Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 17-04-2010 16:34:10
- tevuac
- Membre
- Inscription : 26-06-2008
- Messages : 64
limite
Bonjour, me voilà de nouveau
Je ne progresse pas et j'ai besoin d'aide pour mon fils (pour moi cela semble désespéré)
Comment démontrer de la façon la plus simple possible que
[tex]{\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}^{n+1}[/tex] tend vers zéro
mon fifs l'admet (cela me semble ne me semble pas si evident
qui peut nous éclairer merci d'avance
Hors ligne
#2 17-04-2010 19:02:06
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : limite
Salut,
c'est assez simple en fait, il suffit de montrer que la suite [tex]{u}_{n}={\left(1-\frac{\sqrt{n}}{n}\right)}^{n+1}[/tex] est positive et décroissante, donc convergente et de limite nulle car le terme [tex]\left(1-\frac{\sqrt{n}}{n}\right)<1[/tex] dès que n > 1.
Une autre façon de le voir est de considérer que dans l'expression [tex]{e}^{\left(n+1\right)\ln \left(1-\frac{\sqrt{n}}{n}\right)}[/tex], le log est négatif et se souvenir que [tex]\lim _{x\to -\infty }{e}^{x}=0[/tex]
Bb
Dernière modification par freddy (17-04-2010 21:53:16)
Hors ligne
#3 17-04-2010 19:51:11
- tevuac
- Membre
- Inscription : 26-06-2008
- Messages : 64
Re : limite
bonsoir
merci pour ta réponse rapide : c'est à la deuxième méthode que j'avais pensée mais il y a une indeterminée à lever pour obtenir la limite de l'exposant.
D'autre part la décroissance de un n'est pas immédiate pour moi
Je commence à avoir honte de mes questions!
Hors ligne
#4 17-04-2010 20:42:34
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : limite
Bonsoir,
Une petite aide pour t'aider à lever l'indéterminée. Souviens-toi du développement limité du logarithme : [tex]\ln(1+u)=u+o(u)[/tex]
Ici, [tex]\ln\left(1-\frac{1}{\sqrt n}\right)=-\frac{1}{\sqrt n}+o\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)[/tex]
Tu multiplies par n, puis tu reprends le message de Freddy à "se souvenir que...".
Fred.
Hors ligne
#5 17-04-2010 21:51:03
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : limite
Re,
à coté de l'idée de Fred, tu peux aussi considérer que [tex]\ln \left(1-\frac{\sqrt{n}}{n}\right)=\ln \left(n-\sqrt{n}\right)-\ln \,\left(n\right)\,et\,que\,\ln \left(n-\sqrt{n}\right)<\ln \left(n\right)\,pour\,n\,>1[/tex]
Dernière modification par freddy (17-04-2010 21:51:56)
Hors ligne
#7 17-04-2010 22:01:34
- tevuac
- Membre
- Inscription : 26-06-2008
- Messages : 64
Re : limite
Pardon Freddy,
je ne comprends pas ta remarque? Cela ne lève pas l'indéterminée! ??
Te souviens de moi ,nous avons déjà correspondu car mes questions te surprenaient déjà....
Dernière modification par tevuac (17-04-2010 22:04:49)
Hors ligne
#8 17-04-2010 22:15:25
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : limite
Oui Tevuac, je me souviens bien de toi !
Sinon, si, si, on lève bien l'indétermination en factorisant ensuite par [tex]\ln(n)[/tex] pour faire apparaître que tu as l'exponentielle d'un terme qui tend vers - l'infini !
L'idée est la suivante : [tex]\ln \left(n\right)\times \left\{\frac{\ln \left(n-\sqrt{n}\right)}{\ln \left(n\right)}-1\right\}[/tex].
De fait, le terme dans l'accolade tend vers -1, ce qui lève l'indétermination initiale.
Mais la solution de Fred est de loin la plus élégante.
Dernière modification par freddy (18-04-2010 08:11:36)
Hors ligne
Pages : 1