Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

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Tracé géométrique

Salut,

A mon tour.
Problème (très simple) dédié tout particulièrement  à franklino qui a l'air d'aimer ça et bien sûr nerosson qui, n'en déplaise à freddy "mauvaise langue", est loin d'être le vieillard cacochyme qu'il prétend. ;-)
Moi qui ait eu l'insigne honneur de le rencontrer, si on me garantissait sa verdeur à son âge, je signerais tout de suite !

Bon, allons-y...
Prenez une feuille de papier, munissez-vous d'un crayon et d'une règle non graduée.
Tracez un angle (on devrait plus précisément parler de secteur angulaire, mais bon...). Oui, oui,  n'importe lequel...
Un peu plus loin sur votre feuille, placez un point.
Maintenant, ajoutez, au matériel disponible, votre compas et reproduisez l'angle précédent, ayant pour sommet le point précédemment placé.

@+

nerosson

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Re : Tracé géométrique

Salut, Yoshi,

Je ne suis pas sûr de mériter de pareils compliments....

Quant à Freddy et moi, nous partageons l' honneur d' être des mauvaises langues. C'est une compétition qui, je l'espère, se poursuivra longtemps.

Je te propose une solution, mais je ne suis pas très sûr de moi.

J'ai un angle de sommet A. Sur l'une des droites, je place un point B

En B, je trace une perpendiculaire à AB (méthode classique avec compas) qui coupe l'autre ligne en C.

J'ai un triangle rectangle d'hypothénuse CA dont je détermine le milieu M au compas.

Je peux, avec la règle et le compas reproduire ailleurs la même figure, mon point quelconque X remplaçant le point A, les point Y  et Z remplaçant les points M et C.

Pour cela je trace le cercle de centre Y et de rayon YX.

Dans cette nouvelle figure, je détermine le point W remplaçant le point B, en traçant un arc de cercle de longueur CB, et de centre Z.

Le triangle XZW est identique au triangle ACB, donc l'angle en X est identique à l'angle A.

Juste ???

yoshi

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Re : Tracé géométrique

Re,

Allons, allons, tu es trop modeste...
Bon...

J'ai un angle de sommet A. Sur l'une des droites, je place un point B

En B, je trace une perpendiculaire à AB (méthode classique avec compas) qui coupe l'autre ligne en C.

J'ai un triangle rectangle d'hypothénuse CA dont je détermine le milieu M au compas.

Jusque là, j'ai suivi... Sauf que ton point M n'est pas d'une utilité phénoménale, mais passons.
Après ça se gâte :

Je peux, avec la règle et le compas reproduire ailleurs la même figure, mon point quelconque X remplaçant le point A, les point Y  et Z remplaçant les points M et C.

C'est bien de pouvoir, c'est justement ce qu'on te demande, à moins que ça n'ait été qu'une habile transition.
On est bien d'accord, tes points X, Y et Z sont virtuels, ils ne figurent encore pas sur ta feuille ?
................
C'est bon, j'ai compris la suite.
Oui, c'est bon. C'est pfffff..., mais c'est bon.

MAIS
à ergoteur, ergoteur et demi, c'est bien connu :
1. Je te mets en face d'une classe de 6e et je te mets au défi de leur faire rentrer dans le crâne ta construction,
2. Ta construction ne marche pas toujours telle quelle : tu es obligé de prévoir un codicille au cas où l'angle serait obtus.
    Auquel cas, je te renvoie à plus forte raison au point 1.
3. Ta construction repose sur trois non-dits :
    * La médiane relative à l'hypoténuse d'un triangle a une longueur égale à la moitié de celle de l'hypoténuse,
    * Si un point W appartie au cercle de diamètre [YZ] alors YWZ est rectangle en W.
    * Tout triangle ABC rectangle en B est inscriptible dans un cercle qui a pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle rectangle
      Ces 3 non-dits sont du programme de 4e.
    *(voire un quatrième : le 2e cas d'égalité des triangles : classe de 1ere, je crois.)

La solution dont je dispose est tellement simple qu'on l'apprend en 6e, ils n'ont aucunement besoin de ce qui précède, uniquement de savoir
- ce que c'est qu'un cercle, le centre et le rayon
- de savoir utiliser une règle et un crayon pour savoir tracer un trait droit avec une règle...

La trouveras-tu ?

@+

nerosson

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Re : Tracé géométrique

Salut, Yoshi,

Je me demande si ça n'est pas moi qui suis obtus.

J' ai l'impression que tu me reproches de ne pas avoir bien explicité ma méthode.

Il me semble que j'ai bien expliqué la première phase, la construction d'un triangle ABC, rectangle en B, avec le point M, milieu de l'hypoténuse, qui n'est pas inutile puisqu'il est le centre du cercle dans lequel est inscrit mon triangle rectangle.

Ce que j'ai effectivement abrégé, c'est comment, avec un compas (qui permet de reporter des longueurs, de tracer des cercles et des arcs, de construire des angles droits) et une règle (qui permet de tracer des droites), je pouvais reconstruire la même figure ailleurs, à partir d'un point donné. Ca me paraissait totalement superflu étant donné la qualité de mes interlocuteurs.

Par ailleurs, si l'angle est obtus, son supplémentaire est aigu. Je travaillerai donc sur cet angle aigu et je n'aurai qu'une ligne à prolonger pour avoir l'angle obtus

nerosson

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Re : Tracé géométrique

Salut,

C'est encore moi.

Autre solution, plus simple et qui est peut être celle que tu attends :

J'ai un angle de sommet A; Je trace un cercle de centre A et de rayon quelconque, qui coupe les côtés de l'angle en B et C.

En prenant pour centre un point quelconque X, je trace un cercle égal au précédent. A l'aide du compas je détermine un arc YZ égal à l'arc BC (tu vas tout de même pas me demander d'expliquer comment ?).

L'angle BAC et l'angle YXZ sont égaux.

Monsieur est-il satisfait ? Faut-il vous l'envelopper ou si c'est pour manger tout de suite ? Un paquet-cadeau, peut-être ?

freddy

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Re : Tracé géométrique

Salut, Yoshi,

Je me demande si ça n'est pas moi qui suis obtus

Depuis le temps qu'on te le dit !

Mais faute avouée, à moitié pardonnée ...

hihihi

yoshi

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Re : Tracé géométrique

Salut nerosson,

Euh... Oserais-je dire que je ne suis pas pleinement satisfait ?
Tu sembles légèrement ironique, alors soyons clair : n'est valable une construction qui marche dans tous les cas de figure.
Or ce n'était pas le cas !
Reprenons ta 1ere construction :
Soit un angle xAy de sommet A.
Tu places un point B sur la demi droite [Ax... ok !
Tu traces la perpendiculaire en B à (AB)... ok !
Elle coupe le côté [Ay de l'angle en un point C...
Objection !
Il n'y aura pas de point d'intersection dans le cas d'un angle xAy obtus!
Oui ou non ?

Bon.
Ma solution.
Un petit dessin vaut mieux qu'un long discours :

Ptêt tu veux une dédicace ?

@+

PS

Je me demande bien si je vais continuer à poser des "énigmes" qui visiblement n'intéressent personne si ce n'est nerosson (Brave homme !) qui se dévoue, autant les lui envoyer directement...

freddy

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Re : Tracé géométrique

Heuuuu, ami yoshi,

il faut que tu penses à ceux qui travaillent encore ...

Tous les lecteurs participants ne sont pas encore à la retraite !!!

Bb

Dernière modification par freddy (06-05-2010 18:06:37)

nerosson

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Re : Tracé géométrique

Salut, mon cher Yoshi, salut, mon cher Freddy

Je commence à me demander si ce bon Freddy n'a pas raison (je le recoincerai bien un jour....).

Mais :

a) tu fais la critique de ma première construction, avec pour objection : ça marche pas avec un angle obtus. J'avais déjà répondu à ça : "si l'angle est obtus, son supplémentaire est aigu. Je travaillerai donc sur cet angle aigu et je n'aurai qu'une ligne à prolonger pour avoir l'angle obtus"

b)je t'ai fait une autre réponse (précisément celle qui se terminait sur une note d'ironie, d'ailleurs pas méchante : ma méchanceté, je la réserve à Freddy, mais  il va falloir que je refasse du stock. C'est un domaine où il est plus doué que moi. si on veut se comparer à des angles, moi, je suis obtus, lui, il est rentrant). Or cette deuxième réponse, c'est très exactement celle que tu me présente avec des dessins qui dénotent un talent auquel je rends hommage.

c) Il y en a un qui me couvre de méchancetés et l'autre qui me copie dessus. C'est un monde ! ! !

yoshi

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Re : Tracé géométrique

Re,

1. J'avoue avoir lu en diagonale ton post et avoir entrevu ce que tu voulais dire... Mais sur le moment ça m'a paru peu clair, donc pas eu le courage de relire et relire encore pour démêler l'écheveau. Désolé (de ne pas l'avoir fait, mais aussi du qualificatif appliqué).

2. Il faut rendre à Cesar ce qui n'appartient pas à Yoshi : ces dessins ne sont pas de moi, je les avais simplement scannés dans un bouquin. Seuls la présentation et le texte différaient... Dont acte.
Je ne veux pas me parer des plumes du paon : elles ne m'appartiennent pas.

@+

PS
Hey nerosson, t'es-tu penché sur les aventures d'Anselme Lanturlu ?

nerosson

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Re : Tracé géométrique

Salut, Yoshi,

Là, tu es trop sévère ! ma deuxième prestation était claire !

Quant à Lanturlu, j'ai jeté un oeil et j'y retournerai à l'occasion. Mais tu me donnes tellement de travail !