Somme de la somme des n premiers entiers

karlun · 09-05-2010 14:27:34

Bonjour à tous,

J'ai beaucoup de plaisir à parcourir ce forum; bravo à vous.

Je me suis posé ce petit problème:
Quelle est la somme de la somme des n premiers entiers?

(Pour bagage je n'ai que mes faibles acquis (qui dates) et un peu d'esprit logique; ainsi pour (re)trouver la formule qui suit j'ai dû me creuser la tête ne voulant compter que sur moi-même)

Si la somme des n premiers entiers positif se calcule par la formule n/2(n+1) quelle est la formule pour calculer la somme de chacune des sommes des n premiers entiers ?

La méthode que j'ai utilisée m'a beaucoup plue ne faisant appel qu'au bon sens et quelques petits calculs élémentaires.

par exemple:
n=1 => 1 somme: 1
n=2 => 3 4
n=3 => 6 10
n=4 => 10 20
n=5 => 15 35
n=6 => 21 56
...
n=50=> 22100

Je ne doute pas que ce petit problème sera vite résolu vu la qualité des intervenants participant à ce forum; ce qui m'intéresse de découvrir ce sont les différentes approches qui seront proposées.

Salut bas.

Golgup · 09-05-2010 14:50:39

Hi

Ecrit la somme puis simplifies là et utilise la formule de la somme des n premiers carrés..

+

karlun · 09-05-2010 15:35:07

Salut Golgup,

Mon petit esprit ne comprend pas "Ecrit la somme puis simplifies là et..."

Mais ce style de réponse rapide j'aime assez.

Voici ma réponse sous cette forme:
Pour n tu prends un tiers de ligne,une demi surface et un sixième de cube et tu touilles... c'est prêt à servir.

Mathamusé, merci

karlun · 09-05-2010 16:31:42

cher yoshi,

Je m'amuse plutôt à chercher les différentes manières de trouver la somme de la somme des n premiers nombres entiers.

ainsi pour n=50 => la somme de la somme est 22100. ( ... )
alors que la somme est 1275 ( n(n+1)/2 )

Pour avoir un peu séché pour trouver cette dernière formule [ n(n+1)/2] j'ai trouvé une approche qui n'est pas celle que tu proposes mais qui évidemment arrive au même résultat. Je la garde encore pour moi car elle donnerait très vite la piste qui m'a conduit à trouver la seconde formule (celle de la somme de la somme).

mathamusé vôtre.

Golgup · 09-05-2010 16:38:13

Hello

Si tu ne t'intéresses qu'aux façon de trouver la formule( tu connais la formule?):

la façon classique:

1) Mettre en facteur le 1/2.

2) Décomposer la somme en deux sommes: celle des n premiers carrés plus celle des n premiers entiers.

3) Simplifier la fraction.

4) Réduire le numérateur à une équation du 2nd degré.

5) Extraire ses racines (-1 et -2) puis factoriser.

et donc la formule est [tex]\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n}{6}[/tex]

++

Dernière modification par Golgup (09-05-2010 16:45:18)

yoshi · 09-05-2010 16:45:02

Salut,

Karlun, tu as posté ton message dans le temps où, me rendant compte que j'avais mal lu la somme des ommes, je supprimais le mien.

Golgup, je rejoins karlun, ta formulation était d'une obscurité incroyable. D'autre part karlun ne t'a pas demandé d'écrire la réponse, mais d'expliquer un peu plus clairement comment et pourquoi, tu en étais arrivé là...

@+

PS Et même là, j'ai du mal à te suivre...

Dernière modification par yoshi (09-05-2010 16:59:42)

karlun · 09-05-2010 16:48:45

Merci,

C'est bien ce que je t'écrivais. Pour n tu prends un tiers de ligne,une demi surface et un sixième de cube et tu touilles.

Rapide aussi à moins que ce problème fasse partie de classiques?
Mais c'est quoi le chemin que tu as pris pour arriver à ce résultat?
Ta formule est exacte et mettra Yoshi sur ce qu'il connaît déjà.

D'autres chemins sont-il envisageables?

jour bon.

Golgup · 09-05-2010 17:01:26

Ah! désolé j'avais pas saisi, j'ignore si il existe d'autre méthode..

yoshi · 09-05-2010 17:05:36

Re,

Non, désolé de vous décevoir tous, mais ça ne me fait pas beaucoup avancer...
Soit [tex]U_n={n(n+1) \over 2}[/tex], on a alors [tex]S_n=U_1+U_2+U_3+\cdots+U_n[/tex]
De là Golgup (il est brillant ce garçon, mais cultive aussi le sens de l'ellipse...) en déduit, si j'ai bien compris :
[tex]S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2[/tex]
Je regarde mieux la suite et je reviens...

@+

PS, non, ce n'est pas ça...
Mais j'ai trouvé (pas le truc de Golgup) et je vous renvoie là (une réminiscence subite...) :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 516#p10516

Il y a de cela quelques années, javais rédigé en 6 pages (il me fallait être didactique et accessible) une explication détaillée avec des calculs -relativement (!)- accessibles à des élèves de 3e, aimant les maths, curieux et se destinant à prendre l'option MPI (qui -ce n'est pas son rôle officiel pourtant- sert souvent d'écrémeuse pour encourager ou décourager les candidats à la 1ere S...)
Fichier .pdf disponible...

karlun · 09-05-2010 19:34:40

Merci Yoshi,

Je pensais bien que tu trouverais vite à quoi je faisais référence.
Je te dis pas ma déception d’avoir croisé, peu avant, ton problème de jeu de cubes alors que justement cette mise en espace correspond à la démarche qui m’a conduit à la solution (coins de cube (n de côté) et (n/2(n+1))(cube - coin de cube) et (n/2(n-1)(coin de cube).

Vous êtes géniaux.
Là où je mets un demi jour pour baliser et résoudre, en quelques minutes vous trouvez. Chapeau bas!

Mais dans le fond,
Si un entier c’est un cube(n=1).
C’est quoi alors un carré, une ligne?

Mathamusé, je me savanture.
Ce que je trouve génial c’est le vertige que je ressens d’avoir connecter les entiers à l’espace (ah! ce cher espace) et réciproquement.

C’est pas anodin de qualifier une solution en termes d’entiers;
Ex: pour n, touillez-en un tiers de ligne, une moitié de surface et un sixième de cube.
Je propose d’en chercher la syntaxe , en prendre quelques autres (formules) et les déployer en objet dans l’espace 3D.
Après tout, des cubes ont voit ce que c’est et puis des surfaces et des lignes aussi. Reste à trouver la manière de les reconvertir en figures (les reconfigurer).
Imaginons que nous imagions les formules.
En tout cas en v’là une: l’image est celle du jeu de cubes proposé par Yoshi.

Bon! je rêve, mais quel plaisir!

Pyramidalement et mathimagement vôtre.

jpp · 31-01-2011 20:51:28

Bonsoir
Pour une suite de N nombres , il existe un polynome de degré N - 1 ( à N coefficients) qui passe
par ces N nombres.

Par exemple je prend la somme des 3 premiers carrés . u0 = 0 u1 = 1 u2 = 5 u3 = 14

Mon polynome P = c0 + c1.N + c2.N^2 + c3.N^3

(N=0) u0 = 0 = c0 + 0.c1 + 0.c2 + 0.c3
(N=1) u1 = 1 = c0 + c1 + c2 + c3 (1)
(N=2) u2 = 5 = c0 + 2c1 + 2^2.c2 + 2^3.c3 (2)
(N=3) u3 = 14 = c0 + 3c1 + 3^2.c2 + 3^3.c3 (3)

on voit de suite que c0 = 0 . Il ne reste plus qu'à résoudre le système de
3 équations à 3 inconnues
on obtient donc c1 = 1/6 c2 = 1/2 & c3 = 1/3

2N^3 + 3N^2 + N
d'ou le polynome p = N^3 /3 + N^2 /2 + N/6 = ---------------------
6

Après factorisation P(n) = U(n) = N.(N+1).(2N+1)/6

De la meme facon , pour trouver le polynome permettant de trouver la somme
de la somme des N premiers entiers avec u1 = 1 u2 = 4 u3 = 10

on arrive à P(n) = N.(N+1).(N+2)/6

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