qu'à sa base il faut rajouter 3 cube1 (n=3).

mon message #17 tentait de reprendre le tableau qui m'a conduit à poser ce petit problème et essayer d'en formaliser sa réponse. (là je suis un peu beaucoup pompeux sans doute).

Ce tableau n'est pas sans rappeler les séries que tu nous a présenté Nerosson.
Yoshi a magistralement démontrer que la table de 6 était opérante.

Glubs! Soyez indulgent, dans ma trousse je n'ai que...

Là dans le fond, vous levez votre doigt? je vous écoute allez-y! :-)

A bientôt.

nerosson · 18-05-2010 17:27:57

Salut à tous,

Ici Nérosson qui court derrière et qui emmerde tout le monde.

C'est Boileau qui a écrit "Ce qui se conçoit bien, etc..." (Je le savais, mais j'ai tout de même vérifié : manque de confiance en soi...). Il a d'ailleurs dit une sottise, parce que plus une notion est simple, plus elle est vaste, plus elle est difficile à délimiter, donc à définir.

Karlun, je crois que si tu avais vécu au temps de Kéops, il n'aurait pas voulu de toi comme maître d'oeuvre. Il t'aurait pris comme simple manoeuvre, payé au SMIG....

Tu dis (je cite) :

couche 1 : 1
couche 1+ couche 2 : 8
couche 1+ couche 2+couche 3: 27
couche 1+ couche 2+couche 3 + couche 4 : 64.

Peut-être que c'est moi qui en tiens une, de couche, mais je ne pige pas : Couche 1 + couche 2 : 8. Donc, si l'arithmétique n'a pas changé depuis l'époque où j'étais à l'école primaire : couche 2 = 7 (nombre premier!). Non seulement je ne pige pas, mais ça ne colle pas avec ce que tu viens de m'expliquer ci-dessus, où la couche 2 est faite de 8 cubes : 4 cubes posés sur 4 autre cubes ( je cite : 4 cube 1 assemblés en forme de carré vu en plan (2X2)) +une 2°couche de 4 cube 1 (2X2) posée sur la première verticalement). : elle va être drôlement pointue, ta pyramide. Il y aura intérêt à ne pas s'asseoir dessus..., d'autant plus que la hauteur de la couche sera de 2, alors que, par rapport à la couche supérieure, la largeur horizontale libre ne sera que d'un demi.

En plus, tu dis ensuite : couche 1 + couche 2 + couche 3 : 27. Donc, couche 3 : 27 - 8 = 19, nombre premier !

Dans une construction rationnelle comme celle de la pyramide à degrés de Saquarah, la deuxième couche devrait d'ailleurs avoir 9 cubes pour que la hauteur de la marche soit égale à sa largeur.

Mais je t'enquiquine avec mon cours d'architecture et d'ailleurs c'est pas pour ça que je suis intervenu.

Je voulais te dire que, dans sa conception d'origine (base carrée, couches de 1, 4, 9, 16, 25, toutes les pyramides que j'ai calculées, jusqu'à une base de côté 100, il n'y en a aucune dont le nombre de pavés soit égal à N au cube, donc permettant de reconstruire un cube. J'ai pourtant passé près avec une pyramide de 37 à la base, contenant 17.575 pavés, alors que le cube de 26 est de 17.576.

Maintenant, je vais me coucher avec deux cachets de paracétamol et un sac de glace sur la tête.

Bonsoir.

yoshi · 18-05-2010 18:20:55

RE,

Sniark ! Sniark !... Ricanement sadique...

Ça me rassure, au moins, je ne suis pas tout seul à patauger dans les (apparentes) volte-face de ces posts...
Son histoire de pyramide sous laquelle on pose 3 cubes (comme ça, pour le fun...) m'inquiète beaucoup : nerosson s'il s'approche trop près va se les ramasser sur le gros orteil...
Tu pourrais prévenir, hein, au moins dans les forêts nord-américaines, lorsqu'un arbre est abattu, juste avant, il y en a un qui gueule comme un veau : "TIMBER !".
Et les mecs filent se mettre à l'abri...

@+

karlun · 18-05-2010 22:15:37

Chers tous,

Ok! c'est moi la souris, c'est vous les chats.
Appellerais-je du secours?

C'est quoi votre question?

Je pose:
"Toutes les formes sont possibles et notamment celle du cube".

Entendez-vous ce qu'est qu'un cube?

Il est fait au moyen de:

- 1 cube1:
formé par ce même et seul cube1 =>arête du cube=1 => n=1 => [tex]{n}^{3}=1[/tex]

Ou de:
- 8 X 1cube1
soit 4 X 1cube1 (assemblés en forme de carré vu en plan (2X2)) +une 2°couche de 4 X 1 cube1 (2X2) posée sur la première verticalement. =>arête du cube=2 => n=2 = [tex]{2}^{3}=8[/tex]

Ou encore:
- 27 cube1
soit 9 X 1cube1 (assemblés en forme de carré vu en plan (3X3)) +une 2°couche de 9 X 1cube1 posée sur la première verticalement. +une 3°couche de 9 X 1cube1 posée sur la 2° verticalement. =>arête du cube=3 =>n=3 => [tex]{3}^{3}=27[/tex]

Est-ce compréhensible à vos oreilles si aiguisées?

Si non... j'irai rebattre mes "trouvailles" ailleurs... :-)

A+?

karlun · 18-05-2010 22:43:14

Cher tous

A propos, personne ne m'a demandé comment j'étais arrivé à résoudre : "La somme de la somme des n premiers entiers ?"
idem pour la solution de la somme des [tex]{n}^{2}[/tex] premiers entiers

Et puis cher Yoshi peux-tu confirmer ou infirmer que:
[tex]{n}^{3}[/tex] = [tex]\sum^{n}_{1}\left(\sum^{n}_{1}\left(6\left(n-1\right)+1\right)\right)[/tex] ?

Bigre que mes loisirs sont riches!

A+?

yoshi · 19-05-2010 07:05:28

Salut,

Bon, je veux bien essayer : chuis pas sûr d'y arriver, je ne suis après tout qu'un modeste prof de collège retraité ! ;-)
Faut pas croire que je suis infaillible ou omnipotent : c'est gentil, mais ce serait une erreur.
Alors soyons clair :
Ton
[tex]{n}^{3}[/tex] = [tex]\sum^{n}_{1}\left(\sum^{n}_{1}\left(6\left(n-1\right)+1\right)\right)[/tex]
ne serait-ce pas plutôt [tex]\sum^{n}_{1}\left(\sum^{n}_{1}6(n-1)\right)+1\right)[/tex] ?
Parce qu'autrement c(n-1)+1 = 6n-5 et je ne vois pas le pourquoi de la double somme...

D'ici ce soir que tu me répondre, je vais regarder l'un ou l'autre...

@+

yoshi · 19-05-2010 09:05:48

Re,

Tant qu'on parle chiffons (pardon, chiffres..), je te suis...
Alors,
1. Il faut écrire ta formule ainsi, sinon, mathématiquement, elle ne marche pas :
[tex]\sum_{k=1}^n\left( 1+\sum_{i=1}^k 6(i-1)\right)=n^3[/tex]
2. Formule vraie.
a) [tex]\sum_{i=1}^k 6(i-1)=6\sum_{i=1}^k (i-1)[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^k 6(i-1)=6\sum_{i=1}^k i-6k[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^k 6(i-1)=\frac{6k(k+1)}{2}-6k[/tex]
[tex]\sum_{i=1}^k 6(i-1)=\frac{6k(k+1)}{2}-6k=3k(k-1)[/tex]
Soit 6 fois la somme des k-1 premiers nombres entiers.
b) [tex]\sum_{k=1}^n 1+3k(k-1)=\sum_{k=1}^n 3k^2-3k+1[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^n 1+3k(k-1)=3\sum_{k=1}^n k^2 -3\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n 1[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^n 1+3k(k-1)=3\sum_{k=1}^n k^2 -\frac{3n(n+1)}{2}+n[/tex]
Reste la somme des carrés de 1 à n.
Heureusement, cette formule "traîne" sur le site :
[tex]\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{2n^3+3n^2+n}{6}[/tex]
On complète alors :
[tex]\sum_{k=1}^n 1+3k(k-1)= \frac{3(2n^3+3n^2+n)}{6}-\frac{3n(n+1)}{2}+n= \frac{2n^3+3n^2+n}{2}-\frac{3n(n+1)}{2}+n[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^n 1+3k(k-1)= \frac{2n^3+3n^2+n-3n(n+1)+2n}{2}[/tex]
Et enfin :
[tex]\sum_{k=1}^n 1+3k(k-1)= \frac{2n^3+3n^2+n-3n^2-3n+2n}{2}=\frac{2n^3}{2}=n^3[/tex]
Nous avons enfin établi que :
[tex]\sum_{k=1}^n\left( 1+\sum_{i=1}^k 6(i-1)\right)=n^3[/tex]
Plus simple à faire que prévu...
Ainsi que je l'ai dit, je n'ai jamais mis la formule en doute : maintenant qu'elle est établie de façon formelle, tout le monde est content.... affaire classée

Concentrons-nous sur la suite.
C'est ta méthode de construction des pyramides que je n'arrive pas à suivre.

Tu avais dit : "avec un dessin ce serait si évident... Comment poster une image ?"
Maintenant tu sais, j'ai fait le nécessaire...

Je cite :

Mais en tous cas elle ne sera pas lisse. (elle est exclusivement formée de cubes1 empilés et/ou joints les uns aux autres.
Je signale qu'elle est un peu spéciale pour ce qui concerne sa base. C'est une pyramide normale sauf qu'à sa base il faut rajouter 3 cube1 (n=3)

Pas de quoi ouvrir des yeux ronds ?

@+

PS
Inutile de nous prendre pour plus bêtes que nous ne le sommes :
* Nous savons parfaitement ce qu'est un cube en Géométrie et le calcul de son volume connaissant son arête,
* Nous savons parfaitement ce qu'est un cube en Arithmétique/Algèbre et sa définition...

Est-ce notre faute si nous ne comprenons pas tes "édifications"... ? Face à une classe, si les élèves ne comprennent pas ce que raconte le mec en face, ça va rudement s'agiter..
Nous, nous sommes restés calmes et je dois constater en outre que les habitués du Forum passant à côté de cette discussion, regardent ostensiblement ailleurs en sifflotant d'un air détaché !...
Nerosson, lui malgré tout, quand il y a des choses qui lui échappent, il devient Nerossoude (caustique) : c'est sa nature (et là encore, elle était diluée).

Si non... j'irai rebattre mes "trouvailles" ailleurs... :-)

Sous les pavés, la plage ... Sous l'humour un fond de vérité ? On ne te mériterait pas ?
Comme tout finit en chansons :
<< Ne nous quitte pas
Il faut oublier
Tout peut s'oublier
Qui s'enfuit déjà
Oublier le temps
Des malentendus
....................>>
;-)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 13-05-2010 22:46:13

Du cube à la pyramide.

#2 14-05-2010 12:01:01

Re : Du cube à la pyramide.

#3 14-05-2010 12:45:22

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#4 14-05-2010 13:14:41

Re : Du cube à la pyramide.

#5 14-05-2010 13:24:34

Re : Du cube à la pyramide.

#6 14-05-2010 13:29:29

Re : Du cube à la pyramide.

#7 14-05-2010 13:52:22

Re : Du cube à la pyramide.

#8 14-05-2010 15:35:12

Re : Du cube à la pyramide.

#9 14-05-2010 16:07:39

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#10 14-05-2010 17:34:16

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#11 14-05-2010 18:48:46

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#12 14-05-2010 19:07:53

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#13 14-05-2010 20:20:41

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#14 14-05-2010 20:33:50

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#15 15-05-2010 09:48:36

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#16 16-05-2010 14:50:08

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#17 16-05-2010 19:57:16

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#18 17-05-2010 13:54:59

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#19 17-05-2010 20:18:27

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#20 18-05-2010 17:27:57

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#21 18-05-2010 18:20:55

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#22 18-05-2010 22:15:37

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#23 18-05-2010 22:43:14

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#24 19-05-2010 07:05:28

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#25 19-05-2010 09:05:48

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