le chemin le plus long entre deux points?

karlun · 05-05-2010 07:26:44

Bonjour à tous,

Quel est le chemin le plus long entre deux points ?
Y a-t-il paradoxe dans l’aire, dans l’espace ?

Un peu de topologie sans doute.

Un point est l’intersection de deux (au moins) droites sécantes.
Evidemment le point est infiniment petit.
La droite est la suite continue et infinie de points.
Cette droite infinie se boucle-t-elle au point [–infini,+infini] ?
Dans la négative, le plus long chemin entre deux points est aussi le plus court.
Dans l’affirmative les perspectives de développement sont intéressantes.

Dernière modification par karlun (05-05-2010 12:08:21)

thadrien · 05-05-2010 11:56:30

Salut,

On raconte qu'Euclide aurait passé sa vie à tenté de démontrer que le chemin le plus court entre deux points était la ligne droite, et que ses contemporains se moquaient de lui en disant : "même un âne connaît ce résultat car, pour aller de son étable à sa mangeoire, il prend toujours le plus court chemin".

Dans ton cas, si tu veux trouver le plus long chemin entre deux points, il te suffit de 1/ prendre plusieurs ânes et 2/ de les shooter à la marijuana. C'est radical !!!

Sinon, pour l'aspect mathématique de ton truc, j'ai du mal à voir.

nerosson · 05-05-2010 13:02:05

Salut à tous,

Personnellement, j'aurais répondu (d'instinct) :

Partir de ce point en suivant une demi-droite, aller à l'infini et rejoindre l'autre point par une autre demi-droite coupant la première à l'infini.

Ceci m'amène à une réflexion que je me suis souvent faite (je ne suis sûrement pas le seul) : tous les infinis sont infinis, mais il y a des infinis qui sont plus grands que les autres. Une droite est infinie, mais elle est la somme de deux infinis : deux demi-droites.

Donc, ma réponse, réflexion faite, ne me satisfait qu'à moitié : c'est un parcours infini, mais on pourrait facilement imaginer des infinis plus grand que celui-là.

karlun · 05-05-2010 13:50:41

Allons plus loin alors.
Merci pour l’idée de l’âne « shooter à la marijuana » thadrien
Mais on est sûr de le perdre à jamais. L’âne serait en errance.
Alors, à quoi servirait sa mangeoire ?

Merci aussi pour cette approche qui me relance.
« Partir de ce point en suivant une demi-droite, aller à l'infini et rejoindre l'autre point par une autre demi-droite coupant la première à l'infini. » nerosson

Et la demi-droite coupant à l’infini pourrait-elle parcourir l’espace encore et encore, recoupant l’infini une infinité de fois sans atteindre le deuxième point à joindre ?

Dans la négative qu’en serait-il de ce « lieu » à l'infini ?
Dans l’affirmative -qu’en est-il de cette infinité de droite qui serait alors (entre autre) parallèles mais jamais confondues.
-qu’en serait-il du segment séparant les deux points qui, lui-même, serait coupé par une infinité de droites ?
Deux droites parallèles infiniment proches mais non confondues seront séparées par une parallèle de « non-point » sinon le chemin le plus long entre deux points serait aussi le plus court.

La question reste : Une droite infinie se boucle-t-elle au point [–infini ; +infini] ?
"Y a quelque chose qui cloche là dedans, J'y retourne immédiatement" Vian

nerosson · 05-05-2010 14:39:24

Salut,

Je suis infiniment troublé, ce qui fait que j'ai du mal à te suivre.

J'ai peur que ma deuxième idée ne soit qu'un démarquage de ce que tu as dit. Si c'est le cas je m'en excuse.

Voila :

A partir du point A je trace une demi droite sur laquelle un point B se trouve rejeté à l'infini. A partir de ce point B, je trace une autre demi-droite où le point C se trouve rejeté à l'infini. A partir de ce point C je trace une demi-droite où le point D se trouve... etc...etc.

Après avoir fait ce jeu de con une infinité de fois, je reviens au point de destination.

Quand j'étais enfant et que j'allais au catéchisme, l'abbé nous avait donné une parabole (qui, je crois, émanait de Pascal, mais je ne suis pas sûr) qui visait à donner une idée de l'infini. Mais ça sera pour une autre fois....

thadrien · 05-05-2010 14:45:25

Plus sérieusement, la réponse à ta question dépend de l'espace de tes points et de l'espace et de la distance associée.

yoshi · 05-05-2010 15:18:43

Ave karlun,

Bienvenue sur BibM@th...
Puis-je te conseiller (ainsi qu'à tous ceux qui ne connaissent pas) des aventures édifiantes, celle d'Anselme Lanturlu dans le "Geometricon" :
http://www.savoir-sans-frontieres.com/d … tricon.htm
Tu y trouveras un (vague) écho de tes préoccupations présentes.

Il y a bien d'autres aventures disponibles :
- Les trous noirs
- Tout est relatif (avec, en Guest Star, M. Albert...)
- Big Bang
- Mille miliiards de soleils
- Cosmic story
- Le Mur du silence,
- Le Topologicon,
- A quoi rêvent les robots
......................
Et bien d'autres encore que tu retrouveras là :
http://www.savoir-sans-frontieres.com/J … nloads.htm
Ne commets pas l'erreur, de prendre ces œuvres, parce que BD, par dessus la jambe et évite de t'atteler à leur lecture le soir avant de te coucher, tu risquerais une forte migraine : le CV de M. Jean-Pierre Petit est assez impressionnant...
Ces BD étaient commercialisées avant d'être librement téléchargeables, je dispose d'ailleurs de toutes celles que j'ai citées.

Bonne lecture.

@+

karlun · 05-05-2010 16:44:43

Salut et merci.

"ma question dépend de l'espace des points et de l'espace et de la distance associée".

La topologie subvertit à sa manière l'espace et la distance. non?
Sur la bande de Moebius (espace topologique je crois) une droite est bouclée. La bande peut-être infinie.
La question initiale peut être reprise à partir de là.

les BD d'Anselme Lanturlu je les possède également; remarquable!

Quant au "jeu de con une infinité de fois" je m'en passe fort bien puisque je ne me sens pas être un âne errant cherchant sa mangeoire.
Je reconnais que le thème des infinis m'a occuppé très tôt sans jamais m'y coller.
Ce sont les réponses aux questions qui se posent ensuite qui m'intéressent.
Si pousser le bouchon plus loin est inutile OK! merci pour ce petit tour.
Mais si vous pouvez me donner d'autres pistes: volontier.

Vive les savanturiers.

nerosson · 06-05-2010 14:56:17

Salut, Karlun,

J'ai l'impression que mon expression "jeu de con" t'a déplu.

Il me paraissait bien évident que ce que j'appelais "jeu de con", c'était le mien. Je ne mettais personne d'autre en cause que moi-même.

karlun · 06-05-2010 15:51:52

salut nerosson,

le "jeu de con une infinité de fois" semblait l'expression d'une certaine lassitude alors que la dimension du parcours et la répétition de séquences ne compte pas dans le raisonnement, à part pour l'âne qui, sans doute, ne songe qu'à rejoindre sa pitance.
La logique ne mange pas de pain.

Ton idée de demi-droite infinie se coupant à l'infini donne à celui-ci une couleur de discontinuité et donc de carrefour alors que, dans ma première idée, j'imaginais une sorte de fonte de deux limites en une seule et donc un point limite de continuité.
S'il est possible de rejoindre les deux points A et B en passant par l'infini (au singulier),ce serait déjà un bon point de départ.
Cela me fait penser au point de fuite en perspective.
Un point de vue, une ligne de terre et un(ou deux) point(s) de fuite (à l'infini) permettent la mise en perspective.

Chouette perspective.

thadrien · 06-05-2010 17:25:57

Salut,

Désolé d'avoir commencé par prendre ton idée avec scepticisme, mais j'ai hélas trop l'habitude des gens qui sont à la recherches d'innombrables chimères mathématiques comme la quadrature du cercles ou autres.

Bref, après relecture, je trouve que ton idée est intéressante.

Pour t'aider dans tes recherches, je te conseille de jeter un coup d'oeuil à ce que l'on appelle les coordonnées homogènes. Dans ce système de coordonnées, il y a un et même plusieurs points à l'infini. De là à imaginer un trajet infini qui passe par ce point, il n'y a qu'un pas !

Et justement, ça fonctionne un peu comme la perspective, donc, je crois que c'est ce que tu recherches !

karlun · 07-05-2010 21:49:13

Salut à tous,

Merci pour me rappeler le plan projectif sans lequel nulle représentation ne serait possible.

"Plusieurs points à l'infini"; une infinité sans doute mais comment prouver le contraire?
La perspective met bien en évidence cette dimension (qui me semble) pourtant commensurable (le point de vue divise déjà en deux: l'avant et l'arrière) .
J'adore les tableaux de paysage qui (naïvement) tente de reproduire la perspective d'intuition.
Dessiner un projet en perspective obéit à des règles symbolisées, codifiées; mais laissons.
Les coordonnées homogènes ne semble que coder les lieux.

L'approche proposée d'emblée: (quel est le chemin le plus long entre deux points?) espère se passer d'acquis déjà théorisés. Les pistes engagées, dégagées peut-être, doivent nous inciter à les poursuivre.

Si le chemin le plus long entre deux points passe par l'infini (ce qui semble incontournable (ben là on marque un point)) qu'en est-il de ce passage? Continu ou discontinu?
Si continu le chemin le plus long rejoindra forcément le point B et, bingo!!!,. (je me demande si "forcément" est bien juste sur tous les plans projectifs?) .
Mais si discontinu, de retour sur le point B elle pourra passer à côté
Passant à côté du point B et entre B et A que devient cette ligne de A à B parcourue par une infinité de droites sécantes?
C'est cet espace qui m'intéresse, nous ramenant dans l'infiniment petit forcé par l'infiniment grand.

Bigre!
Que le chemin le plus long entre deux point ne soit pas le plus court!

Hé! Y a quelqu'un?

karlun · 11-11-2010 17:23:04

Bonjour,

Le post d'hier:http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=4115 me relance (en tête) sur ce thème.

« Impossible de trouver l'image »?
Peut-on écrire « ... 1/0 n'existe pas... »?

Point de départ d'une interrogation (mienne ) d'il y a longtemps.

1/1 =1
1/0,1 =10
1/0,01 =100
1/0,001 =1.000
1/0,0001 =10.000
1/0,00001 =100.000
...
[tex]\frac{1}{1\times 1{0}^{-\infty }}{ }^{}[/tex] =[tex]\infty[/tex] sachant que [tex]1\times 1{0}^{-\infty }= 0[/tex]

Notons que l'unité (1) de départ aurait pu être un « n » quelconque (ça ne changerait rien).
[tex]\frac{n}{1\times 1{0}^{-\infty }}=\infty[/tex]
Mais une difficulté arrive pour un « n » tendant vers l' [tex]\infty[/tex] .

Si [tex]\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1[/tex], qu'en serait-il dans le cas ou [tex]n\rightarrow \infty \,ou\,n\rightarrow 0\,[/tex] ?
Là on parle d'impossible je crois.

L'impossible en mathématique est un thème difficile.
« A tout x correspond l'image f(x) = -3 - x² ».
Image donc.
L'horizon du paysage (et en mathématique aussi) est à l'infini.
Les fonctions « image de » sont construites dans ce paysage et, telle une perspective (image déduite en lois pour être reproduisible, alliance de logique et d' "imaginarisation" (épure)), elles s'ordonnent (ou pas) de leur(s) point(s) de fuite (là où elles s'échappent à notre entendement (représentable)).

"les mathématiques sont la science de l'infini" H. Weyl.

A+-*/

yoshi · 11-11-2010 18:50:56

Re,

Bah... Pas besoin de tout ça, pour montrer que la division d'un nombre non nul par 0 est impossible...
Par exemple, supposons que le quotient de 5 par 0 existe, appelons-le k...

Par définition du quotient exact de 2 nombres on peut dire que puisque 5/0 = k alors k * 0 = 5...
Par contre 0/0 n'est pas impossible, on est dans le cas d'une indétermination : le quotient 0/0 existe, mais on ne sait pas ce que c'est... Ce peut-être "n'importe quoi".
Prends l'exemple d'une fonction [tex]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\;x\to f(x)=\frac{x-4}{\sqrt x -2}[/tex].
Déjà, il y a un domaine de définition (ça te rappelle quelque chose...) [tex]]0\;;\;4[\; \cup \;]4\;;\;+\infty[[/tex]

Faisons tendre x vers 4.
Alors f(x) tend lui vers 0/0...
Donc, on ruse...
Sur le domaine ainsi défini, on multiplie numérateur et dénominateur par [tex]\sqrt x +2[/tex] :
[tex]f(x)=\frac{(x-4)(x+\sqrt 2)}{(\sqrt x -2)(\sqrt x +2)}=\frac{(x-4)(x+\sqrt 2)}{x-4}[/tex]
x n'étant pas égal à 4, mais ne faisant que tendre vers 4, j'ai le droit de simplifier par (x-4) :
[tex]f(x)=\sqrt x+ 2[/tex]
Et là que je tende vers 4 par valeurs inférieures ou vers 4 par valeurs supérieures : f(x) tend vers [tex]\sqrt 4 + 2 = 2 + 2 = 4[/tex]...
Dans ce cas particulier on va dire qu'on prolonge f par continuité au point d'abscisse 4.

Ça te va ?

@+

karlun · 11-11-2010 20:27:22

'soir,

Oui, bien sûr de m'être trompé, je suis.
Pas impossible mais plutôt indéterminé"; OK! c'est ça.

Mais, pour te reprendre,
[tex]\frac{5}{0}=\infty \,\,\Rightarrow \,\,\infty \times 0=5\,\,\,\,\,????\,\,\,\,\frac{k}{0}=\infty \,\,\Rightarrow \,\,\infty \times k=3\,\,\,par\,ex.\,ou\,2,89,5,44,....[/tex]

J'sais pas toi mais, pour moi, ça cloche (je vais réfléchir (+-*/) pour mieux justifier (malgré l'avancée du pénultième post)).

Pourquoi (pour toi) cette différence d'avec 0/0 ?
"le quotient 0/0 existe, mais on ne sait pas ce que c'est... Ce peut-être "n'importe quoi""
[tex]\frac{tendance\,vers\,n'importe\,quoi}{tendance\,vers\,n'importe\,quoi}=1[/tex]
Dans 5/0 = k alors k * 0 = 5... Y aurait-il pas n'importe quoi là aussi? Si non pourquoi?
Merçi pour te souvenir que:
"Déjà, il y a un domaine de définition (ça te rappelle quelque chose...)"
Ah!!! belle leçon que celle là.
Le Dom de Déf. est un peu comme le "NON! d'logique" et point barre (à la ligne)

"Que le chemin le plus long entre deux point ne soit pas le plus court!"

A+-*/

yoshi · 11-11-2010 21:35:58

Re,

Attention !
J'ai dit : si... si...
Donc supposons que 5/0 existe, on note alors k le quotient et on tombe alors sur l'égalité suivante : 0 * k = 5 ce qui est absurde, donc le point de départ est faux, donc 5/0 n'existe pas...
Cela s'appelle un raisonnement par l'absurde...
(Il n'y a pas d'autre façon de démontrer par exemple le corollaire suivant de l'axiome d'Euclide : si 2 droites sont parallèles, alors toute droite qui coupe l'une, coupe aussi l'autre)

Avec k entier, c'est facile à justifier mathématiquement
k * 0 = 0 * k = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Écrire [tex]\frac{5}{0}=\infty[/tex] est illégal +oo ou -oo ne sont oas des nombres précis, connus...
Tout ce que tu peux écrire c'est que le quotient 5/x, lorsque x tend vers 0, tend lui même vers l'infini, i.e augmente sans cesse...

Pourquoi (pour toi) cette différence d'avec 0/0 ?

Même si on peut trouver k tel que 0 * k = 5, par contre on peut bien trouver un nombre k tel que 0 * k = 0, et même pas qu'un seul...
Encore une fois en écrivant 0/0, on fait une sorte d'abus de langage (c'est du jargon de matheux, un raccourci de pensée et d'écriture, mais nous, nous en sommes conscients) même si avec 0/0, ce n'est pas trop "grave"...

Bon, en partant des égalités suivantes :
0 * 5 = 0 ; 0 * 72356.378 = 0 ; 0 * (-245,3774) = 0
je peux donc en déduire aussi :
0 = 0/5 ; 0 = 0/72356.378 ; 0 = 0/(-245,3774)
Ces écritures-là, sont bien tout ce qu'il y a de légales...

Par contre, écrire froidement, comme je l'ai fait "le quotient 0/0 existe" est un peu cavalier...
J'aurais dû dire que la forme 0/0 (dans certains manuels il y a des guillemets autour) n'est pas impossible, mais seulement indéterminée...
En effet, si j'ai deux expressions f(x) et g(x) dont je cherche la limite quand x tend vers un nombre k quelconque, et que f(x) et g(x) tendent toutes deux vers 0 lorsque x tend vers k, j'ai le droit d'écrire en fait que f(x)/g(x) tend une limite indéterminée de la forme 0/0...
Et disant cela, je n'écris pas vraiment un quotient...
On ne peut pas toujours d'ailleurs lever l'indétermination, cela se juge au cas par cas, tout dépend de la fonction...

Mais même en écrivant un quotient ainsi que je l'ai fait dans mon post précédent où je démarre de : la limite de f(x) quand x tend vers 4 est de la forme 0/0, je lève l'indétermination et j'arrive à une limite de 4...
Je peux en inférer que passer d'une limite indéterminée de la forme 0/0 à une limite de 4, c'est quand même dire que 0/0 = 4, ce qui, en passant outre l'illégalité de l'écriture du zéro au dénominateur d'un quotient, n'est pas totalement inepte (litote), puisque par définition si D/d = q alors D = d * q (définition du quotient exact), et dans mon cas :
0 = 0 * 4.

Quand j'ai usé de l'expression "n'importe quoi", j'entendais donc "n'importe quel nombre" (y compris 0 d'ailleurs), ou plus précisément un nombre appartenant à l'ensemble des nombres réels [tex]\mathbb{R}[/tex], nombre parfois déterminable et unique (s'il n'y a pas discontinuité).

Bon, au passage [tex]\infty \times 0[/tex] est aussi une forme indéterminée...
Alors que [tex]+\infty * k,\, k \not = 0[/tex] est remplaçable par [tex]\pm\infty[/tex] selon le signe de k.
D'autre formes indéterminées :
[tex]+\infty - (+\infty),\;\frac{\infty}{\infty}[/tex].
Voilà, tu as maintenant les 4 cas étudiés en Terminale Scientifique...

[tex]\frac{tendance\,vers\,n'importe\,quoi}{tendance\,vers\,n'importe\,quoi}=1[/tex]

Non, ça, c'est ... n'importe quoi... ;-) ça n'a pas de sens.
Si tes "n'importe quoi" sont différents de 0 et +-oo, alors ces "n'importe quoi" sont connus et leur quotient aussi qui ne vaut 1 que si et seulement si les deux valeurs cachées sous tes "n'importe quoi" sont égales...

Faut pas me faire dire ce que je n'ai pas dit...
Relis-moi..

Ce n'est pas simple à comprendre, mais ça l'est encore moins à expliquer : ça relève des interdictions implantées chez tout matheux, lequel aura beaucoup de mal à expliquer ces choses simplement au profane en raison de l'extrême subtilité des notions et de l'extrême précision des mots nécessaires à l'exposé des motifs...
Beaucoup d'élèves d'ailleurs, si tu leur posais ces questions, auraient du mal à répondre :
- Parce que c'est comme ça : on n'a le droit de diviser par 0 !
- Oui, mais pourquoi ?
- Bin... Euh... C'est comme ça qu'on m'a appris...

J'espère avoir réussi à dissiper les nuées...

@+

karlun · 14-11-2010 15:07:44

Bonjour,

Merci Yoshi pour tes explications sur l'impossible en mathématique.

Impossible si: en dehors du Dom. de Def. pour ainsi dire.

Puisque l'astuce consiste à contourner le Dom. De Def. de départ.
(en admettant par exemple la simplification de « tendances » équivalentes (c.f.: f(x)= [tex]\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}[/tex] ).

En tête et gribouillée là devant moi la fonction inverse f(x)=1/x .
Je poursuivrais bien l'idée qu'au delà de la lim (x->0-) 1/x=-oo et qu'en deçà de la lim(x->0+) 1/x= oo existe bien un point image [tex]\left|\infty \right|[/tex] (val absolue) d 'abscisse 0, « point-bouclage » à l'infini de la limite par défaut avec celle par excès.
Et /mais c'est encore vouloir pousser les limites et bousculer le « Dom de Def ». (pardon Yoshi)

Ici on entre dans le domaine des nombres hyperréels je crois.

Jean Paul DELAHAYE (prof. d'informatique à l'USTL) notait:
« Pour autant, l'idée d'infini n'en est pas moins un ressort essentiel de la fécondité du travail mathématique
: dans les formes qui lui sont propres, le mathématicien nous fait entendre son désir obsédant de... finitiser
l'infini. »

Encouragé,

A hyperréels +-*/

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 05-05-2010 07:26:44

le chemin le plus long entre deux points?

#2 05-05-2010 11:56:30

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#3 05-05-2010 13:02:05

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#4 05-05-2010 13:50:41

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#5 05-05-2010 14:39:24

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#6 05-05-2010 14:45:25

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#7 05-05-2010 15:18:43

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#8 05-05-2010 16:44:43

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#9 06-05-2010 14:56:17

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#10 06-05-2010 15:51:52

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#11 06-05-2010 17:25:57

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#12 07-05-2010 21:49:13

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#13 11-11-2010 17:23:04

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Re : le chemin le plus long entre deux points?

#15 11-11-2010 20:27:22

Re : le chemin le plus long entre deux points?

#16 11-11-2010 21:35:58

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#17 14-11-2010 15:07:44

Re : le chemin le plus long entre deux points?

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